隨機利率下條件蒙特卡羅綜合加速方法及應用

趙 丹，徐承龍

(1.同濟大學 數學科學學院，上海 200092； 2.上海財經大學 數學學院，上海 200433)

隨著經濟的快速發展，期權作為金融風險管理、套利等工具變得越來越重要，而其定價及Greeks計算問題也成為現代金融理論的一個極其重要的研究領域.在當今國內外的金融市場上，一方面，由于市場的日益復雜，標的資產(如股票)、匯率及浮動利率等的變化過程也變得越來越復雜，因此想要更加準確地刻畫這些特征，就需要提出比幾何布朗運動更加復雜的模型來進行描述，例如隨機利率、隨機波動率模型、由Levy過程驅動的模型等.Robert Merton[1]最早考慮了隨機利率下的期權定價，后來又出現了Vasieck和CIR(cox-ingersoll-ross) 隨機利率模型，Barndorff- Nielsen 和 Shephard[2]提出了Levy過程驅動的多因子模型.另一方面，為了滿足客戶對各類金融產品的個性化需求，期權的類型變得越來越復雜，如美式期權、與路徑有關的亞式期權、提前實施條款等.金融市場也出現了一些具有復雜結構的高維期權.

除了標的資產價格以外，金融衍生品價格還取決于其他多個參數：市場無風險利率，標的資產價格波動率，產品期限等.而衍生產品對這些因素的變化率統稱為敏感度，即為Greeks.Greeks值被廣泛用于風險度量與風險控制中，因此準確地計算出Greeks值是一個非常有實際意義的問題，對于金融機構及保險公司構建對沖投資組合、進行風險管理非常重要.由于期權價格本身能在市場上觀察得到，Greeks卻不能，因此準確地計算Greeks甚至比計算期權價格本身更重要，難度也會更高.

根據現有的金融資產定價理論，很少一部分期權能通過偏微分理論求得解析解，因此往往需要借助于數值方法求解.金融衍生品定價數值方法大致分為：二叉樹方法、有限差分與有限元方法、蒙特卡羅方法.其中，二叉樹、有限差分方法對于低維模型能夠快速有效地得到結果，但是存儲量和計算量隨著維數的增加呈指數增長，對于3維以上的問題基本無法解決.而蒙特卡羅方法的存儲量和計算量隨著維數的增加大體呈線性增長，且其收斂速度與維數無關，所以成為求解高維期權定價問題的重要方法.

最早使用蒙特卡羅方法進行金融資產定價的是Boyle[3]，對標的資產為單一資產的歐式股票期權進行定價，而后Tilley[4]首先應用蒙特卡羅方法對可支付紅利的美式看跌期權進行了估值, Baldi和Caramellino[5]利用蒙特卡羅方法對一般的障礙期權進行了定價分析.近些年蒙特卡羅方法在期權定價中的應用越加廣泛，但其收斂速度慢，所以相繼出現了一些對其進行加速的方法.本文所用的條件蒙特卡羅方法和控制變量法就是通過方差減小技術而達到加速效果的方法.此方法不僅適用于歐式期權定價，而且對亞式期權、一籃子期權和高維期權也同樣具有顯著效果.比較著名的例子是Kemma和Vorst利用幾何平均的看漲和看跌期權都有解析解的特性，分別選擇了幾何平均亞式期權作為控制變量，為算術平均亞式期權定價.Shin和Svenstrup[6]使用控制變量技巧研究了LIBOR市場模型的百慕大互換的定價問題.Glasserman也指出條件蒙特卡羅方法可以減小模擬誤差，但是缺少統一的實施方法.詹慧蓉和程乾生在蒙特卡羅模擬亞式期權定價過程中提出一個新的多元控制變量，得到了不錯的結果.彭斌采用控制變量蒙特卡羅方法研究了兩資產亞式彩虹期權的定價問題.梁義娟和徐承龍[7]使用條件蒙特卡羅方法及鞅方法研究了一般的兩因子隨機模型下歐式期權的定價問題，但是存在計算量較大的缺點.

目前計算Greeks大致有3大類方法：有限差分方法、基于軌道模擬的蒙特卡羅方法和基于似然的蒙特卡羅模擬方法.有限差分方法很容易理解，計算簡單快捷，但其誤差較大，為此Giles提出了多層蒙特卡羅方法用于提高計算速度.孫健蘭[8]證明了多層蒙特卡羅算法的有效性，而這種方法近期只能針對幾何布朗運動進行計算.基于軌道模擬的蒙特卡羅方法算法簡單且通用性強.沿著此思路以及后續提出的 IPA(infinitesimal perturbation analysis)方法，許多著名學者研究了其在運籌、優化及金融中的應用.第3種方法不出現對收益函數的導數，避免了收益函數僅為李-氏連續或者不連續的情形，但需已知其概率密度函數，而這對大部分復雜模型而言并不易求得.例如在金融中的應用見文獻[9]等.以上3種方法各有優缺點.本文將在第2種方法基礎上提出一種利用條件蒙特卡羅方法的求解思路，可以改進第2類方法的缺陷，同時具有減小方差的作用，特別是可以計算Γ值.與其他兩種方法相比，利用條件蒙特卡羅方法計算Greeks值，提高了模擬效率.

本文主要以隨機利率滿足CIR模型下的歐式看漲期權為例，研究定價及Greeks值計算問題.首先建立了期權的條件期望表達式，以提高模擬效率.然后利用控制變量法對其進行進一步加速.接著運用本文所提出的條件期望表達式對Greeks值進行計算，進而通過比較說明本文所提出計算方法的優越性和有效性.最后討論了本文方法可推廣到其他適用的情形.

1 隨機利率模型下期權定價

對CIR隨機利率模型下歐式期權的定價問題，由文獻[10]可知此時無解析表達公式.本節結合條件期望表達式以及控制變量加速技巧對蒙特卡羅模擬進行加速處理.

1.1 隨機利率下資產價格模型

假設標的資產St滿足波動率為常數σs>0的隨機微分方程

(1)

其中瞬時利率rt滿足波動率為常數σr>0的隨機方程

(2)

式中：α、θ為正常數；Wt和Zt是標準布朗運動，且滿足cov(dWt,dZt)=ρdt；ρ為兩者之間的相關性系數.Wt和Zt之間的關系也可以寫為

(3)

(4)

式(4)也可以寫成

(5)

其中

(6)

(7)

1.2 期權定價的模擬方法

1.2.1標準蒙特卡羅模擬方法

給定敲定價格K在時刻t歐式看漲期權風險中性價格Vt可以寫為

(8)

特別可得零時刻歐式看漲期權的價格為

(9)

(10)

方程(9)中的期權價格可以用標準蒙特卡羅方法模擬：選取適當大的模擬次數M，用樣本均值代替期望值，就可以得到無偏估計值：

1.2.2條件蒙特卡羅方法

利用條件蒙特卡羅方法估計隨機利率滿足CIR模型下的歐式看漲期權價格.由條件期望公式

E[Y]=E[E[Y|X]]

(11)

又由條件方差公式

Var(Y)=Var(E[Y|X])+

E[Var(Y|X)]>Var(E[Y|X])

可以看出條件蒙特卡羅方法是一種有效的方差減小技術.

(12)

(13)

k=0,1，…，N-1

1.2.3基于條件期望的蒙特卡羅控制變量法

V(b)=VBS-bT(X-E[X])

E[ξ]=1

設(X,VBS)的協方差矩陣為

則M次模擬情形下，二元控制變量下的估計值為

(14)

則使方差最小的最優控制系數向量為

(15)

可用b模擬值近似計算，此時最小方差值為

2 數值結果

為比較本文中所提出方法的加速效果，選用標準誤差減小倍數來判斷加速效果

式中：stdMC和stdCMCC分別表示標準蒙特卡羅方法的標準誤差和使用上節提出的基于條件期望的控制變量蒙特卡羅加速模擬后的標準誤差.顯然RCMCC越大，就表示加速效果越好，也說明方法的計算精度越高.

如果考慮時間成本因素，以標準蒙特卡羅方法為基準，加速方法的加速比還可以定義為

式中：tMC、tCMCC分別表示固定模擬次數時標準蒙特卡羅方法和加速后的方法計算所用時間.

給定離散時間點個數N=100，其他參數取值如下：標的資產價格與敲定價格相等，S0=K=30，標的資產的波動率σs=0.2，利率初值r0=0.05,利率的波動率σr=0.2，利率的回復速度α=2,利率均值θ=0.05，到期時間T=1.

圖1 期權價格與模擬次數關系圖Fig.1 Option price change for different simulation times

進一步地，圖2給出了模擬的標準誤差與模擬次數M的關系，為了將結果顯示更為直觀，此處橫縱坐標分別為標準誤差和模擬次數的對數.由圖2可以看出，結合二元控制變量的條件蒙特卡羅方法的誤差最小，而普通蒙特卡羅方法所得標準誤差最大.所以條件蒙特卡羅方法及控制變量法可以達到減小標準誤差的效果，從而提高蒙特卡羅模擬的效率.

圖2 標準誤差與模擬次數關系圖Fig.2 Standard deviation change for different simulation times

下面固定模擬次數M=100 000和其他參數，考慮相關系數ρ對計算效果的影響，結果見表1和表2，其中stdMC是普通蒙特卡羅方法得到的誤差；stdCMC和stdCMCC分別表示條件蒙特卡羅方法和結合控制變量的條件蒙特卡羅加速方法得到的誤差，RCMC和RCMCC表示其相對于普通蒙特卡羅方法的加速倍數.

表1 不同方法模擬所得標準誤差結果及加速倍數Tab.1 Standard deviations and acceleration effects by different methods

綜合考慮算法的加速效果，用普通蒙特卡羅方法計算所花時間為3.068 5 s，用條件蒙特卡羅方法計算所花時間為1.732 1 s，結合控制變量法之后所花時間為1.738 8 s.以ρ=0.4為例，基于條件蒙特卡羅的控制變量法對普通蒙特卡羅方法的綜合加速倍數為

另外，本文還對結合常用控制變量與普通蒙特卡羅方法的情況進行了模擬，此時控制變量利率為常數的標的資產，改變參數的值，發現其計算所得標準誤差與普通蒙特卡羅方法基本一致；所花費的時間為3.084 3 s，與普通蒙特卡羅方法也基本一致；此時基于條件蒙特卡羅的控制變量法對其綜合加速倍數與對普通蒙特卡羅的綜合加速倍數基本一致.說明本文所提出的新的控制變量與條件蒙特卡羅方法結合具有顯著的加速效果.

(A-K)+=(A-K)|G≥K+(A-K)|G

分解后的第1部分可求出期望公式，再用條件蒙特卡羅方法模擬，第2部分為小概率，可通過重要抽樣模擬高效求解.

3 Greeks計算

3.1 Greeks介紹

對于隨機利率模型和隨機波動率模型等較復雜模型，由于期權價格沒有對應的解析解，計算Greeks時需要借助數值方法.本文利用條件蒙特卡羅方法進行計算，使得計算過程更為簡便和穩定, 也可以克服收益函數不能求二次導數的缺陷.

基于條件期望公式(12)，可得隨機利率模型下歐式看漲期權價格為

(16)

其中:

N(x)表示標準正態分布的分布函數.

從而由公式(16)，計算可得其相關參數的Greeks公式為

(17)

3.2 數值模擬

相關參數取值與第2章相同，模擬次數M=100 000.Greeks值的計算結果以及模擬標準誤差見表2.

表2 兩種方法模擬所得Greeks值Tab.2 Values of Greeks by using two different methods

表2中，CMC表示基于條件蒙特卡羅方法所求得的Greeks值，FD表示使用有限差分方法進行計算.基于條件蒙特卡羅方法求Greeks值時，由于期權價格表示為一個光滑函數的期望值，因此可以將價格對參數的求導與期望過程相互交換，使得計算過程更加簡便快速，所得標準誤差有明顯的減小.由此可見，本文所提出的方法在計算Greeks值時有良好的效果.

接下來，固定其他值，改變標的資產的初始值S0，來觀察不同的S0值對Δ值及計算時產生的誤差的影響，結果分別見表3和表4.

表3 不同標的資產的初始價格模擬出的Δ值Tab.3 Values of Delta for different initial prices of underlying asset

表4 不同方法模擬出Δ值的標準誤差Tab.4 Standard deviations of Delta by using different methods

由表3和表4可見，Δ值隨著標的資產初始價格的增加而增加，而條件蒙特卡羅方法能更好地減小計算時產生的方差，從而產生加速效果，使得標準誤差更小.為了使結果更為直觀，圖3給出不同初始價格與標準誤差的關系，可很明顯看出條件蒙特卡羅法所得效果更好.

圖3 不同模擬方法下標的資產初始價格與Δ值的標準誤差關系圖Fig.3 Comparison of standard deviations of Δ by using different methods

類似地，Γ的計算結果見表5和表6.由表可知，Γ值隨著標的資產初始價格的增加而減小，而條件蒙特卡羅方法計算時能更好地減小標準誤差. 為了使結果更為直觀，圖4給出不同初始價格與標準誤差的關系，由此看出條件蒙特卡羅方法計算所得結果誤差更小.

表5 不同標的資產的初始價格模擬出的Γ值Tab.5 Values of Gamma for different initial prices of underlying asset

表6 不同方法模擬出Γ值的標準誤差Tab.6 Standard deviations of Delta by using different methods

圖4 不同模擬方法下標的資產初始價格與Γ值的標準誤差關系圖Fig.4 Comparison of standard deviations of Γ by using different methods

4 結論

本文針對隨機利率滿足CIR模型的歐式期權定價問題，提出了一種基于條件期望的控制變量法進行蒙特卡羅加速模擬.計算結果顯示，條件蒙特卡羅方法相對于普通蒙特卡羅方法而言能達到一定的方差減小效果，同時計算時間也更為節省；而在條件蒙特卡羅的基礎上再使用控制變量法，能使得模擬誤差進一步減小，且運行所需時間與條件蒙特卡羅方法基本一致，故能夠達到更好的加速效果.最后，將條件蒙特卡羅方法應用于計算Greeks值，所得結果顯示其可以達到較好的計算效果，但本文所提出的控制變量對Greeks值的加速計算基本無效.最后一點值得指出的是本文雖然討論的問題是單資產問題，如果利用Green求積公式，固定利率的資產價格可以用公式表示出來，再用數值方法進行計算，則同樣可以得到條件期望公式，從而條件蒙特卡羅方法同樣適用.進一步地，該方法還可用于求解一籃子期權、離散取樣的亞式期權等高維問題.