源于非經典邏輯的代數結構研究綜述

張小紅

(陜西科技大學 中加數據智能與三支決策研究中心, 陜西 西安 710072)

0 引言

說起邏輯代數,自然要從布爾代數(Boolean algebra)開始.19世紀早期,英國數學家喬治·布爾(George Boole)突發奇想：人的思想能不能用數學表達?此前,數學只用于計算,沒有人意識到,數學還能表達人的邏輯思維.為了描述(經典)邏輯命題之間的關系,George Boole于1847年在其著作《The Mathematical Analysis of Logic》中提出一種代數系統,后來被稱為布爾代數,從而為數字電子學的發展奠定了重要理論基礎,也是現代程序設計語言學、集合論、統計學等的理論基礎.最簡單的布爾代數是定義在{0,1}上的,其上的二元運算∧、∨及一元運算可分別理解為“取小”、“取大”及“取反”.一般地,一個布爾代數是指代數系統(X;∧,∨,,0,1),其中X為非空集,(X;∧,∨,0,1)是有界分配格,0、1分別是最小元(底元)、最大元(頂元),是X上的補,即滿足:

x∧x=0,x∨x=1, ?x∈X.

(1)

在布爾代數(X;∧,∨,,0,1)上,可自然定義蘊涵運算“→”為

x→y=x∨y, ?x,y∈X.

(2)

上述蘊涵運算具有如下性質：

x→(y→x)=1, ?x,y∈X;

(3)

(x→(y→z))→((x→y)→(x→z))=1,
?x,y,z∈X.

(4)

蘊涵運算與序關系之間有如下緊密聯系

x≤y?x→y=1, ?x,y∈X;

(5)

于是,性質(4)可又寫成

x→(y→z)≤(x→y)→(x→z),
?x,y,z∈X.

(6)

在經典數理邏輯中,將邏輯命題用符號表示，命題之間的關系用公理系統刻畫,從而建立起經典命題邏輯的語構系統(形式演算系統),它與用“真”、“假”表達命題真值的語義系統是對應的,這是由可靠性定理與完備性定理確立起來的(參見文獻[1-3]).

與經典邏輯只有“真”、“假”(即0、1)2個真值不同,多值邏輯、連續值邏輯、模糊邏輯、格值邏輯等非經典邏輯的真值域得到擴大,相應的形式演算系統也逐漸復雜起來,與之相配套的代數系統(本文統稱它們為非經典邏輯代數)也比布爾代數廣泛得多(當然,它們通常包含布爾代數為其特例).本文將對這些非經典邏輯代數結構進行總結,特別是從蘊涵運算的角度探討它們之間的內在聯系.

1 (可換)剩余格與(偽)t-模基模糊邏輯

就“模糊邏輯”這一術語來說,很難給出一個確切的定義,有多種狹義和廣義的不同內涵,本文主要指以[0,1]為真值域的非經典數理邏輯系統.

在數理模糊邏輯理論中,占主導地位的是基于t-模(三角模)的邏輯系統.在這類邏輯演算系統中,使用t-模作為合取聯結詞的解釋,并由此解釋其他命題聯結詞,比如蘊涵、析取聯結詞分別解釋為由t-模誘導的剩余型蘊涵、對偶的t-余模,而否定聯結詞通常經由蘊涵解釋為A=A→0.這樣建立的命題演算系統具有許多優良的邏輯性質,反映了人類日常思維與推理中的許多邏輯特征,這類邏輯理論在模糊控制和人工智能研究中已經獲得廣泛的應用(參見文獻[4-9]).

t-模首先出現在Menger于1942年發表的論文“Statistical metrics”(《統計度量》)中.20世紀60年代,Schweizer和Sklar重新嚴格定義了t-模和統計度量空間(現稱為概率度量空間),從而促進了這個領域的飛速發展.由于t-模較好地反映了“邏輯與”的性質,因此t-模作為一般的“模糊與”算子一致受到模糊邏輯學界的青睞.

定義1[5]t-模是滿足以下條件的函數

?:[0,1]×[0,1]→[0,1],

?x,y,z∈[0,1]:

1)x?(y?z)=(x?y)?z；

2)x≤y?x?z≤y?z,x≤y?z?x≤z?y；

3)x?1=1?x=x；

4)x?y=y?x.

定義2[2,7-8]設?是[0,1]上的t-模,

R:[0,1]×[0,1]→[0,1]

是[0,1]上的二元函數.如果x?y≤z當且僅當

x≤R(y,z), ?x,y,z∈[0,1],

則稱R是與?相伴隨的蘊涵算子,同時稱(?,R)為伴隨對,此時常記R(x,y)為x→y.

定理1[2,7-8]設?是[0,1]上的左連續t-模,在[0,1]上定義→如下:

x→y=sup{a∈[0,1]|a?x≤y},
?x,y∈[0,1]，

則→是與?相伴隨的蘊涵算子.

基于連續t-模,Hájek[4]建立了模糊邏輯形式系統BL；基于R0t-模,王國俊[2-3]建立了模糊邏輯形式系統L*；基于左連續t-模,Esteva等[6]建立了模糊邏輯形式系統MTL.這些模糊邏輯系統的完備性定理均已得到證明,即BL、L*、MTL分別是完全描述連續t-模、R0t-模、左連續t-模基模糊邏輯語義的形式化系統.在證明這些邏輯系統完備性時,相應的代數結構,即BL-代數、R0-代數、MTL-代數,起著重要的作用.而這些代數結構,均是特殊的可換剩余格.剩余格(residuated lattice)的概念最早來自對環的理想格的研究,可參見文獻[10-11].

定義3[2,4,10]代數系統(L;∧,∨,→,?,0,1)稱為是一個可換剩余格(commutative residuated lattice),如果：

(i) (L;∧,∨,0,1)是有界格,這里0、1是最小元、最大元；

(ii) (L;?,1)是帶單位元1的可換半群；

(iii) 對任意x,y,z∈L,x?y≤z?x≤y→z.

顯然,如果?是[0,1]上的一個t-模,→是由?誘導的剩余蘊涵,則([0,1];∧,∨,→,?,0,1)是一個可換剩余格.

命題1[2,4,10]設(L;?,∧,∨,→,0,1)是可換剩余格,則(?x,y,z∈L)：

1) 1→x=x,x→x=1,x?0=0；

2)x≤y?x→y=1；

3)x?(x→y)≤y；

4)x≤y→(x?y)；

5)x≤y?x?z≤y?z；

6)x→(y→z)=(x?y)→z=y→(x→z)；

7)x→(y∧z)=(x→y)∧(x→z)；

8) (x∨y)→z=(x→z)∧(y→z)；

9)x→y≤(z→x)→(z→y)；

10)x→y≤(z?x)→(z?y)；

11)x?(y∨z)=(x?y)∨(x?z).

值得注意的是,由t-模誘導的剩余蘊涵,一般不再滿足布爾代數中關于蘊涵的性質(2)、(4)及(6)式；同時,若在剩余格中定義“非”運算：x=x→0(?x∈L),則它不再滿足布爾代數中的性質(1)式,與之相對應,在模糊邏輯中“排中律”不再成立.

定義4[4]設(L;∧,∨,?,→,0,1)是一個可換剩余格,稱L是一個BL-代數,如果滿足(?x,y∈L)：

(i)x∧y=x?(x→y)；

(ii) (x→y)∨(y→x)=1.

定義5[2]設M是(,∨,→)型代數,如果M上有偏序≤使(M;≤)成為有界分配格,∨是關于序≤的上確界運算,是關于序≤的逆序對合對應,且(?a,b,c∈M)：

(M2) 1→a=a,a→a=1；

(M3)b→c≤(a→b)→(a→c)；

(M4)a→(b→c)=b→(a→c)；

(M5)a→(b∨c)=(a→b)∨(a→c),a→(b∧c)=(a→b)∧(a→c)；

(M6) (a→b)∨((a→b)→a∨b)=1.

這里1是(M,≤)中的最大元,則稱M為R0-代數.

定義6[6]設(L;∧,∨,?,→,0,1)是一個可換剩余格,稱L是MTL-代數,如果滿足如下的預線性等式

(x→y)∨(y→x)=1, ?x,y∈L.

定義7[6]設(L;∧,∨,?,→,0,1)是一個MTL-代數.L稱為是IMTL-代數,如果滿足條件

(x→0)→0=x, ?x∈L.

MTL-代數L稱為是WNM-代數,如果滿足條件

(x?y→0)∨(x∧y→x?y)=1, ?x,y∈L.

MTL-代數L稱為是NM-代數,如果它既是IMTL-代數、又是WNM-代數.

定理2[12-13]設(L;∧,∨,?,→,0,1)是一個可換剩余格,在L上定義為

x=x→0, ?x∈L，

則(L;,∨,→)構成R0-代數的充要條件是L滿足

x=x,(x→y)∨((x→y)→x∨y)=1,

?x,y∈L，

即(L;,∨,→)構成R0-代數當且僅當L是NM-代數.

在t-模的定義中,要求其滿足交換律,從而在t-模基模糊邏輯系統中“模糊與”算子具有可換性.受非可換邏輯研究的影響(參見文獻[14-16]),一些學者開始研究偽t-模(非可換t-模)及基于此的非可換模糊邏輯(參見文獻[17-21]),相應的非可換模糊邏輯代數也相繼提出.

定義8[17]偽t-模(pseudo-t-norm)是滿足以下條件的函數

?:[0,1]×[0,1]→[0,1],

?x,y,z∈[0,1]:

1)x?(y?z)=(x?y)?z；

2)x≤y?x?z≤y?z,x≤y?z?x≤z?y；

3)x?1=1?x=x.

1) (L;∧,∨,0,1)是有界格,其序關系為≤,0、1分別為最小元和最大元；

2) (L; ?,1)是幺半群,1為單位元；

3) 對任意x,y,z∈L,

φ1(x,y)=
sup{z|z?x≤y}；φ2(x,y)=sup{z|x?z≤y}.

4)x?0=0?x=0；

12)x?(y∨z)=(x?y)∨(x?z),(y∨z)?x=(y?x)∨(z?x)；

則稱L是一個偽MTL-代數(psMTL-代數,又稱為弱偽BL-代數).一個MTL-代數L如果還滿足條件

則稱L是一個偽BL-代數(psBL-代數).

由于前述命題演算系統L*具有良好的應用背景和整齊的結構特性,對其進行非可換拓廣是一項很有意義的工作.文獻[22]成功地將R0t-模推廣到非可換情形,得到第一個具有偽對合性質的偽t-模簇,即偽R0t-模.在此基礎上,建立了基于這種偽t-模的非可換邏輯系統PL*,通過引入PL*-代數(它是弱R0-代數、IMTL-代數的非可換推廣)的概念,建立了PL*-代數的正規素濾子定理,由此證明了PL*系統的完備性定理.

定理3[8,22]設f1和f2是[0,1]上嚴格遞增連續函數,且f1(1)=f2(1)=1,f1(0)=f2(0)=0.規定

則T(x,y)是一個偽t-模,這里x∧y=min(x,y).

稱定理3所給出的偽t-模為偽R0t-模.容易證明,偽R0t-模關于2個變量都是左連續的.如果偽R0t-模中的函數f1和f2均取為恒等函數,即

?x∈[0,1],f1(x)=f2(x)=x,

則此時偽R0t-模退化為R0t-模.

定理4[8,22]設T是偽R0t-模,則與T相伴的1-剩余蘊涵和2-剩余蘊涵分別為：

(A1) (L;∧,∨,0,1)是有界格,這里0、1分別是最小元、最大元；

(A2) (L;?,1)是獨異點,即?滿足結合律且對任意x∈L有x?1=1?x=x；

(A5)x=x=x；

這里x=x→0,x=x0.

顯然,PL*-代數是一種特殊剩余格.關于其他非可換模糊邏輯代數,可參閱文獻[23-24].

2 非結合剩余格、一致模及更一般的模糊邏輯系統

在模糊推理與不確定性決策中,非可換、非結合算子具有一定實際應用價值(參見文獻[25-28]),因此探討更一般的“模糊與”(或聚合算子)、相應的蘊涵算子,以及更具一般性的模糊邏輯形式系統,就成為近年來模糊學界的研究熱點之一(參見文獻[29-38]).

前面提到,將t-模的交換性去掉,引入了偽t-模.類似地,將t-模的結合性去掉,就是非結合t-模[29],也稱為可換半t-模[27-28].與非結合模糊邏輯形式系統相對應的代數結構是非結合剩余格,也稱為可換剩余格序廣群.我們在文獻[34-35]中使用“非結合剩余格”這一名稱,較國外學者早[29].

定義12[29,34]一個代數結構(L;∧,∨,?,→,0,1)稱為是一個非結合剩余格,如果L滿足條件：

1) (L;∧,∨,0,1)是一個有界格；

2) (L;?,1)是一個具有單位元1的可換廣群；

3) 對任意x,y,z∈L,x?y≤z?x≤y→z.

命題3[29,34-35]設(L;∧,∨,?,→,0,1)是一個非結合剩余格,則對任意x,y,z∈L有：

1)x≤y?x→y=1;

2)x≤y?x?z≤y?z;

3)x≤y?y→z≤x→z;

4)x≤y?z→x≤z→y;

5)x?(y∨z)=(x?y)∨(x?z);

6)x→(y∧z)=(x→y)∧(x→z);

7) (y∨z)→x=(y→x)∧(z→x);

8) (x→y)?x≤x,y;

9) (x→y)→y≥x,y.

下面的例子表明,在非結合剩余格中,如下的蘊涵性質不再成立.注意,由命題1及命題2知,在非可換剩余格中(7)式成立,在可換剩余格中(8)式成立：

y→z≤(x→y)→(x→z), ?x,y∈L.

(7)

x→(y→z)=y→(x→z), ?x,y∈L.

(8)

例1設L=[0,1],其上的二元運算?定義為

x?y=0.5xy+0.5max{0,x+y1},x,y∈L，

則?是L上的非結合t-模.蘊涵運算定義為

x→y=max{z∈[0,1]|z?x≤y},x,y∈L.

于是(L;max,min,?,→,0,1)是一個非結合剩余格.取x=0.6,y=0.3,z=0.1,計算得到：

從而

另外，若取,x=0.7,y=0.4,z=0.1,則有

從命題2和命題3可以看出,非可換、非結合模糊邏輯系統都是對t-模基模糊邏輯系統的拓廣,但與其相對應的非可換剩余格、非結合剩余格中,序關系≤與蘊涵運算均滿足基本t-模基模糊邏輯代數的如下性質

x≤y?x→y=1, ?x,y∈L.

(9)

然而,在研究基于一致模(uninorm)的模糊邏輯系統時,相應的代數結構不再滿足這條性質了.2007年,Gabbay等在文獻[39]中建立了第一個基于一致模的模糊邏輯系統BUL(與連續一致模相對應).之后,關于一致模及其剩余蘊涵、基于各種一致模或非可換一致模(偽一致模)的模糊邏輯系統相繼得到深入研究(參見文獻[40-49]).在一致模中,乘法單位元e可以不是最大元1,故由一致模誘導的剩余蘊涵通常不滿足條件(9)式.

定義13[39-40]一個一致模*是滿足以下條件的一個映射

*:[0,1]2→[0,1], ?x,y∈[0,1]:

1)x*y=y*x；

2)x*(y*z)=(x*y)*；

3)x≤y?x*z≤y*z；

4) 存在e*∈[0,1]使得e*x=x.

如果0*1=0,則稱*為合取一致模；如果0*1=1,則稱*為析取一致模.

一致模*稱為是剩余的,如果存在函數→*:[0,1]2→[0,1]滿足

z≤x→*y?x*z≤y, ?x,y,z∈[0,1].

可以證明,一個一致模*是剩余的,當且僅當它是合取左連續一致模,且x→*y=sup{z:x*z≤y}.

定義14[39]一個尖點有界可換剩余格(pointed bounded commutative residuated lattice)是一個代數結構(L;∧,∨,?,→,e,f,⊥,┬),其中∧,∨,?,→是L上的二元運算,e,f,⊥,┬為常元,且滿足：

(i) (L,∧,∨,⊥,┬)為有界格,⊥,┬分別為L的底元和頂元；

(ii) (L,?,e)是可換獨異點；

(iii)z≤x→y?x?z≤y,?x,y,z∈L.

滿足以下條件的尖點有界可換剩余格稱為UL-代數

e≤((x→y)∧e)∨((y→x)∧e), ?x,y∈L.

設*是一個剩余一致模,→*是它的剩余,f∈[0,1],則([0,1],min,max,*,→*,e*,f,0,1)是一個UL-代數.

容易驗證,在UL-代數中成立,

x≤y?e≤x→y,?x,y∈L,

(10)

e→x=x,?x∈L.

(11)

前面分別介紹了t-模基模糊邏輯系統的2種推廣：一是放棄交換性,得到非可換模糊邏輯系統；一是放棄結合性,得到非結合模糊邏輯系統.自然會想到,同時放棄交換性和結合性,可以得到更一般的模糊系統.確實如此,文獻[50-51]就建立了這樣的一般模糊邏輯系統,是基于mianorm建立起來的,這里的mianorm是更一般的三角模,與Liu在文獻[52]中引入的半一致模(semi-uninorm)涵義相同(早于文獻[50]),是文獻[53]中提到的t-半模(t-seminorm)概念的推廣.

定義15[50,52]一個半一致模(semi-uninorm)或mianorm是指滿足以下條件的函數

*:[0,1]2→[0,1], ?x,y,z∈[0,1],

1) 存在e∈[0,1],e*x=x*e=x,

2)x≤y?x*z≤y*z且z*x≤z*y.

當e=1時,半一致模稱為半三角模；當e=0時,半一致模稱為半三角余模.

對文獻[52]中的定理4.1稍加改造,可以得到如下結論：

定理5設函數→:[0,1]2→[0,1]滿足以下條件:

1) ?x,y,z∈[0,1],y≤z?x→y≤x→z；

2) ?x,y,z∈[0,1],y≤z?z→x≤z→y；

3) 存在e∈(0,1],使得前述條件(10)及(11)式成立,

則如下定義的運算*1及*2是具有單位e的半一致模：

?x,y∈[0,1],x*1y=inf{t∈[0,1]:x≤y→t};

?x,y∈[0,1],x*2y=inf{t∈[0,1]:y≤x→t}.

基于半一致模(semi-uninorm)或mianorm,文獻[50]建立了一般模糊邏輯形式系統MIAL,與之配套的代數結構是MIAL-代數.

(i) (L,∧,∨,⊥,┬)為有界格,⊥,┬分別為L的底元和頂元；

(ii) (L,*,t)是有單位t的廣群；

一個MIAL-代數是指滿足以下條件的尖點有界rlu-廣群(?x,y,z,w∈L):

t≤((x→y)∧t)∨((z*w)→
(z*(w*((y→x)∧t)))),

t≤((x→y)∧t)∨((z*w)→
((z*((y→x)∧t))*w)),

t≤((x→y)∧t)∨(z→
(w→((w*z)*((y→x)∧t)))),

作為更一般與剩余有關的代數結構,稱為剩余廣群(residuated groupoid),最早可以追溯到1954年Dubreil與Croisot的工作,這在文獻[54]中有記載和說明.國內相關研究論文,可參見文獻[55-56](注意相關概念的細微差別).按文獻[57]的說法,剩余有序廣群(residuated ordered groupoid)的概念最早出現在Birkhoff的著作中[58],它是對一般剩余格概念的推廣.剩余有序廣群也被寫為residuated partially-ordered groupoid或residuated pogroupoid(參見文獻[59-60]).

如果剩余有序廣群L有單位元e,即(?x∈L)e*x=x*e=x,則稱L是有單位的(unital)；如果剩余有序廣群L有最大元1且它同時是單位元,則稱L是整的(integral).

2)x≤y?x?z≤y?z;x≤y?z?x≤z?y;

3) 設xi∈L(i∈I),a∈L.如果∨i∈Ixi存在,則a*(∨i∈Ixi)=∨i∈I(a*xi);

4) 設xi∈L(i∈I),a∈L.如果∨i∈Ixi存在,則(∨i∈Ixi)*a=∨i∈I(xi*a).

1) ?x,y,z∈L,y→z≤(x→y)→(x→z).

2) ?x,y,z∈L,x*(y*z)≤(x*y)*z.

類似地,下列條件在L中也等價：

4) ?x,y,z∈L,(x*y)*z≤x*(y*z).

3 從蘊涵片段看各種模糊邏輯代數

3.1BCK-代數與偽BCK-代數在研究非經典數理邏輯的語構理論時(特別是討論邏輯系統完備性時),通常要考查與之相關的代數系統的結構特征,比如Lukasiewicz連續值邏輯與MV-代數、形式系統L*與R0-代數、基本邏輯系統BL與BL-代數、非可換基本邏輯psBL與偽BL-代數等,這與經典邏輯與布爾代數的關聯關系類似.因此,研究各種源于邏輯的代數系統的內在聯系就是一個自然而重要的課題,這將從一個特殊的視角探尋各種邏輯系統深層次的聯系.

早在20世紀60年代中期,從正蘊涵演算系統(the systems of positive implicational calculus)、弱正蘊涵演算及BCK系統出發,日本學者Iséki[61]引入BCK-代數的概念.此后,國際學術界對其進行了深入細致的研究,涉及序結構、代數結構、理想(ideal,與濾子概念相對應)、與邏輯的關系等方面[62-72].1984年,日本學者Komori提出BCC(BIK+)-代數的概念,它是BCK-代數的推廣.有趣的是,雖然上述研究方向直觀上看似乎與模糊邏輯沒有關系,然而后來人們發現：它們之間具有密切聯系！羅馬尼亞學者Iorgulescu首先建立了BCK-代數與模糊邏輯代數系統BL-代數的聯系；之后,Iorgulescu及其同行將BCK-代數作了非可換推廣,引入偽BCK-代數(pseudo-BCK algebra,簡稱psBCK-代數),并建立了它們與非可換模糊邏輯代數系統psBL-代數的聯系.這些成果表明,各種非經典邏輯在相對應的代數結構方面有著內在的聯系,這是進一步認識這些非經典邏輯系統之間關系的新的獨特視角.

定義18[61]一個BCK-代數是指代數結構(A;≤,→,1),這里≤是A上的二元關系,→是A上的二元運算,1是A中的一個常元,且滿足以下條件(?x,y,z∈A):

(BCK-1)x→y≤(y→z)→(x→z);

(BCK-2)x≤(x→y)→y;

(BCK-3)x≤x;

(BCK-4)x≤y,y≤x?x=y;

(BCK-5)x≤1;

(BCK-6)x≤y?x→y=1.

BCK-代數稱為有界的,如果存在元素0使得對任意x有0→x=1,即0≤x.

代數結構(A;≤,→,1)若滿足前述除(BCK-5)以外的所有其他條件,則稱(A;→,1)為BCI-代數.可以驗證,BCI-代數中1是極大元,即

?x∈A， 1≤x?x=1.

注1原始文獻中BCK(BCI)-代數的定義是上述定義的對偶形式.

定義19[63]一個BCC-代數(或稱BIK+-代數)是指代數結構(A;≤,→,1),這里≤是L上的二元關系,→是A上的二元運算,1是A中的一個常元,且滿足以下條件(?x,y,z∈A):

(BCC-1)y→z≤(x→y)→(x→z);

(BCC-2) 1→x=x;

(BCC-3)x≤x;

(BCC-4)x≤y,y≤x?x=y;

(BCC-5)x≤1;

(BCC-6)x≤y?x→y=1.

注21) 原始文獻中BCC-代數的定義是上述定義的對偶形式.

2) BCK-代數一定是BCC-代數,反之不真.

BZ-代數[73-74]是較BCC-代數更廣泛的代數系統,它也被國外學者稱為弱BCC-代數(weak BCC-algebra[75]).

定義20[73]一個BZ-代數(或稱弱BCC-代數)是指代數結構(A;→,1),這里≤是L上的二元關系,→是A上的二元運算,1是A中的一個常元,且滿足以下條件(?x,y,z∈A):

(I) (y→z)→((x→y)→(x→z))=1,

(II)x→x=1,

(III) 1→x=x,

(IV)x→y=y→x=1?x=y.

在BZ-代數(A;→,1)中定義二元關系≤如下：(?x,y∈A)x≤y?x→y=1,則≤是A上的偏序.可以證明,1是BZ-代數(A;→,1)中的極大元,即(?x∈A)1≤x?x=1.

命題5[76]一個BZ-代數(A;→,1)是BCI-代數當且僅當它滿足下列條件之一：

(V) (x→y)→((y→z)→(x→z))=1,?x,y,z∈A;

(VI)x→(y→z)=y→(x→z),?x,y,z∈A;

(VII)x→(y→z)=1?y→(x→z)=1,?x,y,z∈A.

一個BCC-代數(A;→,1)是BCK-代數當且僅當它滿足(VI)或

(IX)y→((y→x)→x)=1,?x,y∈A.

定義21[73]一個BZ-代數(A;→,1)稱為是群逆的(anti-grouped),如果它滿足以下條件

(AG) (x→1)→1=x,?x∈A.

命題6[73]一個BZ-代數(A;→,1)是群逆的,當且僅當它滿足：

(AG1) (x→y)→(x→z)=y→z,?x,y,z∈A.

定理7[73]設(A;→,1)是一個群逆BZ-代數.定義加法運算+及逆元如下：?x,y∈A,

則(A;+,1)是群(未必可換).類似地,定義加法運算及逆元如下(?x,y∈A)：

x

則(A;,1)是群(未必可換).

3)x→x=1;

4)x→y=y→x=1?x=y;

5)x→y1?xy1.

1) 1≤x?x=1;

3)x≤y,y≤z?x≤z;

8) 1→xx,1xx;

(a) (X;→,1)是一個BZ-代數；

至此,前述的BCK/BCI-代數、BCC/BZ-代數、偽BCK/BCI-代數之間的關系,可用圖1直觀描述.

圖 1 BCK-、BCI-、BCC-、BZ-代數與偽BCK/BCI-代數之間的關系

不過,前面的例1表明,與非結合t-模相對應的“剩余”不滿足BCK/BCC-代數的基本條件.自然產生一個問題：什么樣的一般蘊涵代數可以作為各種非經典邏輯代數的公共代數基礎？

3.2量子B-代數、基本蘊涵代數與EO-代數1984年Mulvey提出quantale概念,用以研究非可換空間和量子力學.基于quantales導出的蘊涵算子,Rump等在文獻[77]中引入量子B-代數(quantum B-algebra)的概念,它包含許多蘊涵代數(比如BCK-代數、MV-代數、BL-代數及其非可換推廣)作為特例.關于量子B-代數的一些最新研究,可參見文獻[78-82].

定義23一個quantale是一個具有結合二元運算*的完備格Q,滿足如下分配性：

1)x*(∨i∈Iyi)=∨i∈I(x*yi),?x,yi∈Q,i∈I(I為任意指標集)；

2) (∨i∈Iyi)*x=∨i∈I(yi*x),?x,yi∈Q,i∈I(I為任意指標集).

1)y→z≤(x→y)→(x→z);

3)y≤z?x→y≤x→z;

2)y≤z?x→y≤x→z;

3)y≤z?z→x≤y→x;

定理9[77-78]每一個偽BCI-代數是一個單位量子B-代數；一個量子B-代數是偽BCI-代數當且僅當它的單位元是極大元；一個量子B-代數是偽BCK-代數當且僅當它有最大元且該最大元是單位元.

從定義24的1)及2)可以看到,盡管量子B-代數具有一般性,但仍然不能將例1中的蘊涵算子包括進去.因此,有必要對BCK/BCC-代數、量子B-代數等做進一步拓展,以便能概括更一般的蘊涵算子.

實際上,在模糊邏輯及其應用研究中,蘊涵算子一直是人們關注的焦點之一,大量研究文獻涉及這一主題(參見文獻[83-88]).目前,關于單位區間上的蘊涵算子,常用以下定義.

定義25[83-84]函數I:[0,1]2→[0,1]稱為是一個蘊涵(implication),如果它關于第一個變元不增、關于第二個變元不減,且

I(0,0)=I(0,1)=I(1,1)=1,I(1,0)=0.

經過對各種源于非經典邏輯的代數系統進行比較分析,我們與Borzooei及Jun在文獻[89]中共同提出一個新的概念：基本蘊涵代數(Basic Implication Algebra,簡寫為BI-代數),這類代數系統具有較強的概括性,可以包括例1中的蘊涵算子、且能建立起通常的濾子理論和商代數結構.

定義26[89]一個基本蘊涵代數(簡稱BI-代數)是一個具有二元運算→的偏序集(X,≤),?x,y,z∈X,滿足以下條件：

1)x≤y?z→x≤z→y;

2)x≤y?y→z≤x→z.

一個基本蘊涵代數X稱為正規的(normal),如果X滿足:

3) ?x,y∈X,x→x=y→y;

4) ?x,y∈X,x≤y?x→y=e,這里e=x→x=y→y.

命題10[89]設(X;≤,→)是一個基本蘊涵代數(BI-代數),則(?x,y,u,v∈X):

1)x≤y?y→x≤x→x≤x→y;

2)x≤y?y→x≤y→y≤x→y;

3)x≤y且u≤v?y→u≤x→v;

4)x≤y且u≤v?v→x≤u→y.

有趣的是,一些學者在文獻[90-91]中引入擴展序代數(Extended-Order Algebra,簡寫為EO-代數)的概念,它正好是一種特殊的基本蘊涵代數(BI-代數).

定義27[90-91]一個弱擴展序代數(weak extended-order algebra,簡寫為w-eo algebra)是一個三元組(X,→,┬),其中X是非空集,→是X上的二元運算,┬是X上的常元,?a,b,c∈X,且滿足以下條件：

(O1)a→┬=┬;

(O2)a→a=┬;

(O3) 如果a→b=┬且b→a=┬,則a=b;

(O4) 如果a→b=┬且b→c=┬,則a→c=┬.

在弱擴展序代數(X,→,┬)上定義如下關系≤:(?a,b∈X)a≤b?a→b=┬,則(X,≤)是偏序集,┬為頂元.

定義28[90-91]一個三元組(X,→,┬)稱為是右弱擴展序代數(right w-eo algebra),如果它滿足前述公理(O1)、(O2)、(O3)和以下的公理(O5)：

(O5) 如果a→b=┬,則(c→a)→(c→b)=┬.

一個三元組(X,→,┬)稱為是左弱擴展序代數(left w-eo algebra),如果它滿足前述公理(O1),(O2),(O3)和以下的(O5’)：

(O5’) 如果a→b=┬,則(b→c)→(a→c)=┬.

一個三元組(X,→,┬)稱為是擴展序代數(extended-order algebra,簡寫為EO-algebra),如果它既是右弱擴展序代數、又是左弱擴展序代數.

容易驗證,右弱擴展序代數、左弱擴展序代數均滿足公理(O4).

命題12設(X,→,┬)是一個擴展序代數(EO-代數),則(X;≤,→,┬)是一個以┬為最大元的正規基本蘊涵代數.

4 結論及進一步研究的課題

從以上對非經典邏輯代數的系統比較分析可以看出,BCK-代數是各種t-模基模糊邏輯及相關非經典邏輯系統(蘊涵片段)的代數抽象,BCC-代數是各種偽t-模基模糊邏輯及相關非經典邏輯系統(蘊涵片段)的代數抽象,而基本蘊涵代數(BI-代數)是各種廣義t-模(包括非結合t-模、半一致模等)基模糊邏輯及相關非經典邏輯系統(蘊涵片段)的代數抽象.同時,我們在文獻[89]的研究結果表明,各種非經典邏輯代數的濾子及商代數理論,可以在基本蘊涵代數(BI-代數)的一般框架下統一處理.

作為進一步研究的課題,以下問題具有重要意義：

1) 與非結合t-模、半一致模相關的剩余格序廣群的濾子理論及特殊子類(比如非結合BL-代數、非結合Hoop代數、非結合非交換BL/Hoop-代數等)的特性等；

2) 蘊涵運算與傳統代數運算之間的深層次聯系,比如文獻[71,76,92-93]中涉及的群(或半群)與相關蘊涵代數之間的關系研究,需要進一步拓展到更廣泛的情況(比如廣群與基本蘊涵代數)；

3) 非可換且非結合的模糊邏輯形式系統的進一步研究,以及相對應的一般(指非可換或非結合)區間值模糊邏輯、直覺模糊邏輯、二型模糊邏輯、基于粗糙集的邏輯等均具有重要研究價值.