合理化分類歸納 構(gòu)建模型出效率
——例談應(yīng)用一元二次方程巧解實(shí)際問題

江蘇省啟東市大江中學(xué) 張爭(zhēng)艷

在初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，往往面對(duì)一些敘述冗長的應(yīng)用性實(shí)際問題，學(xué)生感到一籌莫展。為了讓學(xué)生輕松掌握解決實(shí)際性應(yīng)用題的有效門徑，教師可以積極引導(dǎo)學(xué)生借助一元二次方程找到解決實(shí)際問題的鑰匙，并為將來二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用創(chuàng)造有利條件。筆者認(rèn)為，教師只有把一些基礎(chǔ)性的一元二次方程應(yīng)用題進(jìn)行合理化的分類歸納，才能構(gòu)建通俗化數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在輕松愉悅的氛圍中學(xué)有所獲。

一、握手問題

例1 在北海市局組織的一些教學(xué)交流座談會(huì)上，每兩個(gè)出席者都相互握了一次手，根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)，共握了66次手，試問這次會(huì)議到底有多少人參加？

【題型分析】握手問題屬于比較常見的一元二次方程的應(yīng)用問題，既有一般模式，也有微妙的變化，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生從身邊的問題入手：假如八（1）班教室里共有49個(gè)學(xué)生和一個(gè)任課教師，那就可以提出如下問題：教師希望與全班所有學(xué)生握一次手，那這個(gè)教師一共需要握多少次手？解決此題時(shí)可以讓學(xué)生通過數(shù)一數(shù)、想一想的途徑，就知道是49次了。在此基礎(chǔ)上，教師再引導(dǎo)學(xué)生分析：再派一個(gè)人與其他人握手，共握（2×49）次，再派一個(gè)人與其他人握手，共握（3×49）次…… 直至全部派出來，共握了（49×50）次；同時(shí)，還要斟酌教師和任意一位學(xué)生握了幾次手，不難考慮是兩次，從而得到握手問題的一般模型為。為此，解決例1時(shí)要求學(xué)生明白兩人之間只有一次事件發(fā)生，為了去掉重復(fù)的，應(yīng)該除以2，會(huì)議握手問題就可以輕而易舉地解決了，即=66。引導(dǎo)學(xué)生考慮“握手”問題，可以自己改編成開會(huì)、比賽、簽合同、贈(zèng)書和送卡等活動(dòng)。如類似習(xí)題：在東海經(jīng)濟(jì)發(fā)展區(qū)舉行的商品展銷會(huì)上，要求參加的每兩家公司之間都簽訂一份合同，結(jié)果共簽訂了41份交易合同，問共有多少家公司參加這次交易會(huì)？大部分學(xué)生能立即找到解題思路：先設(shè)共有n家公司參加商品交易會(huì)，由題意得方程=41，問題迎刃而解。

1．比一比

例2 參加一次籃球聯(lián)賽的每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩次比賽，共要比賽90場(chǎng)，問一共有多少支隊(duì)伍參加籃球比賽？

例3 某市要組織一次足球聯(lián)賽，要求采取單循環(huán)形式，每兩隊(duì)之間賽一場(chǎng)，組委會(huì)計(jì)劃舉行15場(chǎng)比賽，試問一共有多少個(gè)足球隊(duì)參加了比賽？

【題型分析】由于例2是兩隊(duì)之間進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，例3是兩隊(duì)之間只進(jìn)行一場(chǎng)比賽，因此，例2列的方程為n(n-1)=90，例3的方程為=15。經(jīng)過比較，理清“除以2”是“去重復(fù)”的含義，從而輕松得出結(jié)論。

2．變一變

例4 一個(gè)具有20條對(duì)角線的凸多邊形應(yīng)該是幾邊形？是否存在有18條對(duì)角線的多邊形？假如存在，它又是幾邊形？假如不存在，請(qǐng)簡要說明得出結(jié)論的道理。

【題型分析】教師可以啟發(fā)學(xué)生想象每個(gè)小點(diǎn)都有一只小手與其他小手握手，但務(wù)必思考：不能與本身或相鄰的點(diǎn)握手。因此，從每個(gè)點(diǎn)出發(fā)，不僅有（n-3）條對(duì)角線，而且線段AB和線段BA是同一條線段，所以可以列出方程=20。

總之，在學(xué)生掌握握手問題的基礎(chǔ)上，教師還必須讓學(xué)生張開創(chuàng)新思維的翅膀進(jìn)行變換，從而輕松地解決實(shí)際問題。

二、增長率問題

例5 鳳凰村2011年的人均收入為11000元，2013年的人均收入為16000元，試求人均收入的年平均增長率是多少。

【題型分析】教師在引導(dǎo)學(xué)生解決類似增長率的應(yīng)用題時(shí)，可以讓學(xué)生先設(shè)人均收入年增長率為x，2011年的人均收入為11000元，到2012年底，增添的收入為11000x元，因此，2012年底人均收入為11000（1+x）元，由此可知2013年底的人均收入為11000（1+x）2元，由題意列方程得：11000（1+x）2=16000。可見，要解決此類問題，教師必須讓學(xué)生總結(jié)出增長率問題的一般模型：a(1±x)2=b，其中，a是初始數(shù)，b是結(jié)束的數(shù)目，n是增長的次數(shù),這樣才能順利解答增長率問題。

三、幾何問題

例6 一個(gè)直角三角形的兩條直角邊相差6分米，面積是8平方分米，試求這個(gè)直角三角形的斜邊長是多少分米？

【題型分析】此類幾何類應(yīng)用題不能讓學(xué)生直接設(shè)斜邊長為x,學(xué)生會(huì)多走彎路。最佳的途徑應(yīng)該是讓學(xué)生間接設(shè)未知數(shù)，即設(shè)其中的一條直角邊為x分米，并根據(jù)“直角三角形的兩條直角邊相差6分米”得出另一條直角邊長為(x+6）分米。接著借助“直角三角形面積是8平方分米”列出方程：=8。當(dāng)學(xué)生迅速解出未知數(shù)后，再結(jié)合問題的實(shí)際情況正確取舍未知數(shù)的值，并計(jì)算出斜邊長，從而得出解決類似問題的一般思路：在采用長度關(guān)系設(shè)未知數(shù)的基礎(chǔ)上，利用面積關(guān)系列出方程解題。

四、利潤問題

例7 某淘寶商店銷售一批牛仔褲，平時(shí)每天能夠賣出20條褲子，每條賣出去的牛仔褲獲得40元的利潤，為了增加銷售量，獲取更多的利潤，淘寶商店的店主決定采取薄利多銷的降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每條牛仔褲每降價(jià)1元，淘寶店每天可多售出2條牛仔褲。如果淘寶店想要每天獲利1200元，請(qǐng)你為這個(gè)店主算一下，每條牛仔褲應(yīng)降價(jià)多少元？

【題型分析】此題屬于利潤型應(yīng)用題，原來每條牛仔褲盈利40元，每天銷售了20條，那每天的利潤為4020=800元。店主為了增加銷售量，獲取更多的利潤，采取薄利多銷的降價(jià)手段，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每條牛仔褲降價(jià)1元，這個(gè)淘寶店就可多售出2條牛仔褲。若每條牛仔褲降價(jià)x元，則每條褲子的利潤是（40-x）元，該店每天就能多銷售出（20+2x）條牛仔褲，而每天的盈利=每件利潤銷售量，則可列出方程：（40-x）(20-2x)=1200,解此方程得：x1=10,x2=20。最后，學(xué)生根據(jù)題意選取x2=20的值，也就是每條牛仔褲應(yīng)降價(jià)20元。

春風(fēng)楊柳萬千條，解題思路多渠道，合理分類巧歸納，實(shí)際問題沒煩惱。學(xué)生只有靈活應(yīng)用一元二次方程的解題思路，才能逐步提高分析問題和解決問題的能力.同時(shí)，在解決具體問題時(shí)，只要認(rèn)真地閱讀題目，縝密分析題意，學(xué)會(huì)分解題目、各個(gè)擊破，就能找到相應(yīng)已知的條件和未知問題，并通過歸類和建模方法理順已知與未知之間的邏輯關(guān)系，輕松列出相應(yīng)的式子與方程求解。