Nekrasov矩陣線性互補問題誤差界的估計

李艷艷

（文山學院 數學與工程學院，云南 文山 663099）

線性互補問題（Lcp (M,q)）廣泛應用于二次規劃、雙矩陣對策、期權定價問題等交通、經濟和控制等領域[1-4],它的模型是指求x∈Rn，滿足

其中M是實矩陣，q是實向量。

當線性互補問題中所定義的M矩陣具有較好的性質時，它的求解將會容易許多，例如當M是主子式都為正的實矩陣（P矩陣）時，該問題不僅有唯一解，且能較容易的得到誤差界[5]。

例如，陳小君等在文獻[6]中給出了P矩陣線性互補的誤差界

r, 在該誤差界問題中，最難求的是，關于該難點，最近幾年許多學者在文獻[7-9]中進行了大量的研究。

本文將研究主對角元素為正的Nekrasov矩陣的線性互補誤差界估計問題，通過利用Nekrasov矩陣逆的無窮范數上界的估計式，結合它的性質和不等式性質，給出該問題的一些新估計式。

1 預備知識

設矩陣M= (mij)∈Cn×n（Cn×n為復矩陣集），對?i∈N， 有，稱M是Nekrasov矩陣。

關mii＞ 0的Nekrasov矩陣的線性互補誤差界估計問題. 李朝遷，高磊分別在文獻[10-11]中給出下面的兩個估計式

引理 1[10]設M= (mij)∈Cn×n是mii＞0 的 Nekrasov矩陣，令0≤di≤1，則是Nekrasov矩陣，進一步，對任意的

引理 2[12]設γ＞0,η＞0，則?x∈[0,1]有

引理 3[10]設M= (mij)∈Cn×n是mii＞0 的 Nekrasov矩陣，令

引理 4[13]設矩陣A=(aij)∈Rn×n是 Nekrasov 矩陣，若

則

引 理 5[13]設 矩 陣A=(aij)∈Rn×n是 Nekrasov 矩陣，若

則

2 主要結果

本部分給出對角元素為正的Nekrasov矩陣的線性互補誤差界估計式。

定理 1設M= (mij)∈Cn×n是mii＞0 的 Nekrasov矩陣，，則

證明：設0≤di≤1，則由引理1知是Nekrasov矩陣，應用引理2中的不等式和zi(M)，ηj(M)的關系得

應用引理4中Nekrasov矩陣逆矩陣無窮范數的估計式和（1），（2）式知下面的結果

定理證畢。

定理 2設M= (mij)∈Cn×n是mii＞0 的 Nekrasov矩陣，，則

證明：設0≤di≤1，則由引理1知是Nekrasov矩陣，應用定義和不等式的性質得

由定理1的證明知

應用引理5中Nekrasov矩陣逆矩陣無窮范數的估計式和（3），（4）式知下面的結果

3 數值算例

應用本文定理1中的估計式，當μ取不同值時的結果見表1。

表1 μ取不同值時的結果