奇妙的勾股數

文陳壽來

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學）

3、4、5是一組有趣的數字：32+42=52。5、12、13 也是同樣的關系：52+122=132。還有8、15、17，82+152=172。這樣一組三個正整數a、b、c，滿足a2+b2=c2這個關系，叫作勾股數，也叫“畢氏三元數”。

據考證，遠在公元前1800年，古巴比倫人已經發現了若干組勾股數。中國歷史上的《周髀算經》（成書于公元前500年左右）記載，遠在公元前1100年，西周時代的數學家商高也已經觀察到（3，4，5）是一組勾股數的例子。

從形的角度，我們已經知道如果一組勾股數作為一個三角形的三條邊，那么這就一定是個“完美”的直角三角形。從數的角度，我們知道一組勾股數（a，b，c）一定滿足a2+b2=c2。除了這些，從數的角度看，勾股數還有哪些奇妙的地方呢？

首先，如果（a，b，c）是一組勾股數，把a、b、c都乘上一個正整數，當然（ka，kb，kc）也是一組勾股數。例如（3，4，5）是一組勾股數，（6，8，10）（30，40，50）也是。根據這個結論，我們會發現勾股數肯定有無數組。

讓我們排除這種延伸，規定a、b、c中任何兩個數字都是互質的，就是在正整數范圍內，任何兩個數除了1以外沒有公因數。那么還有多少組勾股數呢？答案還是無窮的。遠在古希臘時期，數學家歐幾里得就已經得出了這個結論。在這個前提下，還有哪些有趣而且似乎讓人意料不到的結論呢？

1.在a、b、c中，a和b一個是奇數、一個是偶數。

2.在a、b、c中，c一定是奇數。

3.在a、b中，有且只有一個數字能被3整除。

4.在a、b中，有且只有一個數字能被4整除。

5.在a、b、c中，有且只有一個數字能被5整除。

6.在a、b、a+b、a-b中，有且只有一個數字能被7整除。例如在（3，4，5）中，3+4=7，能被7整除；在（8，15，17）中，15-8=7，能被7整除。

7.在a+c、b+c、c-a、c-b中，有且只有一個數字能被8整除，有且只有一個數字能被9整除。例如在（3，4，5）中，3+5=8，能被8整除；4+5=9，能被9整除。

8.c本身也一定是兩個正整數平方的和。例如在（3，4，5）中，5=12+22；在（8，15，17）中，17=12+42。

9.在 a、b、c中，最多只有一個數字是完全平方數。例如在（3，4，5）中，4是2的平方；在（8，15，17）中，沒有一個是完全平方數。

其實勾股數還有很多奇妙的地方，有興趣的同學可以自己去發現哦！