高中二次函數解題中數學思想的滲透

江蘇省沭陽高級中學 舒捷安

數學思想是對各種特殊科學認識和研究方法的提煉與概括，是數學的靈魂與精神所在，而二次函數貫穿了整個高中數學學習的始終，是我們能夠學好數學的關鍵。對二次函數問題的高效、準確解答是有效檢驗我們對二次函數知識掌握與運用程度的有效途徑，所以說，加強數學思想在高中數學二次函數解題中的滲透顯得尤為重要，能夠提高我們的解題效率、優化二次函數學習效果。我結合學習和解題實踐經驗，從以下幾個方面對如何實現高中二次函數解題中數學思想的滲透進行一番分析與論述。

一、滲透聯想思想，求解二次函數不等式

聯想思想是數學思想的基本內容之一，同時也是有效解決二次函數不等式問題的關鍵點。我們在二次函數不等式的解題過程之中，要注意仔細分析問題的內容和給出的條件，充分聯想問題內容、已知條件和所求問題之間內在的關聯性，并進一步利用已知條件來分析整個二次函數不等式的問題內容，分析和提煉題目中的有用信息，排除各種無用、干擾信息，并進行深入的聯想和想象，從而實現二次函數不等式或者等式之間的聯想轉換，提高解題效率及準確率。

例如：函數f（x）=x2-2ax-3在區間[1，2]上存在反函數的充要條件是什么？解這道題時，我發現這道題的已知條件很少，所以我結合二次函數的圖像進行聯想分析， 因為二次函數f（x）=x2-2ax-3不是定義域內的單調函數，但在其定義域的子區間（-∞，a]或[a，+∞）上是單調區間，而已知函數f（x）在區間[1，2]上存在反函數，所以[1，2] ?（-∞，a]或[1，2] ?[a，+∞），即a≤1或a≥2。

二、滲透對稱思想，求解二次函數解析式

求解二次函數解析式是二次函數問題的基本形式之一，通常求解二次函數解析式會涉及二次函數圖像，而對稱思想在二次函數解析式問題中的滲透和應用能夠實現數形的有效結合，巧妙解決數學難題。所以我們在面對求二次函數解析式問題時，要有意識地將對稱思想滲透到解題過程當中，根據題目給出的要點和已知條件把握二次函數圖像的性質、變化規律和特點，從而畫出二次函數圖像，實現抽象問題向直觀圖像的轉化，從中把握知識點的變化情況，有效開闊解題思路，在對稱思想的滲透下實現圖形與數字的有效結合，最終快速解決數學問題。

例如：“已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0 的兩個實數根 x1，x2滿足，且函數f（x）的圖像關于直線x=x對稱，證明。”在解這道題時，首先我對這道題閱

0讀了兩遍，雖然題干中沒有給出相應的解題信息，但是我想到了二次函數的圖像關于直線對稱，所以，第一步我便過對已知條件進行轉化，得出f（x）-x=ax2+（b-1）x+c。進一步分析題意，題干中給出“函數f（x）的圖像關于直線x=x0對稱”，而且f（x）-x=0的兩個根 x1，x2滿足，由此可得，且

三、滲透換元思想，求解二次函數的最值

最值問題是二次函數的基本題型，在這類題目當中，通常都會涉及復雜的等式或者元素，同學理解和解答起來有一定的困難。而換元思想主要體現為整體換元思想，是指將具有重復特征的部分等看作一個整體單元，將其替換為簡單、數學的元素，從而完成等式或者不等式的簡化。所以，我們在求解二次函數最值時，可以充分利用換元思想進行復雜算式的整體換元或替換，轉換為我們所學過的簡單函數，隨后利用簡單方程的解題方法，即可較為簡便地得出函數范圍，求出函數最值問題。

例如：求f（x）=-x2+4x+5（0≤x≤1）的最值。解這道題時，這道題是典型的二次函數求最值的問題，為了更加快速準確地解決問題，我采用了換元思想尋找解題思路，首先將f（x）=-x2+4x+5進行換元得到-（x2-4x+4）+9，化簡成-（x-2）2+9，顯然，x=2時，f（x）取最大值9是不對的，因為函數定義域為[0，1]。所以，x=0時，f（x）的最小值為5；x=1時，f（x）的最大值為8。

總而言之，知識是不斷變化發展的，只有我們掌握了科學準確的學習方法和解題技巧，才能夠靈活應對各種變化。所以，我們不僅要學習基本的數學知識，更要掌握本質的數學思想，吸收數學思想的精髓，并將換元思想、對稱思想和聯想思想等數學思想針對性地運用和滲透到二次函數問題的解題過程中，切實提高解題效率，保證解題的正確率，為將來的高考備戰做好準備，也為未來走向社會做好鋪墊。