數形結合在高中數學中的應用技巧

山東省泰安第一中學 夏宇軒

一、數形結合的內容

1.它是一種數學的思維辦法，其中包括“用圖形來輔助解決數學問題”和“用數學來輔助解決圖形問題”兩個層次：憑借圖形的不同特性來講述數與數之間的關系；用數的其他性質來解釋圖形的某些屬性。

2.它可以互相轉化，在轉化過程中產生了很重要的影響，它是一個紐帶，把代數和幾何連接在一起，成為很重要的思維模式，也給了我們很多啟示。

3.它是一種表示方法，可以描述很多數學觀點，比如一個函數的變化規律。它也為我們提供了很多的解題辦法，是一個重要的計算工具。

二、數形結合在高中數學中的應用例析

已知：有向線段PQ的起點P與終點Q坐標分別是P（-1，1），Q（2，2）。若直線l：x+my+m=O與有向線段PQ相交，求實數m的取值范圍。

當直線l與那條直線相交的時候，由數形結合可以得出結論：與PQ平行時，直線l的斜率最小；當過M點時，斜率最大。

所以由幾何關系可得kPQ＜kl＜kMQ，得，所以

探討：當只有一個變量的時候，可以化為直線的另一種表示方式——兩點式，此類題目一般情況下可以轉化為求直線斜率范圍的題目。

三、數形結合在方程部分的應用原則

（1）相同性原則。數與數之間能夠相互轉化的前提是必須是相似的，要不然問題會很難解出答案。因為圖形涉及的方面比較有限，所以只能表現出很淺顯的理解，要明白它能帶來的缺點。（2）兩邊性原則，一定要顧全大局，既要對數進行分析，又要對圖形進行探討，要不然很容易得出錯誤的答案。（3）簡單性原則，不應該為了“數形結合”而數形結合。第一，真正應用的時候，一定要預先想一想能否可行；第二，尋找簡單的解決方法，運用它們能相互轉化的特性，更好地解決出問題，對待不同的題目采取不同的運算方法。

四、數形結合在解決數學題過程中的應用技巧

1．數與形相互轉換

①利用坐標系，化靜為動，從而達到解題的目的。

②轉化，通過數與形之間的特性，把思維轉換一下，轉到另一個角度，問題可能會變得很簡單。

③建立、構造一個新概念的圖形、函數等等。

2．應加強這種思維模式與高中數學的聯系

相比低年級的數學問題，高中的數學會比較抽象，同學們會更難理解，這就需要同學們把問題和自己的生活聯系起來。同時，高中教學方式需要同學習慣于用抽象的數學語言來解出真正的答案。例如，在我們初中所學的三角函數中加入數形結合這種思維模式，可以讓同學們將各個方面的知識連接在一起，從而達到提升學習效能的目的。

3．運用數形結合思維來解決不同類型的問題

①“由圖形轉化為數字”，就是憑借題目中所給的圖形，用自己的想象力提煉出圖形中各種隱藏的信息，了解圖形本身的特性，從而達到解決問題的目的。

②“由數字轉化為圖形”，由題目所給的各種信息來在自己的腦構造出一個符合該題目的圖形，使這個圖形能夠很容易地表達出這個題目所要考查的知識點，體現出數與形之間的聯系。

③“數形轉換”，根據“數”與“形”之間具有對立性和統一性的特點，觀察圖形分析問題，引起自己的思考，在合適的情況下，將它們相互轉換，并解出答案。

綜上所述，數形結合這種思維方式用處很大，可以讓同學更快地找出解決問題的捷徑。把這種方法運用到課堂上，同學會更有熱情，也會對以后在生活中解決各種問題提供不小的幫助。

高中的一些數學問題相比低年級需要更高的想象空間，這只靠老師講解是不夠的，而將數形結合這種思維模式傳授給同學，可以讓本來沉悶的學習環境變得更加活躍，還能減少老師的備課壓力，另一方面，它還能激發出同學們的學習熱情，讓同學們的想象力、創造力得到更大的提升。

數形結合為高中生學習數學提供了最簡單的解題道路，學生可以自己來探索、發現，并解決各種實際問題。它的本質就是將抽象的東西變得直觀，讓同學們能夠更好地理解抽象的知識。

總之，教師可以通過各種各樣的活動來讓同學們體會到數形結合的好處，并讓同學們解決一些簡單的問題。運用數形結合這種方法，不能著急，否則會事倍功半，我們必須積累失敗的經驗和解題的各種問題，才會成功。