證據實驗：為提升數學素養而教

江蘇邳州市鄒莊鎮中心小學 翟新偉

當下的數學教學，一個根本轉向就是：從“知識教學”轉向“素養教學”。這就要求教師要充分發揮數學學科的育人功能，為提升學生數學學力、發展學生數學核心素養而教。著名數學家高斯說：“數學中許多結論都是用實驗和歸納發現的，證明只是補充手續而已。”在數學教學中，教師必須重視學生的數學實驗，為了讓學生的數學實驗深刻化，教師必須引導學生重視數學實驗中的“證據”。只有在“證據”視域下，學生的數學觀察、比較、猜想、驗證等活動，才能成為一種有意義、有價值的學習方式。

一、證據定位：精確規劃數學實驗的操作方向

基于“證據”的數學教學理念最早出現在20世紀90年代的醫學領域。當時的循證醫學旨在通過科技手段采納最優可得證據，用于最終臨床和政策決策。基于證據理論的數學實驗教學，不僅是一種具體的學習方式、方法，更是一種理念，即數學實驗應當是有方向、有根據、有道理的。證據實驗，避免了數學實驗的“隨意化”“盲目化”。以前測證據為數學實驗的起點，以后測證據作為數學實驗的反饋、評價，能在學生的數學實驗起點與終點之間規劃學生的實驗方向，即運用數學實驗素材，設計數學實驗活動，優化數學實驗方式，評估數學實驗成效等。

如筆者教學《長方體和正方體的體積》時，在學生的自主學習單上出示了這樣一個問題：我們已經學會了用數小正方體木塊的方法計算長方體物體的體積，為什么還要學習長方體的體積計算公式呢？這樣的問題，能引發學生的深度反思。有學生認為，因為用拼搭的方法比較麻煩；有學生認為，因為用公式法比較簡單、快捷；有學生認為，因為有了公式法，才可以對長方體、正方體展開更深入的研究，等等。顯然，學生只是關注到長方體和正方體體積公式產生的外在因素，而沒有真正從本源、本質上加以理解。為此，筆者借助多媒體課件展開對比性數學虛擬實驗：切開一個長為4厘米,寬為3厘米,高為2厘米的長方體綠豆糕，可以通過數體積單位的方法，求出這塊長方體綠豆糕的體積。但隨即出示的長方體瓷磚、長方體木材等，是無法通過切割求出其體積的。為此，探索長方體和正方體的體積公式就成為一種必然。至此，學生深刻理解了探索長方體、正方體體積公式的必然性、必要性。這樣教學，不僅讓學生“知其然”，更讓學生“知其所以然”。“知其所以然”，就是要理解、洞察數學實驗的證據。

有了這樣的深刻認識，學生就能借助分割長方體、拼搭長方體推導長方體、正方體的體積公式。在數學教學中，教師要設定教學目標，為學生的數學實驗導航。要讓學生感受、體驗、認識到數學實驗的必要性。通過證據定位，精確規劃數學實驗的操作方向、操作內容、操作方式。對于數學實驗來說，證據就是一種指引、一種規劃，它能引導學生找到適切的學習方式，助推學生觸摸到數學知識的本質。

二、證據標識：精準定位數學實驗的操作路徑

著名的教育心理學家奧蘇貝爾認為：“如果將全部教育心理學歸結為一句話，就是要弄清楚學生已經知道了什么，并據此實施教學。”在數學實驗教學中，不少教師總是根據自己的已有經驗展開實驗教學，導致實驗的針對性不強、有效性薄弱。為了提升數學實驗的效能，筆者認為，應當研究學生的具體學情，將數學實驗建基于學生的已有知識經驗，從而根據學生的已有知識經驗，精確定位數學實驗的操作路徑。

在數學實驗教學中，教師要重視證據的意義和作用。教學前要確定學生“在哪里”，即了解學生現在知道什么、能做什么、能以什么樣的方式完成什么樣的活動等。只有這樣，數學實驗才能走在學生發展的前面，從而切入學生數學學習的最近發展區。如在教學《三角形的面積》時，筆者發現，學生遇到這樣的數學實驗問題，經常容易發生錯誤。即：“將一張長16厘米、寬12厘米的長方形紙，裁剪成一個底為5厘米、高為3厘米的直角三角形，最多能裁多少個？”學生在解答時經常出錯。究其原因，主要是因為學生習慣于用“包含除”的方法進行直接計算，而不是從實際出發，具體問題具體分析。為了改變學生的固化思維，引導學生突破思維的禁錮，筆者在教學中以引導學生采用“模擬實驗”和“對比實驗”，從數學問題入手，采用分析的思路，引導學生進行數學實驗分析。

[實驗1]將一張長16厘米、寬12厘米的長方形紙，裁剪成一個底為4厘米、高為4厘米的直角三角形，最多能裁多少個？

[實驗2]將一張長16厘米、寬12厘米的長方形紙，裁剪成一個底為4厘米、高為3厘米的直角三角形，最多能裁多少個？

[實驗3]將一張長16厘米、寬12厘米的長方形紙，裁剪成一個底為5厘米、高為5厘米的直角三角形，最多能裁多少個？

相同的問題、不同的條件，有助于學生對證據進行定位。為什么“實驗1”既可以用實驗的“分割”的方法解決問題，也可以用包含除解決問題？“實驗2”要注意什么？為什么“實驗3”只能用“分割”的方法，而不能運用“包含除”的計算方法？通過條件的對比，學生能找尋到解決問題的證據。通過對比，學生能將問題解決的關鍵證據準確定位，即長方形紙長、寬的長短與直角三角形底、高的長短之間的關系。

當學生通過模擬實驗、對比實驗，找尋到解決問題的證據之后，就能有效地解決問題。后測證明，學生在解決這類數學問題時，正確率提高了很多。他們不再像從前一樣盲目，而是多了一份理性、多了一份智慧。有學生通過畫圖，還能將剩下的邊角材料繼續進行裁剪，從而真正讓裁剪的三角形最多。

三、證據掃描：精細反思數學實驗的階段路標

在數學實驗過程中，教師不僅要進行前反饋、后反饋，而且要進行過程性反饋。也就是說，在學生的數學實驗過程中，不僅要進行診斷性評價、終結性評價，更要進行形成性評價、表現性評價。證據掃描，就是在數學實驗的過程中，不斷引導學生對階段性目標進行反思。在這個過程中，要對證據進行跟蹤，從而讓學生的數學實驗能力在證據交互中進階、在證據反思中生長。

如教學《一億有多大》時，教師就可以設計不同的數學實驗，引導學生感受、體驗一億的大小。當一個活動結束時，就是就要引導學生反思，陳述自己的理解、分享實驗的快樂，建構認知的意義。比如[實驗一]：數一數，從時間上感受一億的大小。筆者給學生分發50本本子，要求學生用計時器記錄數50本本子所用的時間，然后推算出數一億本本子所需要的時間。[實驗二]：掂一掂，從質量上感受、體驗一億的大小。筆者先讓學生估測10枚硬幣的質量，然后通過電子秤稱出這10枚硬幣的質量，進而推算出一億枚硬幣的質量。[實驗三]：量一量，從高度上感受、體驗一億的大小。筆者先讓學生測量一枚硬幣、十枚硬幣的高度，然后推算出一億枚硬幣的高度。不同層次、不同視角的數學實驗，其目的始終是如一的，這就是讓學生初步感受、體驗一億有多大。在這個過程中，自然能激發學生的好奇心，喚起學生的驚異感。在每一個實驗階段，教師都必須停下探索的步伐，催生學生的數學反思，讓學生用實驗數據說話，從而實現階段性路標。豐富實驗證據的呈現，讓學生與學生、小組與小組、小組與全班之間展開積極的互動。學生相互影響、同構共生，共同實現著數學學習的群體進階。

“證據實驗”好比一輛奔馳的動車，它是“核驅動”的。基于“證據”的數學實驗，保障了數學實驗是有根的數學實驗，具有鮮明的學科特質。基于證據的數學實驗，學生的數學知識、能力、情感、生命等同構共生。在證據的引導下，學生的數學實驗有的放矢，突破了傳統實驗“動手不動腦”的局限性，實現了學生數學學習力的提升、實現了學生數學核心素養的生成，實現了學生個體數學精神生命的不斷發展。實踐證明，“證據”為數學實驗打開了一扇窗，不僅讓數學實驗有效，讓師生的數學教與學有效，更是將學生培養成善于獨立判斷和獨立思考的人。