淺析“天體運動”考題的破題技巧

林穎亮 莊慶華

摘 要：“天體運動”是高考常考的內容，但學生做題效果并不理想，個別甚至無從下手破題，為了深刻理解萬有引力定律的本質，并且靈活應用定律解決天體運動的問題。高考復習上，應深化學生的認知，遵循學生的認知，連貫性、條理性的幫助學生抓住主要特點。

關鍵詞：天體運動;破題;開普勒定律;萬有引力定律;向心力;圓周運動;重力

一、 正確認知“開普勒三大定律”

開普勒三大定律，應引導學生體會到——正視天體本來的運動是橢圓軌跡的，但是這橢圓比較接近正圓;而且由于開普勒第二定律（面積定律），中學階段為了簡化天體的實際復雜運動，讓學生更好地理解天體運動，對天體運動的軌跡可近似看成圓形，太陽放置于圓心位置。模型簡化后，原本某行星有差別的線速度和角速度都大小不變，即勻速圓周運動。那么，開普勒第三定律就可以表述為“行星繞太陽運動的運動半徑的立方與自身公轉周期的平方成正比”，不同行星繞同一個中心天體（太陽），則該比值相等。

【例題1】 （2018安徽一模）已知地球和火星繞太陽公轉軌道半徑分別為

R1和R2（公轉軌跡近似為圓），若把行星與太陽連線掃過的面積與其所用時間的比值定義為掃過的面積速率，則地球和火星繞太陽公轉過程中掃過的面積速率之比是（ ）

A. R1R2

B. R1R2

C. R2R1

D. R2R1

解析：由題干“公轉軌跡近似為圓”，可知地球和火星的運動可以看成勻速圓周運動，又因為“地球和火星繞太陽公轉”，可知地球和火星是繞同一個中心天體太陽做運動，根據開普勒第三定律R31T21=R32T22知，運動的周期之比T1T2=R31R32，在一個周期內掃過的面積之比為S1S2=πR21πR22=R21R22，因為掃過的面積速率為ST，因此掃過的面積速率之比為R1R2，故B項正確，A、C、D均錯誤。

二、 正確理解“萬有引力定律”

（一） 萬有引力定律的大小與兩物體球心距的平方成反比

課本或教輔經常寫成F=Gm1m2r2，為了讓學生正確而深刻理解這個定律，應在課上適度調整下公式F=Gm1m2L2，L為兩個質量物體的球心距（或球心與質點距離、兩質點間距離）。

【例題2】 （多選）（2018全國Ⅰ）人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈。將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數據、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星（ ）

A. 質量之積

B. 質量之和

C. 速率之和

D. 各自的自轉角速度

答案：BC

思維引導：設兩顆中子星的質量分別為m1、m2，做圓周運動的半徑分別為R1、R2。由題干可知雙中子星存在引力，所以要寫正確的萬有引力Gm1m2L2才有辦法繼續做下去，如果寫成Gm1m2R21或Gm1m2R22，則題目肯定做錯。

注意：當中心天體不動時，兩物體間的距離與做圓周運動的物體的軌道半徑r數值上相等。

（二） 明確“天體運動”的破題核心

1. 萬有引力提供向心力

當能從題目中判定出運動天體或衛星不與中心天體接觸、且做勻速圓周運動時，就可以用“萬有引力提供向心力”解題。

在上面【例題2】中，由題干中找到“每秒轉動”可知做圓周運動，萬有引力提供向心力，有Gm1m2L2=

m12πT2R1、Gm1m2L2=m22πT2R2，聯立各式解得m1=4π2R2L2GT2，

m2=4π2R1L2GT2，可得m1+m2=4π2L3GT2，但由于R1、R2未知，無法求出質量之積，故A項錯誤，B項正確。C、D選項略。

2. 萬有引力提供重力

①當能從題目中判定中心天體不自轉或者自轉很慢時，就可以用“萬有引力提供重力”解題;②當能明確了中心天體的半徑R，重力加速度g時，也可以用“萬有引力提供重力”解題。

【例題3】 有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面處的重力加速度是地球表面處重力加速度的4倍，則該星球的質量將是地球質量的（忽略其自轉影響）（ ）

A. 14

B. 4倍

C. 16倍

D. 64倍

本道題字數少，但是信息多。學生不知如何入手。正確思維應是分別設地球與該星球相應的物理量如M1、ρ、g1、R1以及M2、ρ、g2、R2等物理量，從題干中的“忽略其自轉影響”可知萬有引力提供重力GMmR2=mg，則天體表面的重力加速度g=GMR2，又知ρ=MV=3M4πR3，所以

M=9g316π2ρ2G3。

答案：D

3. 萬有引力同時提供向心力與重力

當能從題目中判定中心天體自轉不可忽略，且物體在中心天體表面的非南北兩極點時，物體的重力由萬有引力提供，同時該物體隨中心天體的自轉而做勻速圓周運動，所以，萬有引力同時提供向心力與重力。

【例題4】 （2014·新課標全國卷Ⅱ）假設地球可視為質量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g;地球自轉的周期為T，引力常量為G。地球的密度為（ ）

A. 3π（g0-g）GT2g0

B. 3πg0GT2（g0-g）

C. 3πGT2

D. 3πg0GT2g

解析：物體在地球的兩極時，萬有引力等于重力，GMmR2=mg0，物體在赤道上時，在赤道上由于物體隨地球一起自轉，萬有引力提供重力與向心力，GMmR2=m2πT2R+mg，以上兩式聯立解得地球的密度ρ=3πg0GT2（g0-g）。故選項B正確，A、C、D錯誤。

天體運動的知識內容都較為抽象、涉及的知識面較為廣泛、習題類型多樣，學生因沒有牢固的知識基礎、正確的分析方法，在做天體運動習題時，茫然、懼怕、抵觸;然而，只要幫助學生找到題目具體的切入點，掌握了經典題型的破題技巧，難題迎刃而解。

參考文獻：

[1]余永軍.“萬有引力”復習中的“雙星”“三星”問題[J].中學物理教學參考，2015（18）.

[2]董騰.從恐懼到從容：學習“萬有引力”一章的感想[J].中學物理教學參考，2018（6）：18.

[3]朱國莉.關于天體運動問題解題的反思[J].中學物理教學參考，2016（10）.

作者簡介：林穎亮，莊慶華，福建省廈門市，廈門市杏南中學。