高中數(shù)學(xué)教學(xué)中解題思路的聯(lián)想方法分析

江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 梁徐燕

我們都知道，高中數(shù)學(xué)知識(shí)看似千差萬別，但是各個(gè)題型之間往往存在著相似之處。通過聯(lián)想方法，可以發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)、不同題型之間的聯(lián)系，讓學(xué)生在“舉一反三”的過程中迅速完成題目解答，這對(duì)于提升學(xué)生解題思維和解題效率來說大有裨益。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以有意識(shí)地運(yùn)用聯(lián)想方法，迅速找到解題突破口，在優(yōu)化學(xué)生思維能力的同時(shí)，增強(qiáng)學(xué)生解題效率，進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力。

一、借助直接聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)迅速解題

所謂直接聯(lián)想，是指借助一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，直接引發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)題目的思考的一種思維活動(dòng)。這種聯(lián)想方法需要學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，比如公式、定理、規(guī)律等，還需要學(xué)生分析題目包含的解題信息，特別是題目給定的條件。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師可以借助直接聯(lián)想，引導(dǎo)學(xué)生快速找到題目信息和數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)迅速解題，進(jìn)而提升學(xué)生解題效率。

例如，在“集合”的教學(xué)中，當(dāng)完成教學(xué)任務(wù)后，學(xué)生對(duì)集合、集合的表示方法、集合與元素之間的關(guān)系就有了一個(gè)基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)，此時(shí)，教師可以借助一些教學(xué)問題培養(yǎng)學(xué)生的直接聯(lián)想能力：（1）已知A＝{x|3-3x＞0}，那么元素-1，0，1，3是否屬于這個(gè)集合？（2）用列舉法表示集合{x|x2-4x+4＝0}；（3）已知集合A＝{1，a2}，那么實(shí)數(shù)a不能等于什么數(shù)？這三個(gè)題目比較簡(jiǎn)單，學(xué)生只要掌握了一元一次不等式的計(jì)算方法、集合的表示方法和集合元素的互異性，不用多加思考，就能迅速求出問題答案。

直接聯(lián)想是一種基礎(chǔ)的聯(lián)想方法，學(xué)生只要牢固掌握了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，就能實(shí)現(xiàn)直接聯(lián)想。這種聯(lián)想方法是一種“一目了然”的解題思維，比較適合隨堂練習(xí)活動(dòng)和課后復(fù)習(xí)鞏固活動(dòng)。

二、借助類比聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通

所謂類比聯(lián)想，是指借助“一題多解”題目或“多元?dú)w一”題目，讓學(xué)生在知識(shí)點(diǎn)的對(duì)比分析中，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通的一種思維方法。“一題多解”題目可以發(fā)散學(xué)生思維，讓學(xué)生在舉一反三中優(yōu)化解題思維。“多元?dú)w一”題目可以讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間的遷移，讓學(xué)生在舉三反一中提升解題能力。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以靈活運(yùn)類比聯(lián)想法，引導(dǎo)學(xué)生不斷開展思維訓(xùn)練，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

例如：解不等式2＜|3x-2|＜5。此題就是一個(gè)典型的“一題多解”題目。方法一：根據(jù)絕對(duì)值的定義，開展分類討論，當(dāng)3x-2≥0時(shí)，不等式可以轉(zhuǎn)化為2＜3x-2＜5；當(dāng)3x-2≤0時(shí)，不等式可以轉(zhuǎn)化為2＜-3x+2＜5，得出解集為方法二：轉(zhuǎn)化不等式組。原不等式可以轉(zhuǎn)化為不等式組2＜|3x-2|且|3x-2|＜5，進(jìn)而得出解集。方法三：利用等價(jià)命題。原不等式等價(jià)于2＜3x-2＜5或-5＜3x-2＜-2，如此可以求出答案。方法四：利用絕對(duì)值的幾何意義。原不等式可以轉(zhuǎn)換為，即在數(shù)軸上，點(diǎn)x 到的距離大于，且小于，畫出數(shù)軸，就可以求出問題答案。教師可以借助“一題多解”題目，引導(dǎo)學(xué)生不斷進(jìn)行思維發(fā)散，利用自身智慧得出更多解題思路，如此一來，不但訓(xùn)練了學(xué)生的解題思路，還提升了學(xué)生舉一反三的思維能力。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比聯(lián)想是一種常用的解題思路，教師可以借助“一題多解”題目或“多元?dú)w一”題目、圖形類比、相似知識(shí)類比（比如等差數(shù)列和等比數(shù)列、線面平行和線線平行等）等方法，引導(dǎo)學(xué)生不斷培養(yǎng)思維能力。

三、借助抽象聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)化難為易

所謂抽象聯(lián)想，是指借助數(shù)學(xué)知識(shí)，結(jié)合給定信息進(jìn)行推理、判斷并得出結(jié)論的思維過程。數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的抽象性和邏輯性，有時(shí)候，很多題目并不會(huì)直接給出解題信息和解題條件，而需要學(xué)生實(shí)現(xiàn)解題信息和數(shù)學(xué)知識(shí)之間的“二次加工”，發(fā)現(xiàn)給定信息、解題方法和數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，以此為突破實(shí)現(xiàn)有效解題。這不但要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，還應(yīng)當(dāng)具備一定的抽象聯(lián)想能力，能運(yùn)用抽象聯(lián)想，合理判斷，科學(xué)推理，并迅速得出答案。

例如：已知方程x2+x-1001=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是a、b，那么（a+1）2+b的值是多少？在這個(gè)題目的計(jì)算過程中，雖然可以直接計(jì)算x2+x-1001=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，但是由于計(jì)算量較大，不但可能會(huì)產(chǎn)生計(jì)算差錯(cuò)，還不利于發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。在這種情況下，教師需要引導(dǎo)學(xué)生深入分析題目的給定信息，借助抽象思維，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，對(duì)解題條件進(jìn)行“二次加工”：根據(jù)韋達(dá)定理，可知a+b=-1。因?yàn)閍，b是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以可以得出a2+a-1001=0，即a2+a=1001。結(jié)合兩個(gè)條件，可以得出 (a+1)2+b=a2+2a+1+b=(a2+a)+(a+b)+1=1001-1+1=1001，借助整體代入法迅速求出問題答案。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的抽象聯(lián)想能力，可以讓學(xué)生在“二次加工”過程中，發(fā)現(xiàn)給定信息和數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)部聯(lián)系，認(rèn)識(shí)題目給定信息中包含的隱藏條件，以此為突破得出最簡(jiǎn)便的解題思路，進(jìn)而優(yōu)化解題思維。

我們都知道，要想有效提升學(xué)生的解題思路，就必須開展充足的基礎(chǔ)訓(xùn)練，只有借助量變引發(fā)質(zhì)變，才能產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。教師可以通過解題基礎(chǔ)訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握有效的解題思維，并讓學(xué)生認(rèn)真分析給定題目中所蘊(yùn)含的隱藏條件，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，迅速鎖定解題思路；扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，能根據(jù)題目迅速搜索出有用的數(shù)學(xué)知識(shí)；靈活掌握聯(lián)想方法，借助直接聯(lián)想、類比聯(lián)想、抽象聯(lián)想等方法，不斷訓(xùn)練聯(lián)想能力。唯有如此，才能幫助學(xué)生不斷提升解題效率，增強(qiáng)解題能力，發(fā)展解題思維。