基于矩陣和線性遞推算法的自動裝配工藝順序WMS數學模型??

卓麗云 顧立志

(①廈門工學院機械與材料工程學院，福建廈門361022；②華僑大學機電及自動化學院，福建廈門361012)

虛擬裝配(virtual assembly,VA)是虛擬制造的重要組成部分之一,其帶來了全新的設計和制造理念.在產品設計過程中,傳統產品開發必經從設計到生產的反復修改和不斷試制的過程,這就需要大量的人力、財力、物力.相反地,虛擬裝配技術是通過建立產品數字化裝配模型,在計算機上創建接近實際的虛擬環境,用虛擬產品代替傳統設計中的樣機,對產品的裝配過程進行仿真模擬分析,檢查產品零部件之間的正確裝配關系,包括可行性、順序性、方向性、干涉情況以及公差配合等方面的內容,并將這些裝配信息反饋給設計人員以進行設計的更改.因此,虛擬裝配有助于對產品零部件進行虛擬設計和虛擬分析,可以有效地解決零部件從設計到生產所出現的技術問題,以達到縮短產品開發周期、降低生產成本以及優化產品性能等目的.虛擬裝配技術主要包括虛擬裝配建模方法、裝配順序規劃(或稱裝配序列規劃)、裝配干涉檢驗技術和裝配仿真技術.裝配順序規劃(assembly sequence planning,ASP)是虛擬裝配過程的一個重要環節,其主要建立在虛擬裝配建模的基礎上,依據某種推理方法為目標產品求解出一條或多條裝配順序,再通過一定的評價指標得出最優的裝配順序[1-3].

國內外學者分別應用不同的推理方法對裝配順序規劃進行研究并取得一定的成就.早期的裝配順序規劃研究主要在幾何推理算法和簡化規則的支持下,推理出所有可行的裝配順序.國外學者Seikguchi[4]根據裝配信息建立了裝配圖,并通過對裝配圖的分析和一定的優先關系求解裝配產品的裝配順序.Bourjault[5]先根據有關信息構建裝配聯接圖,再通過對零件之間配合關系的一系列交互問答獲取零件聯接的優先關系集,由此推出產品的可行裝配順序.DeFazi和Whiteny[6]對Bourjault的方法進行了改進,降低了與用戶交互的程度,減少了求解的個數.Homem de Mello和Bourjault[7]在此基礎上引入了裝配割集分析方法.Homem de Mello和Sanderson[8-9]隨后又將裝配問題轉化為拆卸問題,提出利用割集法求解可行拆卸順序的方法.國內顧廷權、高國安,徐向陽[10]也提出了基于割集法理論的裝配序列自動生成的算法.沈梅、雷哲書、張鐵昌[11]在裝配割集法的基礎上又提出了裝配特征面集方法.盧小平提出層次化裝配模型,并提出基于裝配關聯圖的分層規劃算法[1].譚光宇、李廣慧、陳棟[12]利用配合關聯圖和鄰接矩陣,提出基于配合關聯圖的子裝配識別和裝配序列規劃方法.王孝義、汪惠芬采用人機協同規劃策略,結合空間鄰近性驗證算法和非阻礙性驗證算法,提出基于結構樹重構的產品多級子裝配劃分方法[13].

隨著虛擬裝配技術的逐漸成熟,人們開始將現代優化算法如蟻群算法、遺傳算法、粒子群算法、免疫算法、構造矩陣等人工智能算法應用到裝配順序規劃中[14-18].孫康和廖文[19]通過構造裝配矩陣將蟻群算法改進并運用到衛星產品的裝配序列規劃中.夏平均和姚英學[20]將虛擬現實和蟻群算法結合起來,以仿生算法的生物智能作為引導,結合蟻群算法規劃出初始可行的裝配序列.劉亞杰、古天、Pedraza G和Diaz M等人[21-22]把遺傳算法進行改進并運用到裝配序列中,分別解決了并行裝配序列的規劃問題和通過減少重新定位和工具的數量以解決拆卸矩陣在裝配序列規劃中的問題.耿育科、于宏、陳大亨等人[23-25]將粒子群優化算法引入到裝配序列規劃中,并結合鄰接矩陣、干涉矩陣和支撐矩陣,運用實例驗證了粒子群算法在裝配序列規劃中的有效運用.Li Xinyu、Qin Kai和 Zeng Bing[26]等人將和諧搜索算法改進并成功地運用到裝配序列規劃中.Wang Yong和Tian De[27]運用量化指標計算成本的裝配與模糊層次分析法的關系,最終生成裝配順序裝配優先圖.姚壽文、魯立鵬、李慎龍[28]將裝配關聯圖、裝配鄰接矩陣、裝配優先約束矩陣、子裝配體識別技術和割集算法融合一體,提出割集及子裝配體的裝配順序規劃算法.徐周波、肖鵬、古天龍等人[29]將螞蟻算法、混沌算法和遺傳算法結合運用到齒輪油泵裝配順序規劃并得驗證.

本文面向機電產品的自動裝配,根據自動裝配的基本要求和特點,提出裝配約束件和裝配零件集的概念,運用矩陣算法構建裝配關聯矩陣和裝配約束矩陣,結合線性遞推算法得到裝配順序的WMS模型；以層次分析法確定裝配因素的影響權重系數和對各影響因素值進行無量綱化處理,獲得裝配順序綜合評價矩陣.最后,以一自動-手動水龍頭為例進行驗證.

1 自動裝配工藝順序的WMS數學模型構建

1.1 自動裝配的基本要求

自動裝配是指在沒有人為參與的條件下按照產品裝配圖的結構原理和技術要求,把若干個已經加工好并且檢驗合格的零件或部件通過各種裝配約束關系組裝成產品的過程.自動裝配的基本要求是以保證產品質量及其穩定性為主,以降低生產成本、改善勞動條件和提高勞動生產率為輔.因此,設計自動裝配工藝時必須綜合考慮以下幾個方面:

(1)自動裝配精度:主要包含形狀精度和尺寸精度.形狀精度取決于零件的制造精度；尺寸精度取決于自動裝配工藝,主要受裝配零件的配合性質、接觸質量、相對位置精度和運動精度的影響.

(2)自動裝配零件的分類:為了保證裝配自動化程度,必須對裝配零件進行分類分組并采用相應的料斗裝置可良好地實現零件的自動供料.零件按結構形狀特征分為軸(套)類、盤(蓋)類、叉架類和箱體類4種類型.

(3)自動裝配過程中基準件的選擇:裝配基準件在傳送裝置自動傳送時,必須保證在每個裝配工位上都能準確定位.因此,應該選擇好裝配基準件并減少其在自動裝配過程中的位置變動以避免重新定位.

為了保證產品能夠正常裝配,裝配過程中必須嚴格遵守自動裝配的一般原則:先大后小,先里后外,先輕后重,先下后上,先平后高,上道工序不影響下道工序,下道工序不改動上道工序等.

1.2 基于矩陣算法的自動裝配順序數學模型構建

1.2.1 裝配零件集

設有一機械系統由n個零件按一定規則裝配而成,則可用零件集Wp表達:

每個零件特征用向量表示:Wi＝[Wi1Wi2Wi3Wi4Wi5Wi6]

式中:Wi1表示零件名稱及代碼；Wi2表示零件的幾何形體；Wi3表示零件的連接/裝配基準；Wi4表示零件裝配的次數；Wi5表示零件的裝配特征與尺寸；Wi6零件的廓形尺寸.

為了滿足自動裝配的需求,按照裝配圖要求,考慮現有裝配工藝條件,將零件進行系統化定義,以其特征為要素進行必要的說明和描述如下:

(1)Wi1表示零件名稱及代碼:用于管理、檢索和訪問.

(2)Wi2表示零件的幾何形體:清楚描述零件基本形貌特征,屬于軸套類、盤蓋類、箱體類、叉架類、異型或其他.

(3)Wi3表示零件的連接/裝配基準:在整個系統中,該零件的局部連接或配合參考的起始點線面.

(4)Wi4表示零件裝配的次數:描述零件有幾次機會與其他零件裝配.

(5)Wi5表示零件的裝配特征與尺寸:描述裝配的點線面及其尺寸,裝配性質及與其他零件的連接方式,包括連接基準、配合或連接的性質等.

(6)Wi6表示零件的廓形尺寸:給出零件的整體外廓情況,形態和尺寸,特別地描述了零件自重和占據空間情況.

如自動-手動水龍頭裝配結構,代號為4的零件(組件,或其他裝配單元)為軸承,在環形平面導槽中滾動并起支撐作用,保證活動件工作正確平穩順滑.其Wi1～Wi6具體描述如下:

W41flat roller,4(平滾子,4).W42sleeve(圓柱形套筒件).

W43upper and end d-center(按裝配圖方位,上端面,雙圓中心).

W44Number of assembly(2)(裝配或約束,2次).W45cylinder,φ58,transition； internal cylinder,φ32,interference(外圓柱,直徑58 mm,過渡配合；內圓柱,直徑32mm,過盈配合).

W46φ58,iφ32,13(外圓柱直徑58 mm,內圓柱直徑32 mm,高13 mm).

1.2.2 裝配約束件

裝配約束是指兩個完全獨立的零件依照一定的條件如位置、接觸和運動等條件進行組裝,最終使兩者形成具有相互約束的裝配體.本文把具有一定裝配約束關系的兩個零件定義為裝配約束件.換言之,產品的裝配過程就是把n個互相獨立的零件按照裝配結構原理和要求,把互有約束關系的兩個零件組裝成一級裝配約束件,一級裝配約束件再繼續和其他互有約束關系的零件組裝成二級裝配約束件.以此類推,直至把零件全部組裝完畢.按此定義,確定裝配約束件是產品裝配的前提條件.

1.2.3 關聯矩陣

根據裝配理論可知,兩個零件要形成裝配約束件,前提是這兩個零件必須具有一定的關聯性,否則不存在裝配約束關系.假設某產品由n個零件(n＝1,2,3,…,n)組成,根據兩零件之間的是否存在關聯性可構成一個n×n的關聯矩陣Rij,矩陣中的行表示零件i與其他所有零件的關聯性,列表示每個零件與零件j的關聯性,其關聯矩陣Rij表示如下:

式中:Rij取值為0時,表示零件i和零件j不存在關聯關系即不可能形成裝配約束件；Rij取值為1時,表示零件i和零件j存在關聯關系即可以形成裝配約束件；同時把零件本身的關聯值定義為0.Rij取值含義如下:

1.2.4 約束矩陣

由裝配關聯矩陣可快捷得出哪些零件可互為裝配約束件,根據裝配約束件的約束類型構建一個n×n的裝配約束矩陣Ckl.其裝配約束類型分為支撐約束、緊固約束、傳動約束和傳統約束,其含義分別描述如下[30-31]:

(1)支撐約束:裝配約束件中一個零件對另一個零件具有穩定支撐作用,即兩裝配約束件表面接觸且接觸面的法矢與水平面垂直.

(2)緊固約束:裝配約束件存在特殊的緊固方法且具有一定的聯接力.例如:螺紋聯接、鉚接和過盈聯接等.

(3)傳動約束:裝配約束件具備傳遞扭矩的功能.例如:齒輪聯接、蝸桿聯接、鏈聯接和花鍵聯接等.

(4)傳統約束:裝配約束件通過零件兩特征表面形成一定的約束關系.例如:兩特征面貼合、兩特征面對齊、兩特征面成一定的角度關系、兩特征面平行、兩特征面垂直、兩特征面相切、兩特征面相距一定距離和兩特征面的中心線對齊等.

根據上述的規定構成一個n×n的裝配約束矩陣Ckl,其中Ckl元素表示零件Ck和零件Cl的約束類型,矩陣中的行表示零件k與每個零件的約束類型,列表示每個零件與零件l的約束類型,同時把零件本身的約束類型定義為無裝配約束關系,其裝配約束矩陣Ckl表示如下:

式中:裝配約束矩陣Ckl取值表示如下:

1.2.5 裝配工藝順序WMS數學模型

產品自動裝配過程中的裝配工藝主要包括裝配方法和裝配順序規劃.基于產品的裝配工藝規劃特征模型可以用下式:

式中:Wp＝ { Wi},Wp表示組成裝配體的零件集,Wi表示系統第i個零件的特征向量；Mij＝ {M1,M2,…,Mn},Mij表示零件 i與零件 j之間的裝配方法；Skl＝{ Akl,Alk},Skl表示裝配約束件(包括組合件)的裝配順序,Akl表示先裝零件Ak后裝零件Al,Alk則表示先裝零件Al后裝零件Ak.

在產品的自動裝配工藝規劃特征模型中,裝配方法對裝配產品的影響直接體現在裝配順序規劃上,裝配順序Skl決定著產品的最終裝配順序,是產品自動裝配模型的核心.設一系統有n個零件構成零件集WP,按照裝配約束件的概念和裝配的一般要求,自動裝配的基本思路為:先確定裝配基準件,再根據裝配約束矩陣把互有約束類型的零件組裝成一級裝配約束件,裝配約束件再繼續和其他互有約束類型的零件組裝成二級裝配約束件；以此類推,采用線性遞推算法,最后把全部零件組裝成一完整機械系統.即使裝配過程存在平行作業行為,也僅是在裝配過程中節約了裝配作業時間,所以仍把平行裝配計為一次裝配.因此,自動裝配順序規劃可用裝配路徑線性遞推邏輯可表為如圖1的形式.

線性遞推裝配路徑累計次數為:

式中:M表示由n個零件組成的產品理論存在的裝配路徑總數；K、L、…、R、1分別表示與裝配基準件可能構成裝配約束件的零件數,即對應的裝配路徑線路數.

具體的裝配路徑用線性遞推樹形表示如圖2所示.

裝配路徑總數表達式為:

式中:M表示產品理論存在的裝配路徑總數；K表示一級裝配路線數；1L、2L、…、kL、R、1 分別表示各級裝配路線數.

2 裝配順序綜合評價數學模型的建立

根據前面建立的裝配數學模型確定下來的裝配順序往往具有多條可行的裝配順序,這就需要建立相應的評價指標才能快速地從中選出最優裝配順序.本文參照參考文獻[32-33],運用層次分析法確定裝配因素的影響權重系數和對各影響因素值進行無量綱化處理,最后通過建立裝配順序集的綜合評價模型來確定自動裝配產品的最優裝配順序.一般機械產品的虛擬裝配順序的綜合評價目標主要有裝配精度、裝配成本和裝配時間3個方面,而影響這3方面的因素主要有:裝配可行性(DK)、裝配并行度(DB)、裝配聚合性(DJ)、裝配重定向性(DC)和裝配穩定性(DW)等5個因素,即裝配順序的影響因素U＝ [DKDBDJDCDW].對于不同產品的評價目標往往不盡相同,這就使得每個裝配因素的影響呈多樣性.故將每個裝配因素的影響權重系數設為向量Ai＝ { A1,A2,A3,A4,A5}.因此,裝配產品的裝配順序評價模型表示為:

式中:0≤A1、A2、A3、A4、A5≤1 且 A1+A2+A3+A4+A5＝1.D為裝配評價模型值,D值越大,代表裝配順序質量越優.

假設一個產品有n條可行的裝配順序,即裝配順序集為I＝ {1,2,3,…,n ,其裝配順序集的影響因數評價矩陣表示如下:

則有裝配順序集的綜合評價模型表示如下:

根據裝配綜合評價矩陣計算出來的裝配順序集進行排列即可快速得出Dmax,即此條裝配順序為最優裝配順序.

3 自動裝配工藝順序模型與規劃模型的應用

應用上述自動裝配數學模型和裝配綜合評價矩陣于一自動-手動水龍頭的自動裝配.自動-手動水龍頭裝配結構如圖1所示.

3.1 創建裝配順序的實際應用

由圖3可以看出此產品裝配圖由11個零件(包括簡單的子裝配體)組成,即零件集為WP＝ W1,{ W2,W3,…,W11},建立裝配關聯矩陣Rij表示如下:

由此裝配關聯矩陣便可直觀找出互有關聯的零件,再根據裝配約束矩陣Ckl可得出:

由此裝配件約束矩陣可知:

(1)構成支撐約束裝配件的零件有7對,即W1∧W3,W1∧W8,W3∧W4,W3∧W6,W4∧W5,W5∧W8,W9∧W11.

(2)構成緊固約束裝配件的零件有3對,即W1∧W11,W2∧W6,W9∧W10.

(3)構成傳動約束裝配件的零件有3對,即W6∧W7,W7∧W8,W7∧W10.

(4)構成傳統約束裝配件的零件有4對,W1∧W4,W4∧W6,W8∧W10,W4∧W7.

3.2 裝配順序綜合評價的實際應用

根據前面所列的裝配順序表達式可得出理論裝配路徑有20條；結合自動裝配的基本原則和實際的裝配經驗可行的裝配順序有3條,見圖4.其中,圖4a裝配順序基本為串行裝配方案,以底座1為裝配基準,主要考慮產品的實際工作狀態按“從下由上”的裝配順序進行裝配.圖4b、4c裝配順序為并行裝配方案,分別以并行順序裝配成若干子裝配體后再進行串行裝配.

參照文獻[33]設各裝配影響因素的權重系數Ai＝{0.224 248 9、0.066 305 47、0.185 743 53、0.198 422 7、0.325 243 1}.該例有3條可行的裝配順序,即裝配順序集為I＝ { 1 ,2,3}.

裝配影響因素值進行無量綱化處理,具體如下:

(1)裝配可行性影響值:三條裝配順序方案均可行,即 D1K＝D2K＝D3K＝0.

(2)裝配并行度影響值:圖4a裝配順序需要10步裝配完成；圖4b裝配順序需要6步裝配完成；圖4c裝配順序需要9步裝配完成；即D1B＝1/3,D2B＝1,D3B＝2/3.

(3)裝配聚合度影響值:

圖4a裝配順序:裝配類型依次為:軸套配合、軸套配合、螺紋配合、軸套配合、鍵傳動配合、面支撐配合、鍵傳動配合、鍵傳動配合、螺紋配合、螺紋配合.

裝配聚合值:0+1+1+1+1+1+0+1+0＝6.

圖4b裝配順序:裝配類型依次為:軸套配合、軸套配合、螺紋配合、面支撐配合、軸套配合、鍵傳動配合、鍵傳動配合、鍵傳動配合、螺紋配合、螺紋配合.

裝配聚合值:0+1+1+1+1+0+0+1+0＝5.

圖4c裝配順序:裝配類型依次為:軸套配合、軸套配合、螺紋配合、軸套配合、面支撐配合、鍵傳動配合、鍵傳動配合、鍵傳動配合、螺紋配合、螺紋配合.

裝配聚合值:0+1+1+1+1+0+0+1+0＝5.

亦即:D1J＝2/3,D2J＝1,D3J＝1.

(4)裝配重定性影響值:按照3種裝配方式進行模擬裝配,3種裝配順序零件都不需要轉向,即D1C＝D2C＝D3C＝0.

(5)裝配穩定性影響值:按照裝配順序進行裝配的過程中,如果零件i對零件j的支撐是穩定的就屬于穩定裝配值為1,否則為不穩定裝配值為0.圖4a裝配順序的裝配穩定值為:1+1+1+1+0+1+0+1+1+1＝8；圖4b裝配順序的裝配穩定值為:1+1+1+1+0+0+1+1+1+1＝8；圖4c裝配順序的裝配穩定值為:1+1+1+1+1+0+0+1+1+1＝8；即 D1W＝0,D2W＝0,D3W＝0.

把各裝配影響因素值代入公式(8)得到裝配順序集的評價指標矩陣如下:

把該產品的裝配因數影響權重系數和裝配順序的因數影響值代入公式(9)得到裝配順序集的綜合評價矩陣如下:

對比最終求得的綜合評價值可知D2＞D3＞D1,因此,圖4b裝配順序為最優裝配順序.

4 結語

本文面向自動裝配,根據產品裝配基本要求和特征提出了裝配約束件的概念并據此定義裝配系統零件集；提出和構建了基于矩陣算法和線性遞推算法的自動裝配工藝過程WMS數學模型；結合裝配結構特征構建裝配關聯矩陣,根據裝配約束件約束特征構建裝配約束矩陣.在裝配工藝過程數學模型下,運用裝配關聯矩陣和裝配約束矩陣獲得理論裝配工藝數和順序序列.

考慮裝配可行性、裝配并行度、裝配聚合性、裝配重定向性和裝配穩定性等5個主要裝配順序的影響因素,運用層次分析法確定裝配因素的影響權重系數和對各影響因素值進行無量綱化處理,獲得產品的裝配順序評價模型,運用此模型即可便捷地確定產品的最優自動裝配順序.以一自動-手動水龍頭裝配為例的實證研究結果表明上述理論方法可行和實用.