數學學習錯誤的教育意蘊及其分類應對（上）

山東淄博師范高等專科學校 張良朋

一

真正的數學學習，就其實際發生的過程而言，實質上是一種正確與錯誤相互交織、交互共進的活動。因此，從啟動學習活動到最終學習成功絕非一個一蹴而就、一帆風順的簡單過程，其間正確與錯誤的想法和做法往往是彼此雜糅在一起，甚至會產生激烈的對抗，因而學習的進程常常表現為錯與對之間的相互博弈，更多的時候需要學習者在辨識正確與錯誤中“摸著石頭過河”。學生不僅要會品嘗學習成功帶來的愉悅，還要妥善應對學習錯誤可能帶來的危機和轉機。一句話，沒有學習錯誤的學習活動是不真實、不完整、不完善的。

學生之間的差異是客觀存在的。課堂教學中經常會出現有一部分學生學習成功了，另一部分學生卻還深陷學習錯誤的泥淖。

當下一個十分普遍的事實是，要求學生在課堂上公開談論錯誤是件很難且很不受歡迎的事。當學生出錯時，他常常覺得自己是個失敗者，是在丟人現眼。我們的調研一再表明，當學生出現學習性錯誤時，從其內心來講，很不情愿將之公之于眾作為“靶子”供大家指指點點，盡管這很可能使出錯者本人和其他同學都深受教益。即使是教師也未必持有正確的學習錯誤觀，他們常常視學生的學習錯誤為惡化教學生態、阻礙教學質量提升的洪水猛獸，因而在教學中千方百計地躲著它，不想與之發生任何關聯，對犯錯學生則往往報以冷嘲熱諷、批評、抱怨等負面情緒——錯誤，常常被一些教師視作教與學的敵人，而非通向教學成功路途上的合作伙伴。

顯然，無論對教師還是學生而言，都很有必要重新認識數學學習錯誤的教育意蘊。

二

數學學習錯誤的教育意蘊，至少有如下幾種表現：

第一，學習錯誤引發的問題，往往對學生探索新知具有啟發作用。

學習錯誤表現雖然與預期的學習目標不符，但它能觸發學生深刻的反思活動，使他們的認識由混沌走向有序，由淺層走向深層，由表象走向本質，啟發他們做出新的探索。現代著名科學家卡爾·波普爾認為，產生錯誤或者發現錯誤，對科學研究不是壞事而是好事，因為它是科學發展的必要前提；只有發現錯誤才能消除錯誤，從而才能提高理論的逼真度，促進科學的發展。他寫道：“當認識到了它們，我們自己的錯誤便提供暗淡的紅光，幫助我們在黑暗的洞穴中摸索出路。”波普爾進一步指出，真理與錯誤是不可分地聯系著的，科學只能在不斷清除錯誤中前進。為此，他提出了一個著名的口號：“從錯誤中學習。”所謂“吃一塹，長一智”，闡述的正是這個道理。

第二，學習錯誤為學生提供了進一步探究新知所需的重要材料和學習信息。

學生初步學習獲得的結果是錯誤的，并不表明它所依據的材料本身也是不可靠的，相反這些材料可能具有特殊的學習價值。換言之，學生前期學習時所選擇的錯誤路徑或獲得的不正確結果，歸根結底都是對正確事實的不正確觀念或錯誤使用引起的。通過分析學習錯誤的外部誘因和內在癥結，學生就會從已有的材料中挖掘出更具本質意義的結論或方法，明確區分哪些是合理因素，哪些是不合理因素，哪些是關鍵因素，哪些是次要因素，不僅有助于認知發展，而且能提升多方面的學習素質。如在學習“三角形的內角和”時，有學生提出：“我們以前是通過把長方形沿著對角線一分為二的辦法，得到直角三角形的內角和是360度÷2＝180度。那么，把一個等腰三角形沿著它的高一分為二，小的直角三角形的內角和應該是180度÷2＝90度。”盡管學生通過類比推演得出的小三角形內角和的結論是錯誤的，但是，他的這一錯誤反映了部分學生真實的思維運行狀態，這為后面深入研討“三角形的內角和”提供了十分難得的辨析材料和發展信息。

第三，學習錯誤可以刺激學生主動變換學習角度，從而向真知逼近。

恩格斯早就說過：“要明確地懂得理論，最好的道路就是從本身的錯誤當中、從親身經歷的痛苦體驗中去學習。”在進行學習時，一旦發現“此路不通”，往往意味著必須另辟蹊徑。順向思考行不通，可以試試逆向思考；單純邏輯分析行不通，可以試試數形結合；分析的思路行不通，可以試試綜合的思路……通過變換學習角度，有助于學生迅速找到學習的突破口，打開學習成功的新局面。恰如大哲學家維特根斯坦曾指出的：“人們一定是從錯誤開始,然后由此轉向真理……要讓人相信真理,僅僅說出真理是不夠的，人們還必須找到從錯誤到真理的道路。”哲學家黑格爾說得更為精辟：“錯誤本身乃是達到真理的一個必然環節。”學習錯誤的刺激功效常常能誘發獨特的認識方法論價值，從而啟發學習者更富成效地找到學習的突破口和嶄新的進階路徑。

第四，學習錯誤可以促進學生整體學習素養的提高。

學生出現學習錯誤，原因是多方面的，有的是因為知識的缺乏，有的是能力還不夠強，有的是心理素質比較薄弱，等等。從學生暴露的學習錯誤中能夠發現他們在整體學習素養上的某些弱項，有意識地利用學習錯誤來有針對性地培養相關素質，正是學習錯誤蘊含的一個重要教育價值。也就是說，學習錯誤為我們的教學提供了十分重要的發展信息。比如：學生出現錯誤之后，往往都會出現負面情緒，產生挫敗感。但是，只要教師引導得當，學習錯誤反而會成為培養學生積極樂觀、迎難而上態度的契機。學習錯誤，可能正好意味著學生的發展出現了新的生長點。一直以來，不少教師都一廂情愿地為學生鋪平學習道路，在學生出錯之前，打好預防針，小心翼翼地保護著學生們免受學習錯誤的困擾。教師或家長把自己的經驗告訴學生，想更好地防患于未然，然而那僅僅是一種間接經驗，并不是他們親自在實踐歷練中獲得的經驗，這樣的間接經驗在應對真實的實踐時往往極其脆弱，不堪一擊。家長的替代，表面上是幫助了孩子，迅速見到了成效，實際上是剝奪了他們在實踐中獲得應對錯誤的寶貴經驗的良好機會。微軟創始人比爾·蓋茨堅持這樣的用人原則：“我喜歡雇用犯過錯的人，這表示他們能冒險。人們處理錯誤的方法，同時也表現出他們會如何因應改變。”被尊為“現代管理學之父”的彼得·德魯克與比爾·蓋茨的觀點不謀而合：“我永遠不會提拔一個從不犯錯誤，特別是從不犯大錯誤的人擔任最高層的工作。”學生整體素養的有效發展不僅是由于要對抗自己內部的錯誤性，同時也是依靠克服自己內部的錯誤性加以實現的。

第五，學習錯誤還原了學生學習活動的真實性和復雜性。

從正確出發沿著正確的路徑采取正確的方法獲得新的正確——總是正確地學習，只是某些人不切實際的一廂情愿，并不符合學生的學習實情。學生經常是帶著“錯誤認知”進入學習狀態的，他們帶著各種各樣源自經驗的成見投入到學習中，其中不乏錯誤的想法。如比德韋爾所說，傳統的數學課堂讓學生們覺得“數學乃是一切都已發現好了的”，這種嚴格控制下的數學教學，實際上是教師利用某種“技巧”掩藏或過濾掉了學生的學習錯誤，這導致學生經歷的學習過程十分順暢，看似十分成功，但實際上只能使學生的學習“踏著虛幻的舞步”，慢慢滑向學習失敗的深淵。暴露、分析學生的錯誤表現，有助于教師全面地、有針對性地深度洞察學生學習活動的真實性和復雜性，盡可能科學地引導學生學習活動的發生發展機制，進而有效解決學生中間潛藏的學習問題，促進學生高質量地開展學習活動。

第六，學習錯誤觸發的警醒意義讓學生具備更為持久和深入的發展力量。

學習錯誤的出現，增加了學習活動的活力和豐富性。我們知道，錯誤常常與某種深刻復雜的情緒體驗和認知活動體驗有機地關聯在一起，其所觸發的警醒意義常常會使犯錯者本人歷久難忘，長時間地保持著對某種錯誤的敏感度與免疫力。正如心理學家蓋耶所說：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤,就將錯過最富有成效的學習時刻。”

三

根據學生在數學學習活動中所犯錯誤的表現形式，我們把數學學習錯誤分為三大類：知識性錯誤，認知性錯誤，情意性錯誤。

（一）知識性錯誤及其教學應對

知識性錯誤屬于學習準備性錯誤，主要是指學生在學習準備階段因尚不具備完成學習活動所需的必要知識和熟練技能而引發的錯誤，從形態上分析屬于結果性錯誤。

知識性錯誤主要涵蓋概念性錯誤和技能性錯誤兩種類型。比如：在教學“長方形面積的計算”時，由于學生把長方形面積和周長的概念混淆，盡管他們非常積極地投入到探究活動中，無奈常常偏離學習的主攻方向，做的大多都是無用功，白白浪費了學習時間。再如：在學習“異分母分數加減法”時，如果學生對同分母分數加減法、通分、約分等必備技能掌握得還不夠熟練，那么在探索新題目“=”的算理和算法時，就會不斷出現令人意想不到的低級錯誤頻繁干擾正常的學習活動。

應對知識性錯誤，前提是科學調研學生基礎知識和基本技能的掌握情況，理清知識性錯誤的具體類型和成因，據此進行查漏補缺。具體的應對方法有：

第一，通過課前的復習作業或課堂上的復習舊知環節化解學生的知識性錯誤，為學生在新知學習中進行知識、方法的有效遷移做好準備。

第二，通過適時建立和及時查閱《學生學習錯誤記錄檔案》來化解學生的知識性錯誤，這樣做把改錯的主動權交給了學生，依靠學生自己的力量化解遇到的困難，能有效化解知識性錯誤給師生帶來的種種困擾。

第三，通過組織針對基本概念、基本技能、常用規則的記憶和掌握等類型的學習基本功比賽，有助于學生在富含激勵的競爭性氛圍中積極主動地打牢學習根基。

第四，化解學生的知識性錯誤要不斷回歸到意義源頭上。學生出現知識性錯誤，并不僅僅是一個記憶不夠牢固的問題，單靠機械死記正確答案并不能真正解決問題。學生不能真正理解知識所承載的意義，可能是錯誤發生的更深層次的原因。教師應該引導學生從根源（意義理解）上尋找癥結并做出改變。維特根斯坦有言：“洞見或透識隱藏于深處的棘手問題是艱難的，因為如果只是把握這一棘手問題的表層，它就會維持原狀，仍然得不到解決。因此，必須把它‘連根拔起’，使它徹底地暴露出來，這就要求我們開始以一種新的方式來思考。”

第五，通過拓展學習途徑化解學生的知識性錯誤。化解學生的知識性錯誤，有時需要一個多次“遇見”的過程。教師可以有意識地引導學生通過不同的學習路徑展開復習，如課內外穿插復習、“課前快答3分鐘”、有問有答小游戲等，隨著學生學習路徑的不斷拓展，學生與某些知識會因不斷“相遇”而漸漸熟悉，從而熟練地掌握這些知識。

（未完待續）