數學認知結構下的數學學習

貴州師范大學數學科學學院，貴州貴陽 550025

數學學習的實質即學生在教師的指導下，能動地建構自己的認知結構，最終自己得到全面發展的過程。簡單來說，就是在教師指導下，學生獲得數學經驗的一種過程。心理學中的認知過程，指個體通過對外界事物的感覺、知覺、聯想、思維等一系列信息加工的活動，良好的數學認知結構是后繼數學學習的需要。通過對數學認知結構含義及其特征的探究，來進一步提高學生的數學學習。

1 數學認知結構含義及其特征

所謂的數學認知結構，指學生對來自于在界的數學知識通過自己的感覺與直覺、思維等認知活動，對數學知識進行內化加工處理，在認知等的心理活動的作用下，形成一個具有自己內部規律的完整組織結構。數學教育工作者對數學認知結構特點的深入把握，有助于學生的數學學習。

1.1 數學認知結構具有主觀性

數學認知結構是由外部的客觀的數學知識和學生內部的思維活動兩方面共同作用而成。數學知識是客觀存在的，當教師將教材里陌生的數學知識通過課堂教學呈現在學生面前時，學生會通過自己的感覺、知覺、注意、理解、記憶等思維活動、心理活動來對這些數學知識按照自己的方式進行信心加工處理，內化為具備自己思維屬性的認知結構，并且在內化過程中會保留數學知識原有的抽象性與邏輯性等的特點。數學知識的抽象程度亦或是否具有很強的邏輯性對學生采取的認知方式也會有一定程度的影響，邏輯性強的知識更需要學生投入多一些自己的理解，進而去歸納總結該知識點；對于一些較為抽象的數學知識，前期對相關的一些事物的感覺、知覺要更多一些，對于后期理解知識點會更有幫助。總而言之，數學認知結構是教材中數學知識同學生的認知心理活動二者間相互作用的產物。

1.2 數學認知結構受已有數學知識與數學經驗的影響

從數學認知結構的形成來看，均是在學生已有的數學知識基礎上能動建構的，數學認知結構的形成離不開學生的舊數學知識和積累下的數學經驗，因此，數學認知結構是不斷在新舊數學知識的交替與融合中不斷地更新與重構，數學認知結構得到深化，豐富數學經驗，在此方式下，學生將所習得的數學知識轉化為自己的經驗，將數學知識長久地保留在自己的頭腦中。

數學認知結構既是一個整體又具有各個知識塊的特殊屬性。從宏觀上來說，數學知識與數學經驗同學生認知心理活動后的產物及時數學認知結構；從微觀上來分析，數學知識又可以分為數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐這4 大塊，每一知識組塊有各自的數學認知結構，且各數學認知結構又是“互通有無”與“交流”的狀態。例如“數與代數”認知結構的掌握有利于學生后續“圖形與幾何”的學習。

1.3 數學認知結構與學生學習習慣相關

數學認知結構的形成離不開學生的數學學習的心理活動，每個學生的認識水平與方式都是存在著差異性，因此彼此的數學認知結構的風格也就有很大的不同之處。從知識類型來分析數學認知結構，根據知識的不同狀態與表達形式可以分為陳述性知識與程序性知識。在數學學習過程中，有的同學會更擅長公式的記憶，也就是陳述性知識的學習，而有的同學則更傾向于程序性知識的學習，如公式的推導與證明等。陳述性知識較易獲得但也比較容易被遺忘，而程序性知識一旦獲得，經歷后期的鞏固之后可以牢牢地被學生掌握，因此，以擅長掌握陳述性知識的學生的數學認知結構較不穩定些，而喜歡操作性知識學習的同學的數學認知結構中就更會儲存較多的可用于實踐操作性的數學知識。由此，數學認知結構與學生的學習個性有莫大的關聯性。

1.4 數學認知結構具有秩序性

小學階段學習數的概念逐步形成有關數的基本的數學認知結構，到了初中階段掌握有關方程的運算，此時，有關“數”的數學認知結構就得到了充實，由此可見，從縱向來看，數學認知結構的形成是循序漸進，遵循著一定的順序的。從橫向來看，在某一階段的教育中，學生不僅會學習“數”的知識，同時也會學習“圖形與幾何”方面的數學知識。數學認知結構無論是從縱向還是橫向發展來看，均是按照一定的層次秩序依次進行的。

1.5 數學認知結構具有發展性

個體的數學認知結構是一直處在發展的狀態下，并非是一成不變的，新舊數學知識以及數學經驗都會影響數學認知結構的形成與發展。新舊數學知識的不斷融合，數學經驗的累加，學生的數學認知結構不斷得到發展，在這過程中需要不斷地進行知識的同化與順應。學生根據新的數學知識的種屬進行同化或是順應等認知活動，一部分同化到舊知識中擴大原有的認知結構，一部分順應成為頭腦中的知識，經過認知操作等信息加工處理成為新的數學認知結構，豐富了原有的認知結構的種類。

2 良好數學認知結構的的特征

2.1 良好的數學認知結構具備良多的觀念

在小學階段學生從簡單的“5+6=？”的問題入手，掌握基本的加減乘除運算，隨著年級升高，逐漸學習3位數的加法、兩位數與兩位數的乘法運算；小學升入初中，學生開始學習多項式合并同類項、一元二次方程的多種解法；考入高中，學習復數的運算，由此可見，隨著學段的提高，每個學段的問題解決都需要前面所學知識來作為輔助。具備越多的知識組塊對后續數學問題的解決越有利。

2.2 良好的數學認知結構具備穩定且良好的產生式

前文提到了要有足夠多的觀念，在解決數學問題過程中，這些可利用的觀念只是解決問題的工具，但是工具同時也需要會操作的人來運用，才會達到問題解決的效果。美籍匈牙利數學家波利亞“怎樣解題”表給我們提供了適用的解題思路。當學生對于某一類型的問題掌握足夠的基礎知識后，拿到問題，在頭腦中浮出“怎樣解題”表，“未知數是什么？已知數是什么？條件是什么？”，在了解問題后，進行下一步“擬定計劃”，“你以前曾見過他么？”，“你用了全部條件嗎？”等等，之后是實行計劃，最后返回問題，檢查自己的答案。產生式的目的是喚醒學生的心理活動或是心理運算。

2.3 良好的數學認知結構具備有序的知識組塊

學生在具備了穩定的產生式后，需要頭腦中的各級各類的知識組塊有秩序地排列。根據數學知識類型來看，分別有“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”、“綜合與實踐”4大知識組塊，從解題方法來看，例如有“待定系數法”、“配方法”、“函數法”等知識組塊，這些知識組塊如果是雜亂無章儲存在頭腦中，縱然有太多的產生式，也無法完成數學問題的解決。反之，各類別知識組塊依照本質屬性分門別類地儲存，在頭腦中形成一個有層次有條理的知識網格結構，提高問題解決效率。

2.4 良好的數學認知結構具備一定的問題解決策略的觀念

傳統學習中常常提到的“熟能生巧”即是通過多加練習，后期多多總結解題技巧等來提高問題解決能力，在聯系的過程中，學生的問題解決策略也會逐漸積累，根據題目的具體要求，選擇最適合題目的策略，這種問題策略是靠著多次的聯系逐漸積累與掌握。

3 數學學習的一般過程

根據學習的認知理論可知，數學學習的過程是新的學習內容與學生原有的數學認知結構相互作用，形成新的數學認知結構的過程。依據學生認知結構的變化，可以將學習的一般過程劃分為3個階段：輸入階段、相互作用階段、操作運用階段。

3.1 輸入階段

在這一起始階段，學生在教師創設的數學情境中接觸新的數學知識，并同時喚醒起頭腦中與此相關的原有的舊知識，通過對新知識的感知，以及同舊知識間的對比，完成對新知識的的接受。學生接受新知識需要教師創設一定的情境，此情境要激起學生的求知欲望，燃起學習的熱情，學生能夠通過情境的渲染，達到認知沖突，開啟數學學習的過程。

3.2 相互作用階段

相互作用階段離不開同化與順應。一方面，在知識建構過程中，學生需要以原有的知識經驗為基礎來同化新知識，這也意味著學生對于新知識的理解離不開舊知識和原有的數學經驗的支持，通過將新知識納入原有認知結構而引起認知結構發生量變的過程，叫做同化。另一方面，新知識與原有觀念存在一定的偏差時，新觀念的進入則會使原有的觀念發生一定的調整，以順應新知識的接納。

例如，學生在學習“一元一次方程”這一章節時，與此內容相關的原有數學認知結構有“有理數”、“整式”等內容，“一元一次方程”的學習可以在相關原有認知結構接觸上，擴充舊知，豐富原有的數學認知結構。

總的來說，“同化”與“順應”二者是同時存在于相互作用的階段，是學生在數學學習過程中兩種不同的認知方式，各自的側重點存在著一定的差別。

3.3 操作運用階段

數學學習最終是要提高學生的問題解決能力，在這一階段，即是指通過數學練習，強化學生對于新知的掌握，恰當的數學練習可以完善學生的數學思維活動。這一階段的目的是一方面使學生牢固掌握新知識完善認知結構，另一方面使學生掌握相應的問題解決方法，提高問題解決能力。

良好的數學學習離不開心理活動的探索，以認知結構為基石，從數學認知結構出發來探究學生的數學學習路徑，有利于改善學生的認知圖式，提高學生的數學學習質量，另一方面也能夠給教師以教學方面的啟發，優化數學課堂，提高教學效率，完成教學目標。因此，有效的數學學習離不開數學認知結構的完善。