認知圖式理論觀照下數學思維能力的培養

■張敏亞

一、認知圖式理論對數學思維能力建構的解釋

認知圖式理論來源于喬治·凱利的《個人建構心理學》，認為人認識世界，就像科學家做研究一樣，會不斷地提出認識世界的假設并檢驗，最終形成關于世界的圖式。

在數學學習中，學生數學能力的建構，也類似做科學研究。在過去學習的基礎上，學生可能會對數學學習產生幾個假設，如果見到關于數學的新事物，便會去收集更多的信息，并且把當前信息與之前的假設相比較。如果假設被證實，學生就會繼續使用它；如果沒有，學生就會放棄這一假設，用一個新假設取代它。最終，學生不斷地證實、修改、發展個人假設，形成一個層次豐富、界限清晰、細節豐滿的認知結構。相對穩定的結構使他們具有了相對穩定的數學解釋和預測能力。這一過程很像科學家在實證發現基礎上保留或拒絕假設的過程。數學學科是由定義、公理、定理等組成的邏輯大廈，體現了極致的邏輯之美；數學習題更是在數學思想下，依據所給條件的微細變化，在幾個可能的解題方向上做出的恰當的選擇。數學的這些特點既滿足了認知圖式理論所需要的信息，又能夠培養學生的邏輯能力和個人創造能力。

人類思維的原始性是彌散的、無組織的，表現出來的是一種分離的經驗，相互之間無聯系。這樣的思維形態沒有力量，不利于深入學習。然而當前中小學教育中，忙碌的、刷題式的教學模式助長了這種趨勢。在忙碌、焦慮的狀態下，學生一般不能從容地產生假設，不能充分地收集信息，不能按著自己的節奏驗證和發展假設，無法積極地深入探查思維的內在結構，很難在認知層面覺察它們的存在。即使給予學生充足的探究時間，教師也不要對學生的自主性抱有過高的期待。思維是有惰性的，大多數學生的學習會陷入一種重復的、不適應的應對模式。學生既沒有能力識別出這種模式，也沒有能力去修正和改變，只能進行不確定的循環，有時正確，有時不正確，解決問題常處于一種隨機的、混亂的試錯狀態，而不是清晰的、有序的邏輯狀態。

可見，應用認知圖式理論進行數學教學實踐探索具有一定的現實意義，不僅有助于學生數學學科素養的養成，也有利于學生形成廣泛意義上認知世界的能力。

二、認知圖式理論觀照下數學思維能力培養的技術路徑

對教師而言，培養學生的數學思維能力，既需要一個清晰堅固的行動框架，又需要在理論上有連貫的認識，在實踐上有真切的體驗，掌握實際有用的教學技術。借鑒認知療法，數學思維能力的培養可以分為四個階段。教師在實際教學中，應注重追求每一個階段的成功，從而使學生從隨機的反應轉向正常的、有序的思考。

1.識別圖式。

數學思維圖式是以數學思想為解決問題的方向，以數學概念為思維基點，以數學方法為解決問題的工具，綜合考查，構建解決問題的整體性思路。本質上，圖式就是潛在的假設、一系列信息的聯結。一般而言，學生片段化的經驗形成的聯結，構成了他們的認知圖式，也構成了他們基本的思維能力。

如何識別學生頭腦中的圖式呢？首先，教師需要為學生營造安全的學習心境。猶如嬰兒學步，初中學生最初展示的思維可能都是幼稚的、荒謬的。教師應用欣喜的心態看待學生每一點的自我探索。只有學生覺得安全的情境，才有利于思維的激活和發現。其次，從學生的解題行為中捕捉。學生的解題行為揭示了他們的認知圖式。教師講解習題時不應簡單判斷對錯，而應看到文字背后的假設、聯結、技能，讓學生闡述初見問題的整體設想，描述思維過程，解釋他所做出的判斷和選擇，從學生的敘述中辨識。這些都有利于教師對學生的認知圖式的精準識別。

2.指導性發現。

教師的專業性意味著他更富有彈性，有更大的格局、更豐富的細節和更多供選擇的認知圖式，并且這樣的認知圖式可以高明地判斷解題方向，擁有豐富的應對策略，這也是極其重要的數學學科素養。必須反復強調的是，在一般教學情境中，我們可以解決概念的界定、細節的完善、知識的鞏固，但無法發展學生的認知圖式。認知圖式需要的是系統性的解決，需要經歷從假設到探索，再到驗證的反復循環。這是一個曲折幽長的過程，學生較難獨立自主完成，一般的教學也難以促其進步。在學生深入探究知識的時刻，在學生解決問題的細微之處，需要教師的關注和指導。教師既要提供情感支持，也要提供專業支持，從而促進學生認知圖式的發現和發展。

3.固著思維的轉化。

筆者的教學實踐表明，初中學生的數學認知圖式呈現錯綜復雜的特點。在師生努力之下，確定了新的學習框架后，教和學的活動進入了第三階段：質變。在這個階段，面對具體的問題情境，學生反復闡述自己的想法，并對教師指導的內容進行驗證。在這樣的過程中，學生增強了對自己認知圖式的察覺，將自己固著的思維方式與新的經驗片段進行短暫性、漸進性的融合，形成更大的結構體系。此時，一些學生雖可能會有表面退步的表現，但他們會獲得一種學習的掌控感和價值感，使得他們堅持下去。一段時間之后，量的積累會導致質的提升，在某一個時刻，學生會突然覺得那種艱難的感覺不見了，對學習數學有了真正的信心。

4.技巧訓練。

在學生步入這樣的軌道后，教學就可以進入正常的狀態。學生會在教師授課、刷題等活動中學到知識。在這一階段，學生需要的是盡可能多的數學實踐，以利于認知圖式的確認和再造。學生在進入真正的數學學習之前，需要有一個合理的認知框架，也就是說，他們在探索數學之前，已經有了一些關于數學的正確認識，不然，學生只能使用他能想到的應對策略，反復用不一定能勝任的模式來應對學習壓力與挑戰，哪怕這些應對方式已經無數次被現實檢驗為錯誤的方法。

三、從認知圖式理論走向數學教學的實踐策略

北外附校林衛民校長說過，一些教師沒有從教學的復雜性本質特征來研究和把握課堂教學，一線教師的教學困惑主要源自教育工作本質的復雜性。不可否認，即使面對諸多鮮活的生命，一些教師依然會把全班學生視為完全一樣的“內存條”，用幾乎完全一樣的指令，讓認知圖示各異的學生個體去穿越充滿眾多險阻的數學原始森林，導致只能表面達成教學目標。每個教師都遭遇過這樣的情形：面對一道數學綜合題，當自己聲嘶力竭、傾己所能進行講授時，教室里可能毫無生機，格格不入的學生無處不在，教與學之間充滿混亂和痛苦。有識之士早已指出，教學改革不能局限在具體的技術層面。認知圖式理論為我們的數學教育提供了一個全新的理論視角和具有可操作性的解決方案。從理論走向實踐并非易事，需要教師們遵循一些原則，靈活應用一些策略。

1.無條件支持個人思考。

通常學生考好了，教師就給予表揚；學生考砸了，教師就提出批評。教師對學生的喜歡是有條件的，就是學生要快速地學會教師所教的方法，而不是他們誤打誤撞思考出來東西。有時候教師也明白，問題的情境是變化的，教師所教知識的作用是有限的。但我們在不知不覺中，就營造和強化出這樣一種需要學生聽話的教育環境。教與學是一個發展共同體，教師的這一潛在要求自然會影響學生。他們稚嫩的、混亂的思考可能會被嘲笑、譏諷，甚至打擊，個人思考常稍做嘗試就停止了。如果教師教學能像父母看著孩子學走路一樣，對學生每一點的努力和嘗試，都投以贊許的目光，報以欣喜的神情，以一種無條件的支持來鼓勵學生做出思考，以很高的熱情來宣揚學生身上細微的進步之處，營造鼓勵個人獨特思考的班級氣氛，就很可能喚醒學生的內在動力。

2.在有價值的地方進行深度思考。

學生常處于任務飽和的狀態，常忙著完成教師布置的具體作業，空閑時也可能會去做一些額外的習題，但就是不愿進行深度思考。教師需要在一些值得探究的、有思考價值的地方，引導學生進行深度思考。在實踐初期，教師可以通過師生對話的形式，這不僅有利于推動思維的深入，檢查思維的成效，也有利于學生學會正確的思考的視角和方法，收獲積極的體驗。

3.持續完善個人思維導圖。

思維導圖是一種很好的承載知識的組織形式。借助思維導圖，學生可以將數學的思想、概念、具體方法按其內在聯系組合成一個整體，將數學的知識點串成線連成網，形成完整的體系。這樣，學生能夠在新情境下做出一個快速、自動、恰當的反應。在學生初步能力培養的基礎上，教師可以要求學生持續努力畫出某些方面的思維導圖，并最終建構個人數學認知圖式，發展數學思維能力。

數學教育更大的目的在于培養學生的數學思維，提高學生的數學思維品質，這是一個很困難的任務。而個人認知圖式的建構是解決這個任務的有效方式之一。只要我們堅持不懈地指導學生進行個人建構，學生思維能力的提高便會有發生的可能。