論小學數學教學中的估算

王元

摘要：文章梳理了小學估算構建屬性及層級關系，綜述了估算的能力知識結構和年齡階段，分析了《新課標》對小學生估計能力的內容要求和設置，從而可幫助小學數學教師指導小學生們的估算能力發展。

關鍵詞：小學數學;估算;估數;估測;估計

中圖分類號：G622.0? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）50-0227-02

一、估算的意義

《新課標》對不同小學階段學生估算能力的要求不同，側重點也不同，相應的教科書對于評估能力的發展要求也給出不同的反映。為了表達在當前課程體系下學生的估計能力達到什么水平，我們需要探討小學數學義務教育中的學生估算能力結構，探索小學階段估算知識點的屬性結構，分析學生估算能力側重的差異性。

估算的應用廣泛，不僅在理論講學上對計算結果可以進行正誤判斷，開發小學生的智力水平，同時在實際生活中估算也有非常現實的廣泛應用。所以，估算在小學數學教學中是非常有意義的，教師需要清楚了解小學各個階段學生的估計能力發展水平，對于小學生估算能力的培養必須“從娃娃抓起”。

二、估算的構建屬性及層級關系

據調查，小學的一線教師容易混淆估計、估算、估測和估數這幾個詞，因此我們首先有必要明確定義這些概念，以便清晰理解。文獻[1]認為估計是“粗略計算，基本上是一種快速近似。它的基本特征是放大或縮小值的值，以確定操作結果的范圍或估計。”但是，估算不能單方面地視為近似計算。本文接受的是文獻[2]的估計定義：“沒有做出具體計算的人，只能通過利用已知的原始的知識，給出問題的粗略答案。估計的形式是心算形式，進行數學概念與算術技巧之間的相互作用過程。”

估算是根據事物的性質和具體情況，對數量和變化的一般推斷。文獻[3]認為，這種估算不能被片面地看成一種估計，而應該是一種經常的人類心理活動，是人基于現有的數學計算經驗、結合和組合特定的數學情況，并且在不經歷具體物理操作的情況下，快速產生近似的計算結果。

估測是人類最基本最實用的數學技能之一，包括對日常生活中的兩點間距離、房屋面積、天氣溫度、行車速度、物品價格和重量的估計等。文獻[4]給出了目前得到國內外多數人認可的定義：“人們在不使用具體專用的測量工具情況下，以某種方式推斷測量的心理過程”。

估數是一種被認為與數值判斷相關的數學問題求解具體形式，它是一種靈活運用數學思維和數學知識的自適應問題求解方法。文獻[5]認為估數是在實際中對在沒有足夠時間計算對象數量進行估計，或者要計數的對象數量太大，或者移動太快的對象可以不準確計算，這是一個高級的認知處理數據過程。

雖然目前國內人們對于估計所涉的這幾個概念沒有統一接受的認可，但是從現有文獻中可以看出，估計、估算、估測和估數這幾個基本概念具有相當不矛盾和清晰的表達，并且還有一些概念的明顯區別。本文結合上述四個概念，對小學階段數學中所涉及的估計進行適當劃分，將小學數學的各類知識及其屬性來統一辨識。

三、估算的能力知識結構和年齡階段

根據有關學者研究和文獻資料，目前我國小學生的估算能力相對較弱。一般情況下，未經過特殊的認知培訓干預時，成年人比年輕人有更好的估計能力。文獻[6]認為學齡期學生的認知發展主要分為“跨越維度階段”與“向量階段”，跨維度階段又包括三個階段：第一階段（3—6歲），第二階段（7—8歲），第三階段（9—10歲）;矢量階段又包括三個階段：第一階段（11—12歲）和第二階段（13—15歲），第三階段（16—19歲）。

檢查小學生估算能力可以應用認知診斷評估理論[7，8]，這是近年來發展起來的一種新的測試形式。它基于對個人反應的一種項目形式，能夠較為詳細地對所測量各個知識點的掌握情況進行個體自身分析，同時，也可以比較個人并為教學提供基礎。由已知測量得到的知識結構、認知情況和項目的相關體系機制，選擇出適當的數學診斷模型，并使用具體的測量方法，將測試者個人的反應轉化為反映者自身的認知屬性，給出具體的測試者認知結構的數學表達式，并基于可以觀察的外部行為來實現估算的內在知識結構及其技能掌握的目的。

四、《新課標》中“估算”設置與分析

中國非常重視小學數學的數學估算，這可以在“新課程標準”中體現出來。該標準針對小學第一階段、第二階段的“估算”內容，給出了詳細的目標、內容標準和要求，并具體給出了關于估算、估測和估數以及它們相關的教學建議和11個例子。

小學第一學段（1—3年級）的目標是：體驗從具體生活中“數”的抽象出來過程，理解“數”的抽象含義，初步了解小數與分數;了解共同的金額;了解四則算術運算的具體意義，掌握必要的算術運算規律及其技巧，并準確計算;在具體情況下，學生能夠選擇適當的度量單位進行簡單的估算。在使用數量和適當的度量單位來對現實生活中的簡單現象進行描述，并在估算操作結果的過程中培養他們的數學思想。在具體的觀察、實踐等活動中，讓學生能給出一些具體的方法及簡單的猜想。

小學第一學段（1—3年級）的內容標準：在關于數與代數方面：感受大數在生活背景下的意義，做出簡單的估算;對于適當的度量單位選擇，能夠結合具體的實際情況，進行簡單估算及其在生活中的作用。在關于圖形和幾何方面：讓學生估計一些具體物體;掌握“矩形”、“正方形”的面積公式，能夠估計一些像桌子、黑板等簡單圖形的面積。

小學第二學段（4—6年級）的目標：感受大“數”在特定情況中抽取出來的過程，會估算10000以上的數;了解分數、百分比、小數和負數的含義與估算;掌握一些估算的必要算術技巧、方法和意義;定量之間的關系會用簡單的一次方程來表示，并能夠求解簡單的一次方程。在觀察、驗證等實踐活動中提高學生的數學邏輯推理能力和思維過程。

小學第二學段（4—6年級）的內容標準：在關于數和代數方面：感受大“數”結合實際情況的含義并能夠估算大數的數值;能夠結合所解決的具體實際問題，會選擇合適的度量單位和估算方法。在關于圖形和幾何方面：掌握圓的面積公式;通過方格紙的運用，會對不規則圖形的面積進行“估算”;按照所給定的數值比例，能夠在圖紙上具體繪制圖形。在關于統計和概率方面：可以解釋簡單的概率統計結果，并做出較為簡單的隨機判斷和預測進行交流;通過實驗、觀察等其他活動，感知事件發生的可能性（即概率）大小，能夠簡單定性地描述隨機事件的發生概率。

從“新課標”中我們可以看到中國在數學“估算”能力培養中的關鍵點。在小學數學估算的第一學段，側重對數的感知、計量單位認知和正方形、長方形圖形面積等，數量和單位的數學表示是基于估數和估測，通過大量與生活相關的情況建立的。在小學數學估算的第二學段，注重對大數的認知過程和思維水平，估計內容多是估算、估測。在第一和第二段中都設置有估算、估測和估數，其困難不僅僅表現在四則計算中，而且還表現在小數和分數的計算中。

五、總述

學齡期學生的認知發展，按照文獻[6]的“加性估計的估算理論”，主要是跨越維度階段和向量階段，其中跨越維度階段分布在6—10歲的小學1—4年級的數學期間，向量階段的小學5—6年級（小學生11—12歲）時，在數與代數方面主要學習多位數的四則運算、小數、分數和百分數的算術運算，這也是估算的主要內容。調查分析研究表明，小學3年級和小學6年級是學生估算能力發展的關鍵時期。另外，3年級和6年級也是中國義務教育階段的關鍵時期。所以，我們廣大小學數學教師需要抓住小學階段學生估算能力發展的關鍵時期，清楚了解學生估算能力的發展過程，對幫助指導學生估算能力的提高起著重要作用。

參考文獻：

[1]羅增儒.高考中的近似計算問題[J].中學數學，1997，（5）：1-3.

[2]司繼偉.小學兒童估算能力研究[D].重慶：西南大學碩士論文，2002.

[3]鮑建生.估計—數學教育面臨的新課題[J].教育研究，1997，（10）：69-72.

[4]G.W.Bright，Estimating as part of learning to measure.In D.Nelson & R.E.Reys（Eds.），Measurement in school mathematics：1976 yearbook.Reston，VA：NCTM，1976：87-104.

[5]徐繼紅.數量估計的研究回顧[J].心理科學，2010，33（3）：646-648.

[6]R.Case&J.T.Sowder，The development of computational estimation：A neo-Piagetian analysis[J].Cogniaion and Instruction，1990，（7）：79-104.

[7]汪文義，宋麗紅.教育認知診斷評估理論與技術研究[M].北京師范大學出版社，2015.

[8]吳海龍.對小學生數學估計能力的認知診斷研究[D].漳州：閩南師范大學碩士論文，2017.