深空通信載波同步高精度FFT頻偏估計算法

王翠蓮 李寅 禹霽陽 李珂

(1 北京空間飛行器總體設計部，北京 100094)(2 航天東方紅衛星有限公司，北京 100094)

深空通信信道存在對地通信傳輸時延大，信道信噪比極低，通信距離遠，通信環境變化大等特點。特別在火星探測器設計中，進入、下降與著陸(EDL)階段對地通信信道具有高動態、低信噪比的特點，需選用合適的信號調制技術降低解調的難度，保證EDL過程中正常通信[1]。目前深空探測器應答機設計中通常采用多進制相移鍵控(Multiple Phase Shift Keying, MPSK)作為調制方式實現遠距離的可靠通信。MPSK信號在解調時，需要將載波頻率、相位通過一定的映射關系獲得解調結果，因此獲得精確的載波同步尤為重要。在傳統的探測器應答機設計中，一般采用鎖相環算法實現載波捕獲和跟蹤。在采用MPSK調制且信噪比低于6 dB時，鎖相環失鎖現象明顯，無法可靠工作[2]。因此，基于頻偏估計的載波同步開環算法成為深空通信的研究熱點。

現有的頻偏估計算法基本是建立在求解最大似然方程的基礎上。一般有兩種思路：第一種是利用輸入序列的自相關函數構造頻偏估計量，如L&W算法[3]、Fitz算法[4]以及M&M算法[5]等；第二種是用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)作周期圖，然后搜索周期圖的峰值位置，利用頻偏值和峰值位置的對應關系求解[6]。周期圖法的優點是能直接檢測頻偏的絕對值，同時估計速度較快，但其固有的缺點是，用于估計的序列長度直接影響估計的精度，并且存在一定的信噪比門限。在估計序列長度一定的前提下，該方法需要在獲得初始FFT峰值譜線位置后進行插值[7-10]以提高頻率分辨率。本文提出的算法只需進行一次插值即可獲得頻偏的無偏估計值。在低信噪比條件下，插值算法在某些頻點估計精度不夠高，因此在插值后進行二分搜索，二分搜索的次數取決于估計精度要求以及硬件實現復雜度。

1 系統模型

在深空探測器應答機設計中，采用開環算法的數字解調軟件由數字下變頻、捕獲、位同步、載波同步、解調、譯碼幾個部分組成，詳見圖1。模/數轉換器(Analog-to-Digital, ADC)采樣后的中頻信號經過數字下變頻后輸出零中頻低速信號。位同步模塊通過位定時誤差估計和補償獲得最佳采樣點信息。載波同步模塊包括頻偏估計和頻偏補償兩部分，載波同步后的信號進行后續的MPSK解調及譯碼。

位同步完成后，包含數據信息和載波頻偏、相偏的MPSK信號可表示為

rn=ej(2πΔfTn+φn+θ)+vn

(1)

式中；rn為位同步后的數據序列的第n個符號；Δf為收發載波間的頻偏；T為碼元周期；vn為加性復高斯白噪聲；θ為收發載波的初始相偏；φn為數據調制的相位。

在頻偏估計前，首先去除rn中的調制信息，得到包含加性噪聲的單載波信號hn。幀頭數據對于接收端是已知的，故有

(2)

假設幀頭長度(即用于估計的序列長度)為N，對hn做N點離散傅里葉變換，可以得到其頻譜

(3)

式中：k=0,1,…,N-1。在獲得的N條譜線中搜索kmax，使|Fk|值達到最大，根據最大似然估計理論，頻偏Δf的最大似然估計表達式為[7]

(4)

當FFT長度為N時，算法可估計的最大及最小頻偏分別為

(5)

由式(5)可知，FFT算法理論上可以達到的頻偏估計范圍是-0.5fs～0.5fs(fs為碼元速率)。

(6)

理論上，FFT序列長度N的增加能夠線性的減小估計誤差，但在深空探測器應答機設計中，由于信道資源有限，為提高傳輸效率，N的取值一般不超過256。當系統要求的同步精度較高時，算法的估計誤差不能容忍。因此，必須設法減小FFT算法引入的估計誤差。常用的提高FFT算法估計精度的方法是基于插值的思想，如拋物線插值算法[7]、Rife插值算法[8]、Jacobsen算法[9]、Quinn算法[10]等，這些算法都是頻偏的最大似然估計值在理想情況下的近似。本文采用的插值算法經過一次反正切運算即可獲得插值量，可以顯著的提高估計精度。

2 基于插值的粗估計

假設FFT得到的初始峰值譜線位置為kmax，實際的峰值位置分布在(kmax-1)和(kmax+1)之間，因此只需在(kmax-1)和(kmax+1)之間進行插值。由式(3)、式(4)，可得

(7)

(8)

推導可得

(9)

式中:

(10)

與式(4)比較，相當于用η修正初始的峰值譜線位置，Δf的估計值為

(11)

為便于進行性能比較，此處列出拋物線插值方法、Rife插值算法和Jacobsen差值算法的修正值η1、η2和η3，分別為[7-9]

(12)

式中：|Fksec ond|是|Fkmax+1|和|Fkmax-1|中較大的一個，Re[ ]為取實部運算。

3 基于二分搜索的精估計

基于插值的FFT頻偏估計存在一個固有的問題，在低信噪比條件下進行插值時，α1、α2大小可能出現誤判。特別是在實際頻偏值接近峰值譜線時，估計結果偏差較大，因此需要在插值基礎上進行二分搜索以獲得更精確的頻偏估計值。

由式(11)獲得頻偏粗估計值對應的頻點δ0=kmax-η，在區間[δ0-ε,δ0+ε]進行搜索。假設

(13)

(14)

對搜索迭代次數m的選取，需要兼顧系統需要達到的頻率精度以及實現復雜度。算法精度由歸一化估計方差表示，搜索次數m與算法精度的關系為

(15)

4 算法性能仿真

在深空探測器應答機設計中，頻偏估計算法的精度決定了載波同步準確度和載波同步門限，直接影響解調誤碼率和解調門限這兩項關鍵的應答機解調性能指標。本文設計仿真程序對算法的估計精度進行了評估。

FFT頻偏估計算法的估計誤差是一個隨實際頻偏值成周期變化的函數，周期為FFT的頻率分辨率，即兩根相鄰譜線之間的距離。仿真環境設定如下：①采用MPSK調制方式；②估計序列長度為N=256；③碼元速率fs為300 kHz，采樣頻率2400 kHz；④頻偏的變化范圍為距離譜線位置偏移量[-0.5,0.5]的區間；⑤采用平方根升余弦濾波器；⑥二分搜索區間ε=0.1。

(16)

式中：Es/N0為信號能量與噪聲能量比。

圖2 算法估計精度比較Fig.2 Comparison of estimation accuracy

圖2中橫軸表示頻偏設定值距離譜線位置的偏移量，偏移量為0.5時即為兩根譜線的中間位置。從圖2中可以看出，拋物線插值算法在實際頻偏接近FFT的離散譜線位置時，插值效果明顯，但在實際頻偏遠離FFT的離散譜線位置時，插值效果并不明顯；Rife插值算法性能優于拋物線插值算法，但在實際頻偏接近FFT的離散譜線位置時頻偏估計結果偏差較大；本文提出的插值算法性能優于拋物線差值算法和Rife插值算法，但在對估計精度要求高的場合，仍需采用二分搜索方法進一步提高估計準確度。隨著二分搜索迭代次數的增多，估計精度逐漸提高，尤其是在靠近離散譜線位置。當搜索迭代次數等于5時，整個頻偏估計范圍內的精度估計接近CRB。

在深空探測器應答機設計中，用于載波同步的估計序列長度N一般為64、128、256。為進一步驗證算法的抗噪聲性能，仿真了不同估計序列長度，不同信噪比條件下的歸一化估計方差。信噪比的變化范圍為-16～12 dB；設定初始頻偏值在距離譜線位置偏移量[-0.5,0.5]的區間內隨機分布。由圖3～圖5可知，幾種算法估計頻偏都存在信噪比門限，即當信噪比低于該值時，估計性能急劇惡化。N為64、128、256時，對應的信噪比門限分別約為-2 dB，-5 dB、-8 dB。

圖3 算法估計精度與CRB比較(N=256)Fig.3 Comparison of estimation accuracy with CRB (N=256)

圖4 算法估計精度與CRB比較(N=128)Fig.4 Comparison of estimation accuracy with CRB (N=128)

圖5 算法估計精度與CRB比較(N=64)Fig.5 Comparison of estimation accuracy with CRB (N=64)

由以上分析可知，在探測器應答機設計中，采用本文算法，需要考慮的兩個主要參數為：①二分搜索迭代次數；②估計序列長度。由于探測器硬件資源有限，二分搜索迭代次數一般不超過5。估計序列長度為64、128、256時，對應的載波同步門限分別為-2 dB，-5 dB、-8 dB；估計序列越長，信道利用率越低，實現復雜度也會相應增加。在應用時可根據系統對載波同步門限的具體指標要求選擇適當的估計序列長度。

5 工程應用

目前，該算法已應用在深空探測器應答機的遙控解調軟件設計中。與載波同步相關的技術指標包括：中頻頻率范圍為45～55 MHz，頻偏范圍為±100 kHz，載波同步門限為2 dB，幀頭長度為64。軟件采用圖1所示的解調結構，其中頻偏估計部分采用本文提出的基于插值的FFT頻偏粗估計和基于二分搜索的頻偏精估計結合的算法。硬件平臺選用Xilinx Virtex-4系列現場可編程門陣列(Field Programmable Gate Array, FPGA)，具體實現步驟如下：

(1)中頻信號經過ADC采樣后轉換為8 bit數字中頻信號。

(2)對數字中頻信號進行下變頻和匹配濾波。

(3)匹配濾波后的數據送至位同步模塊，恢復最佳采樣點信息。

(4)最佳采樣點信息序列首先通過已知幀頭去掉調制信息，獲得長度為64的估計序列，接下來采用本文提出的算法獲得頻偏的估計值。初始的FFT計算選用FPGA內自帶的Fast Fourier Transform IP核實現，精估計階段的二分搜索迭代次數選擇5。

(5)用頻偏估計值對最佳采樣點信息序列進行相位補償，補償后的序列可直接進行MPSK解調和譯碼。

根據仿真分析可知，幀頭長度為64時，本文算法的載波同步門限為-2 dB，在FPGA開發過程中數字化處理引入2 dB的損失，仍留有約2 dB的余量，滿足技術指標要求。相比于傳統深空探測器應答機中采用的鎖相環算法，性能優化大于4 dB。在探測器工程應用中，硬件開銷是算法需要考慮的一個關鍵問題，實現該算法的資源消耗情況見表1。由表1可知，相較于鎖相環算法，本文算法資源開銷稍大。但隨著航天器芯片技術的發展，邏輯資源豐富、可靈活配置的靜態隨機存儲器(Static Random Access Memory, SRAM)型FPGA在航天器設計中的應用越來越廣泛，資源消耗已不是制約算法選擇的瓶頸。

表1 算法實現資源開銷

6 結束語

根據深空通信信噪比低，動態范圍大的特點，本文設計了一種基于插值的FFT頻偏粗估計和基于二分搜索的頻偏精估計結合的載波同步算法。目前，該算法已應用于深空探測器的遙控數字解調軟件設計中。工程實踐表明，采用該算法實現的數字解調器能夠實現信噪比2 dB條件下的載波恢復，相比于傳統的鎖相環載波同步算法，性能提升不小于4 dB。