一道考試題引發(fā)的思考

王麗

摘 要：本文針對湛江幼兒師范專科學(xué)校2018年期中考試的一道題目：驗證兩直線相交，并求其所成夾角的角平分線方程，給出幾種不同的方法，并分析它們之間的聯(lián)系。由此針對解析幾何課程教學(xué)中存在的問題提出相應(yīng)的解決方法。

關(guān)鍵詞：空間直線;相交;角平分線

【中圖分類號】G【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B

【文章編號】1008-1216（2019）12B-0123-03

在湛江幼兒師范專科學(xué)校2018年期中考試中有一道題目：驗證兩直線l1：，l2： 相交，并求兩直線l1，l2所成交角的角平分線方程。

這是解析幾何中的一個題目，通過分析，發(fā)現(xiàn)涉及到的內(nèi)容有兩個方面：（1）空間兩直線的位置關(guān)系;（2）相交直線所成角的角平分線。

分析：方法1是最基本的解法，從角平分線的性質(zhì)入手，得到角平分線的一般方程。

方法2從題目先得到角平分線上的一固定點，然后設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到所求直線的兩個方向向量。方法2的計算量相對較少，也容易使用，但它有一缺點就是，給定直線的方向向量的選擇，容易使人忘記一條直線可以有兩個方向向量，例如，直線l1的方向向量可以取={0，1，1}，當(dāng)然也可以取={0，-1，-1}，這兩個向量是互為反向量的。

方法3最簡單，它與我們熟悉的圖形——菱形結(jié)合起來，用特殊的性質(zhì)解決問題。由此我們就得到一類題目的特殊解法：當(dāng)涉及兩直線的夾角問題時，可以從選取適當(dāng)?shù)闹本€的方向向量入手，考慮由兩方向向量作鄰邊所組成的平行四邊形。例如，求兩直線所成夾角的角平分線，就可以選擇長度相等的兩個向量分別為兩直線的方向向量，考慮由這兩個方向向量作為鄰邊所組成的菱形，此時就可以用三角形法則得到兩直線所成夾角的角平分線的方向向量。

在中學(xué)階段進(jìn)行學(xué)習(xí)的必要，所以很容易給學(xué)生造成認(rèn)識上的誤區(qū)：不必過深地學(xué)習(xí)這門課程;還有，因為解析幾何的課時少，為完成教學(xué)任務(wù)，很多時候只是對照書本上的知識點進(jìn)行純粹地講解，忽略了與其他課程的聯(lián)系，這些都是我們在解析幾何課程教學(xué)中存在的問題。要解決這些問題，我們就必須從認(rèn)識上、從具體教學(xué)實踐中作一些改變：（1）教師通過查閱不同的教材、資料，適當(dāng)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，避免重復(fù)教學(xué)以及內(nèi)容割裂;（2）使用多媒體輔助教學(xué)，用“圖、文、聲、像”的形式向?qū)W生展示多一些數(shù)學(xué)模型，避免學(xué)生過多地憑空想象。例如，對于圓柱螺線、柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面等學(xué)習(xí)內(nèi)容，可以根據(jù)各個曲面所具有的集合特征，利用幾何畫板或其他教學(xué)軟件描繪曲面圖像，以動態(tài)的形式展現(xiàn)曲線和曲面的生成過程;（3）講課中多配備例題，盡可能通俗、具體地講解抽象的知識;（4）針對本校學(xué)生，由于培養(yǎng)目標(biāo)是中小學(xué)教師，所以解析幾何的具體內(nèi)容是用不上的，此時我們學(xué)習(xí)解析幾何的目的不僅僅是基本內(nèi)容，更多的是關(guān)于數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí);（5）加強(qiáng)與數(shù)學(xué)專業(yè)其他課程的聯(lián)系，例如，三個向量的共面問題可以轉(zhuǎn)化為行列式的計算;一個向量對于三個不共面向量的分解式的求法就是線性方程組的克萊默法則等。

參考文獻(xiàn)：

呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]呂林根.解析幾何學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書[M].北京：高等教育出版社，2006.