函數思想在高中數列中的滲透與應用

江蘇省張家港高級中學 凌敏華

在高中數學的學習過程當中，數列是非常重要的學習部分，也是高考中重點考查的部分，數列是一種特殊的函數，我們在日常的數學教學中應當重視起來，把函數思想滲透和運用到高中數列的學習中，讓學生能夠更加清晰地理解函數思想和數列的關系，加深對數列的理解和掌握，解決數列學習中的困惑之處。我們需要了解函數思想的內涵，通過分析函數思想在高中數列中的滲透和應用舉例，來找出數列學習的方法，簡化數列解題的過程，鍛煉學生的數學思維，提高數學學習的效率。

一、函數思想的內涵

函數思想是我們在長期的數學學習探索中形成的一種解決數學問題的思維方式，它是非常重要的數學思想。函數思想是通過定量和變量之間的聯系、運動和變化的關系、集合與對應的關系把復雜的數學問題利用簡單明確的函數關系數學模型來進行研究，從而解決數學問題。在高中數列的學習中，我們也可以將函數思想應用在解決數列的問題上，可以有效地提高解題效率。

二、函數思想在高中數列中的滲透

在高中數列的學習中，我們可以看到函數思想在高中數列中的滲透有很多方面，對于解決數列的問題，有很多規律可循。按照數列的基本規律可以包括為等差數列與等比數列兩類，函數思想在數列中的滲透主要體現在數列概念、等差數列問題的解決、數列通項的解析式、數列例題的解答中，而函數的一些基本性質如單調性、周期性等也是解決數列問題的關鍵。對于數列的概念問題，教師和學生在解答數列問題的時候可以聯系到函數思想，可以有效地鍛煉學生的思維和解題能力，我們可以將數列通項公式看成是函數的解析式，這個函數是一種特殊的離散函數。對數列中問題的解答要探究好an，sn，n之間的關系，運用函數思想來解決數列問題，學生在學習一些數列典型例題的時候也可以看到函數思想的滲透。等差數列的通項an可以寫成an=f（n）=an+b，當a≠0的時候，是n的一次函數，點（n,an）是一次函數an=f（n）=an+b的圖像上的一些孤立的點。

例1：已知等差數列{an}中a3=5，a13=25，求它的通項公式an？

解：我們可以由已知的點（3,5），（13,5），n,an在同一直線上，所以可以得到：，所以可以求得通項公式an=2n-1。

三、函數思想在高中數列中的應用

函數思想在高中數列中的應用也是數列學習的主要部分，我們知道函數和數列有著密不可分的聯系，從數列對應的角度來看，數列可以看成定義在正整數集或者其子集上的，當自變量從小到大依次取值時對應的一系列函數值。函數在高中數列中的應用，我們主要可以從函數的概念、性質、圖像等方面來研究，我們可以直接利用函數的值域求字母取值范圍、分離變量求字母的取值范圍、均值不等式求字母的取值范圍、運用函數單調性求最值、討論大小等，可以有效地提高解題效率和流程，將函數思想巧妙地應用到高中數列的學習中去，讓學生做到對函數思想和數列知識的完美融合，也可以更好地學習高中數學中的數列問題，學會用函數思想建立起數學知識間的聯系，從而加深學生對數列知識的理解和對數列題型的解答。

例2：已知an=n3+yn，數列{an}為遞增數列，求y的取值范圍。

解析：因為{an}為遞增數列，可以知道an+1-an＞0在n∈N＊中恒成立，所以我們可以推導出3n2+3n+y＞0對于一切n∈N＊恒成立，又可以得到y＞-3n2-3n-1對于一切n∈N＊恒成立，所以可以得到f（n）max=-3n2-3n-1，所以得到 y＞f（n）max。而我們知道 f（x）=3x2-3x-1在[1,+∞]上遞減，所以f（n）max=f（1）=-7，即y=-7。

通過在數學教學中實踐和對數列題型的分析，我們了解到函數思想的內涵，函數思想是非常重要的一種數學學習方法，對采用函數思想解答數列問題進行了說明，可以讓學生學好數列，學會解決數學中遇到的問題，做到舉一反三。探究到了數列學習的便捷方法，數列也是一種特殊的函數，將函數思想滲透和應用在高中數列中，運用函數的性質和數列的聯系來學習和解決數學問題，能夠更好地理解高中數列知識，簡化數列解題流程，能夠有效地培養學生的數學邏輯和思維，加強學生對數學知識的理解和掌握。