測試數學本質，促進深度理解

朱炎

摘要：本文探討了數學理解測試法的利弊和發展，以期幫助人們更好地理解數學的本質，強化人們的認知能力。

關鍵詞：理解測試? ?數學本質? ?方法

2008年，中國學者楊教授和林教授在測試數學本質方面做出了重大的貢獻，他們引進了一種幾何證明的閱讀理解測試。這種方法包含四個層次：第一個層次，是學生需要具備基礎的知識;第二個層次，被稱為認知元素，是學生應該能夠辨認出證明過程中或明確或暗含的知識點;第三個層次，是學生應該明白證明過程的內在邏輯關系;第四個層次，是學生應該內化證明，從而達到運用自如的境界。兩位教授一直專注于前三個層次，并稱他們的這個模型并不是為了檢測學生是否達到第四個層次，而是希望能幫助學生更好地學習。這種被稱作RCGP的模型對我們引進深度理解測試十分有幫助，因為它與其他的探究成果不同，以前的研究方向都是數學理解測試的簡單運用問題，而RCGP模型已經構成了一套完整的系統，將數學理解測試上升為理論的高度，為我們后續的深入研究打下了堅實基礎。

一、深度理解測試方法概述

傳統的學習方法往往存在一些問題，如學生吃不透概念的推導，于是采取死記硬背的學習方法。第一，由于學生沒有在大腦中形成推理思維，所以這樣的記憶效果不理想;第二，課后的作業過多，學生做起題目來不求甚解，只在乎能夠按時完成，學生不僅浪費了時間，還沒有學到知識;第三，個別題目看起來很簡單，于是學生一掃而過，實際做起來卻很困難。

因此，教師引進了創新性的數學學習方法——深度理解測試方法。這種方法最早起源于美國，朱莉·康雷迪教授和約翰·費思思教授對這種方法進行了初步探究，但對這一方法的利弊分析和發展藍圖還有待深入研究。深度理解測試方法能夠激發學生的學習興趣，有利于學生更好地掌握知識。在傳統教學中，教師往往是給出一道或證明或計算的題目，要求學生解答，而深度理解測試方法是教師同時給出題目和答案，然后根據答案的細節設置更多的問題，且題目按照由易到難的順序設置，學生需要做的是解答這些問題。這樣一來，教師將復雜的數學問題化解為多道閱讀理解題，學生就可以循序漸進地測試知識點的掌握程度。

深度理解測試方法能使學生對每道題目有話可說，不會產生無法下手的感覺。在答題時，學生可以復習這些知識點，從而有效測試學生掌握這些知識點的程度，檢測出學生數學水平的高低。同時，這種方法能使學生更好地掌握基礎知識，在課后溫習時加深對知識點的記憶，并將數學題當作閱讀理解題，極大地激發學生的學習興趣。

二、深度理解測試方法舉例

一個數如果能表示成4a+1就稱作一元數，如果能表示成4b+3就稱作三元數，（a，b∈Z），求證命題：存在無數個三元素數。

證明：

步驟1：假設有一個數，它由兩個一元數相乘：（4a+1）（4b+1）=

16ab+4a+4b+1=4（4ab+a+b）+1，它也是一元數。

步驟2：同理，任意一元數的積都是一元數。

步驟3：假設命題是錯誤的，即只有有限個三元素數，假設為C1，C2，……，Cn。

步驟4：使M=4C2……Cn+3，C1=3。

步驟5：M不能整除C2，C3，

……，Cn，余數為3;因為4C2……Cn不能整除3，所以M也不能整除3。

步驟6：我們得出M不能整除任何三元素數。

步驟7：因為M是奇數所以不能整除2。

步驟8：所以M也一定是一元的。

步驟9：但是M很明顯是三元數，得出矛盾。

命題得證。

教師可以將這道題目分成多個問題，如①素數的含義？②三元數的特征是什么？③1，3，5，17，33，47，89，199這些數中，哪些是三元數？哪些是一元數？④這道題運用了什么證明方法？⑤步驟5中為什么4C2……Cn不能整除3？⑥步驟6中M為什么不能整除任何三元素數？⑦步驟8中M為什么一定是一元的？⑧520是一元數嗎？為什么？

三、例題分析

這道題目給出了兩個新概念，考查的卻是一些基礎知識，有素數、整除等。然而，要做好這道題目，學生需要掌握迅速吸收和處理新信息的能力。

問題①至問題③是最基本的，只是要求學生寫出數學中基本概念的定義，另外加了一些原命題的舉例，學生很快就做出來了。題目所需要的只是最基本的數學學習能力和概念的運用能力，所以沒有什么難度。

對于問題④，學生很快聯想到了常用的方法，如分析法、歸納法、反證法等。加之在證明過程中有一句話“假設命題是錯誤的”，這就提醒我們，這道題目很可能用的是反證法。再看證明結尾是“得出矛盾”，便能確定是反證法。所以說，這道題難度也不大。

然而，問題⑤至問題⑧就不一樣了。學生用了較長的思考時間，答案仍然不盡如人意。

問題⑤本來并不難。根據假設可知，從C1到Cn全部都是素數，而C1=3，于是C2……Cn只能分解為素數的乘積，而且沒有3，于是C2……Cn很明顯不能整除3，于是4C2……Cn不能整除3。一個學生是這樣做的：“因為C2……Cn為三元素數的積，可推得兩個三元數的積為一元數，可知不能整除。”這種方法十分簡便，巧妙地運用了三元數和一元數的兩個定義，過程簡潔，一目了然。而另一個學生用反證法來解釋：“假設4C2……Cn能整除3，則M能整除3，從而C2……Cn也能整除3，M與C2……Cn有公因子3，且C2，……，Cn均為素數，故知3必為其一，矛盾。”這種做法用的是同一種思想，但是過于復雜，耗費了較多的時間。其實，學生只需要很好地把握已知條件，明白什么叫作不能整除3，就能很好地解答問題，所以這道題目解答起來并不復雜。

問題⑥也不難。根據假設我們已經知道，三元素數只有3，C2，……，Cn，已經證明M不能整除，又因為M除以從C2到Cn的任意一個數都會有余數3，所以很明顯M不能整除任何三元素數。但學生做這道題目用了很長時間，這看起來很奇怪。仔細想來，還是因為他們沒有很好地瀏覽證明過程，沒有跟著證明過程走。看到問題⑥會聯想到其他一些東西，比如，會直接考慮M÷（4Z+3）等于多少，這樣的思考就過于刻板了，并在這種想法上停留很長時間后，才發現行不通，此時已經浪費了大量時間了。因此，學生要讓自己很快地進入證明過程的意境。首先從步驟4和步驟5進行思考，從而很快得出結論。由此可見，這個問題考查的是學生快速學習新知識的能力，盡管看起來并不復雜。

根據前面的許多步驟，問題⑦便能迎刃而解。M不是三元數，也不是二元數，更不會是4的倍數，因為4的倍數能整除2，所以自然是一元的。學生很快解答出來了。

問題⑧則是一道發散型的題目，解法多種多樣。問題也可以改成520-1能不能被4整除。但答題時，學生也用了不少時間，可以看出，他們數學的思維不夠靈活。實際上，學生既可以將520-1分解為（510+1）（5^5+1）（5^5-1），也可以將520=（4+1）20=4N+1（N為某個整數），還可以將520=

4（5^19+5^18+……+5+1）+1。

四、結語

深度理解測試方法可以減少學生對知識本身的關注，而只注重解答出設置的題目。但是如果學生認為只要將題目做出來就理解了知識點，那么他們就陷入了思維誤區。假如問題的設置并不是那么完善，或不能完全檢測出知識點的掌握程度，那么這樣設置的題目反而會導致學習效果不佳。因此，筆者認為深度理解測試本來只是幫助學生更好地掌握和消化知識點，但如果把它當作唯一的數學方法，就本末倒置了。

深度理解測試方法和其他許多方法一樣，存在許多弊端，所以我們應理性地看待它，不能將其視為一種偷懶的方法。同時，深度理解測試方法的確可以幫助學生加深對知識的理解，有助于記憶知識點，但是如果學生太過依賴這一方法，通過大量的練習深度理解測試題目，那么可能不會取得很好的學習效果。因此，要想更好地利用深度理解測試方法，學生必須取其精華，去其糟粕。只有這樣，才能最大限度地提高教學效率。

參考文獻：

[1]米妍，王光明.整體性數學思維方式視野下的教材閱讀——基于章建躍先生對《實數》一章的教材分析[J].數學通報，2017，（10）.

[2]張僑平.西方國家數學教育中的數學素養：比較與展望[J].全球教育展望，2017，（3）.

（作者單位：鄭州市商業貿易高級技工學校）