地月空間對稱自由返回軌道設計與分析

彭坤 孫國江 王平 徐明

(1 中國空間技術研究院載人航天總體部，北京 100094) (2 北京航空航天大學宇航學院，北京 100191)

隨著“深空之門”(Deep Space Gateway)地月空間站方案的逐步完善[1]，國際各航天機構已將進入地月空間作為推動載人深空探測發展新的興趣點，而地月空間人員往返運輸途徑則是研究的重點。不同于地月空間貨運任務，人員往返運輸首先要考慮人員安全性。自由返回軌道由于其不需要額外變軌僅借助月球引力自動返回地球的特性，能保證航天器發生故障后航天員安全返回地球，而被廣泛應用于“阿波羅”(Apollo)載人登月工程的地月轉移過程中。Apollo-13任務[2]正是利用自由返回軌道的特性，使3名宇航員最終安全返回地球。Apollo-13任務[3]全面驗證了自由返回軌道的正確性，被美國人稱為“一次成功的失敗”。我國于2014年發射的探月三期飛行試驗器也采用了繞月自由返回軌道，并成功返回地球。

自由返回軌道的研究開始于20世紀Apollo計劃時期，文獻[4]采用雙二體模型和圓錐曲線拼接方法求解繞月自由返回軌道。隨后文獻[5]結合圓錐曲線拼接和多體模型設計繞月自由返回軌道并進行參數對比。2010年，國內文獻[6]基于雙二體假設給出了自由返回軌道設計流程。文獻[7]基于雙二體模型先采用粒子群算法進行全局優化。文獻[8]在雙二體模型下以能量匹配計算初值，完成了自由返回軌道發射彈道拼接和落點位置匹配。文獻[9]在雙二體假設下通過4段二體軌道拼接完成自由返回軌道初值設計，用序列二次規劃求解精確軌道和滿足停泊軌道入軌相位的窗口。文獻[10]在文獻[8]求解思路基礎上采用序列二次規劃構造兩層迭代格式進行求解。除了雙二體模型外，圓型限制性三體模型也廣泛應用于自由返回軌道求解。文獻[11-12]基于圓型限制性三體模型定義了對稱自由返回軌道，并系統研究了自由返回軌道的軌道優化問題。文獻[13]以對稱自由返回軌道為基礎，通過改變近月點z軸方向的位置和速度求解滿足不同出發點、近月點和返回點高度的自由返回軌道。偽狀態模型[14-15]也可用于自由返回軌道初值求解。此外，文獻[16]根據自由返回軌道的對稱特性，直接在高精度模型中搜索自由返回軌道。

以上文獻大多針對飛行時間為6天左右的Apollo式自由返回軌道，沒有對整個地月空間不同近地點高度、不同近月點高度以及不同飛行時間的自由返回軌道進行全面分析。文獻[17]在三體模型給出不同類型對稱自由返回軌道的地月轉移入射速度增量和飛行時間等軌道參數特性，但較少討論其軌道生成方法。文獻[18]以二體模型初值猜測和三體模型數值計算逐步生成滿足近月點高度和再入約束的自由返回軌道，但求解過程較復雜。

為研究整個地月空間多類型自由返回軌道特性，本文直接在三體模型下進行求解，飛行時間由終端點航跡角自動確定，依據自由返回軌道對稱特性僅將近月點的地心旋轉系y軸速度作為控制變量，基于月球逃逸速度估計控制變量初值。同時，提出不同地心和月心運行方向的對稱自由返回軌道搜索策略，采用微分修正算法進行求解并分析不同近地點高度和近月點高度下自由返回軌道的軌道特性，以選擇適合地月空間人員運輸任務的自由返回軌道類型。

1 系統模型

在圓型限制性三體假設下建立航天器在地心旋轉系下的二維極坐標動力學方程[19]

(1)

式中：(r,θ,vr,vθ)為地心旋轉系下航天器的極徑、極角、徑向速度和橫向速度(如圖1所示)；Rm=(r2-2drcosθ+d2)1/2為航天器的月心距，d=384 400 km為地月距離；μE和μM分別為地球和月球的引力常數；ω為月球公轉角速度。式(1)可作為自由返回軌道設計的狀態方程。

圖1 地心旋轉系

自由返回軌道的飛行過程如圖2所示：航天器從地球停泊軌道A點出發，施加地月轉移入射(Translunar Injection，TLI)速度增量ΔV，進入自由返回軌道；航天器地月轉移飛行至近月點B時，距月面高度hB；航天器在月球附近借助月球引力改變飛行方向，之后沿月地轉移軌道返回近地點C，對應的地面高度和航跡角分別為hC和γC。

圖2 自由返回軌道示意圖Fig.2 Sketch map of free-return trajectory

對于自由返回軌道，設出發近地點A的初始時刻為tA，近月點B時刻為tB，近地點C時刻為tC，則其初始條件和目標約束可分別表示為

(2)

(3)

式中：RE和RM分別為地球和月球的半徑；γ為航天器相對地球的航跡角；R和V分別為地心慣性系下航天器的位置速度矢量；rm和γm為航天器相對月球的極徑和航跡角；Rm和Vm分別為月心慣性系下航天器的位置速度矢量。

2 對稱自由返回軌道設計

2.1 求解模型

對于對稱自由返回軌道，其出發點地心高度與返回點地心高度相等，航跡角均為0°。由文獻[19]可知，對稱自由返回軌道的近月點位于地心旋轉坐標系x軸上。相比于一般地月轉移軌道[20]，對稱自由返回軌道的近月點約束更嚴格，敏感性更強，如果直接設計近地點狀態，則收斂區間小，不易收斂。為此，本文以近月點參數作為控制變量，通過軌道逆推得到近地點狀態以匹配出發點軌道參數，以降低自由返回軌道搜索過程敏感性。

根據對稱自由返回軌道近月點位于地心旋轉坐標系x軸上的特性可知，θ(tB)=0，vr(tB)=0。將近月點高度約束作為初始條件，以月心逆行為例，則r(tB)=d+RM+hB。唯一不確定的狀態變量為vθ(tB)，可將其數值vθB作為控制變量。

為減少控制變量個數，提高搜索速度，不將近月點B到出發點A的軌道逆推的飛行時間tBA作為控制變量，而通過航天器相對地心的航跡角作為軌道逆推到出發點A的終止條件，如下式所示。

(4)

軌道逆推的終端約束為出發點的地心距r(tA)=RE+hA。通過以上轉換，可將對稱自由返回軌道求解轉化為非線性規劃問題，控制變量為vθB，目標約束為r(tA)=RE+hA，狀態方程見式(1)，軌道逆推終止條件見式(4)。

2.2 初值估計

初值估計的精度直接影響自由返回軌道搜索的收斂性。本文以自由返回軌道近月點處月球逃逸軌道速度來近似估計控制變量vθB。

(5)

2.3 搜索策略

由于搜索流程大幅降低了自由返回軌道的敏感性，本文采用一般微分修正算法對自由返回軌道進行求解

(6)

式中：M=?r(tA)/?vθB，可通過線性攝動法數值計算得出，k表示當前迭代代數，k+1表示下一代迭代代數。

對于二維自由返回軌道，滿足相同近地點軌道高度和近月點軌道高度的軌道共有4種類型：地心順行月心逆行、地心逆行月心逆行、地心順行月心順行和地心逆行月心順行。(與地心旋轉系的旋轉方向相同為順行，反之為逆行。以圖2為例，其描繪的自由返回軌道為地心順行月心逆行軌道。)

對于月心順行和逆行的情況，本文通過設置近月點時刻的極徑大小來進行區分：

(7)

對于地心順行和逆行的情況，使用出發點時刻極徑約束不能直觀進行區分，本文設置如下形式的出發點極徑約束：

r*(tA)=Hz(tA)·r(tA)

(8)

式中：Hz(tA)為航天器在出發點時刻tA地心旋轉系下角動量單位矢量的z軸分量，其正負可表征地心的順逆行方向。通過以上定義，可通過修正的出發點極徑r*(tA)來區分地心順逆行：

(9)

2.4 算法流程

利用前述方法搜索自由返回軌道的步驟為：①根據自由返回軌道月心運行方向和式(7)設置近月點初始狀態；②根據自由返回軌道地心運行方向和式(9)設置近地點終端約束；③由式(5)進行控制變量vθB初值估計；④以式(1)為狀態方程從近月點B軌道逆推至近地點A，計算近地距r*(tA)的誤差；⑤由式(6)修正控制變量vθB直至得到滿足目標約束的自由返回軌道。最終得到的自由返回軌道即為指定月心和地心運行方向的自由返回軌道。

3 仿真驗證

3.1 4種類型軌道搜索

設近地軌道高度hA=200 km，環月軌道高度hB=100 km，仿真動力學模型為圓型限制性三體模型(只含地球引力和月球引力)，采用以上自由返回軌道設計方法可快速搜索到4種不同地心和月心運行方向的自由返回軌道，如表1和圖3～圖6所示。由仿真結果可知，月心順行自由返回軌道的飛行時間遠大于月心逆行自由返回軌道，前者飛行軌跡長且遠離地月空間，受太陽引力攝動影響更大；地心順行自由返回軌道的地月轉移入射速度增量略小于地心逆行自由返回軌道。

對于載人月球探測等需要再入地球的實際工程任務，自由返回軌道點A和點C不再對稱，此時C點為再入點，航跡角γC為再入角，并不為0。以本文對稱自由返回軌道求得的出發點A狀態(θ(tA),vθ(tA))作為初值，進行微分修正迭代計算，即可得到滿足再入約束的自由返回軌道。以地心順行月心逆行軌道為例，對稱自由返回軌道狀態值為θ(tA)=227.24°，vθ(tA)=10.924 7 km/s。設再入高度hC=120 km，再入角γC=-6.0°，搜索到的滿足再入約束的自由返回軌道實際狀態值為θ(tA)=227.22°，vθ(tA)=10.924 8 km/s。由搜索結果知，初值非常接近真實值，搜索過程很快收斂。

表1 4種類型自由返回軌道搜索結果

圖3 地心順行月心逆行對稱自由返回軌道Fig.3 Symmetrical free-return trajectory with prograde in perigee and retrograde in perilune

圖4 地心逆行月心逆行對稱自由返回軌道Fig.4 Symmetrical free-return trajectory with retrograde in perigee and retrograde in perilune

圖5 地心順行月心順行對稱自由返回軌道Fig.5 Symmetrical free-return trajectory with prograde in perigee and prograde in perilune

圖6 地心逆行月心順行對稱自由返回軌道Fig.6 Symmetrical free-return trajectory with retrograde in perigee and prograde in perilune

3.2 軌道特性分析

考慮到未來地月空間可能在不同軌道高度的近地軌道和環月軌道分別設置空間站，應全面分析不同近地點高度和近月點高度的對稱自由返回軌道的軌道特性。首先，設近月點高度hB=100 km，近地點高度范圍為hA=200～35 786 km(LEO～GEO范圍)，分析4種類型對稱自由返回軌道的軌道參數隨近地點高度的變化情況，如圖7所示。由圖7(a)可知，地月轉移入射速度增量ΔV隨近地點高度的增加而逐漸降低，變化范圍約為3.2～1.1 km/s，4種類型軌道的ΔV數值相差不大。由圖7(b)可知，總飛行時間隨近地點高度的增加而逐漸增加，其中月心順行軌道飛行時間遠大于月心逆行軌道，前者飛行時間范圍為27～38 d，后者飛行時間范圍約為6 d。

其次，設近地點高度hA=200 km，近月點高度范圍為hB=100～20 000 km，分析4種類型對稱自由返回軌道的軌道參數隨近月點高度的變化情況，如圖8所示。由圖8(a)可知，地月轉移入射速度增量ΔV隨近月點高度的增加而逐漸降低，變化范圍不大，約為3.16～3.14 km/s，前期地心逆行軌道ΔV較大，后期月心逆行軌道ΔV較大，但總體來說量級相差不大。由圖8(b)可知，月心順行軌道總飛行時間隨近月點高度的增加而逐漸減小，變化范圍約為30～10 d；月心逆行軌道總飛行時間隨近月點高度的增加而逐漸增加，變化范圍約為6～10 d。

圖8 對稱自由返回軌道的速度增量和飛行時間隨近地點高度變化曲線

4 結束語

本文針對載人月球探測任務和地月空間人員運輸任務需求，基于圓型限制性三體模型提出了一種地月空間對稱自由返回軌道設計方法。該方法收斂速度快，單次搜索時間僅為2 s左右；魯棒性強，可適應近地點高度200～35 786 km和近月點高度100～20 000 km大范圍變化的對稱自由返回軌道求解；同時可搜索出指定地心和月心運行方向的自由返回軌道。利用該方法分析了不同近地點和近月點高度的自由返回軌道特性。結果表明：近地點高度主要影響地月轉移入射速度增量，近地點高度越高，速度增量越??；近月點高度主要影響飛行時間，近月點高度越高，月心逆行軌道飛行時間越長，而月心順行軌道飛行時間越短。

對于對稱自由返回軌道，月心逆行軌道飛行時間約為6 d，明顯低于月心順行軌道約30 d的飛行時間，更適合載人飛行的時間約束。同時，地心順行軌道所需地月轉移入射速度增量小，可節省變軌推進劑消耗；且地心順行軌道能有效利用地球自轉速度，降低了對火箭運載能力的需求。因此，地心順行月心逆行的自由返回軌道是地月空間人員運輸軌道的最佳選擇。