三角直覺逼近在模糊系統可靠性上的應用

李舒陽, 李洪興, 孫凱彪

(1. 海軍大連艦艇學院 基礎部, 遼寧 大連 116018; 2. 大連理工大學 控制科學與工程學院, 遼寧 大連 116024)

0 引言

隨著高科技產業的快速發展,工程系統越來越大型化和復雜化,系統可靠性分析已經成為工程領域的研究熱點與難點之一.故障樹分析方法是系統可靠性分析方法中一種應用最為廣泛的分析方法.很多系統存在大量的模糊不確定性,要得到基本事件的確切概率是困難的.因此，Tanaka等[1]將模糊理論引入故障樹分析,用模糊概率代替傳統可靠性分析中的精確概率值.文獻[2]用三角形直覺模糊數表示系統部件失效概率,提出一種直覺模糊故障樹分析算法計算系統部件的故障區間,為管理人員找到最關鍵的系統部件提供決策參考,并將此算法應用到印刷電路板裝配中.文獻[3]提出一種直覺模糊故障樹分析方法解決液化天然氣終端緊急關閉系統的故障分析問題.文獻[4]通過L-R型三角直覺模糊集表示的直覺模糊故障樹分析計算機安全系統的可靠性.文獻[5]利用故障樹分析部件用梯形直覺模糊數表示的船舶動力裝置的可靠性.文獻[6]修改文獻[1]模糊故障樹的定義,應用故障樹分析、三角直覺模糊數的α-截集和建立在三角直覺模糊數代數運算上的弱t-范數,得到了系統的故障區間和可靠區間.

在模糊系統可靠性分析中,很多成果都是假設一個系統所有部件的故障率是相同類型的直覺模糊數,然而,這種情況很少發生.在實際問題中,系統部件的可靠性往往用不同類型的直覺模糊數描述.文獻[7]給出一種算法，分析了部件用不同類型的直覺模糊數表示的系統的模糊可靠性.通過非線性規劃方法計算直覺模糊函數解決模糊系統可靠性問題,數值例子用的是三角和梯形直覺模糊數.文獻[8]給出基于α-和β-截集的直覺模糊數的代數運算,由此得到一種系統部件的可靠性用不同類型直覺模糊數表示的模糊系統可靠性分析的方法.該文獻里的數值例子中用的也是三角和梯形直覺模糊數.文獻[9]針對用不同類型直覺模糊數表示部件直覺模糊故障率的系統,提出構建串并聯系統模糊可靠性隸屬函數和非隸屬函數的算法,這種算法是通過非線性規劃方法用直覺模糊函數實現的.數值例子用的是三角形和梯形直覺模糊數說明評估過程和方法,從而減少計算量.文獻[10]用弱t-范數的方法對用不同類型的直覺模糊數表示所有部件故障率的系統進行了可靠性分析;但是這種方法需要對直覺模糊數的截集進行代數運算,計算量較大.文獻[11]考慮部件的故障率是用三角和梯形直覺模糊數表示的,使用可信性理論計算直覺模糊函數,提出一種分析串聯和并聯系統模糊可靠性的方法.

雖然關于模糊系統可靠性的研究成果很多,但是仍然有各自的不足之處.如果能有一種評估模糊系統可靠性的方法,不僅評估過程相對簡單,計算量小,而且能解決系統部件用不同類型的直覺模糊數(包括一般直覺模糊數)表示的可靠性評估問題,將對模糊系統可靠性的發展有著深遠的意義.本文提出一種解決實際問題中遇到的系統部件故障率用不同類型直覺模糊數表示模糊系統的可靠性問題的方法,并用直覺模糊數的代數運算分析模糊系統的可靠性,比已有方法的計算量小.最后通過印刷電路板組件(PCBA)故障分析表明,應用本文所給出的梯形直覺逼近方法處理數據后,所得的結果與其它的計算結果相比縮小了直覺模糊數截集的區間長度,提高了結果的可信度.

1 預備知識

1.1形直覺逼近

定義1[12-13]設X是一個給定的非空集合,A={〈x,μA(x),νA(x)〉:x∈X},μA:X→[0,1],νA:X→[0,1],且對?x∈X有0≤μA(x)+νA(x)≤1,稱A為X上的直覺模糊集.

如果直覺模糊集A滿足一定的條件,那么稱A為正規直覺模糊集.

定義2[14]設A={〈x,μA(x),νA(x)〉:x∈X}是論域X上的直覺模糊集，如果至少存在2點x1,x2∈X，使得μA(x1)=1,νA(x2)=1，則稱直覺模糊集A是正規的.

直覺模糊集的一種特殊情形稱為直覺模糊數.

定義3[14]設A={〈x,μA(x),νA(x)〉:x∈R}是實軸R上的一個直覺模糊子集,如果下面條件成立:

1)μA(x)是模糊凸的，即對?x1,x2∈R,λ∈[0,1],有

μA(λx1+(1-λ)x2)≥

min{μA(x1),μA(x2)},

νA(x)是模糊凹的，即對?x1,x2∈R,λ∈[0,1],有

νA(λx1+(1-λ)x2)≤max{νA(x1),νA(x2)};

2)A是正規的;

3)μA是上半連續的,νA是下半連續的;

4) SupA={x∈R:μA(x)>0,νA(x)<1}是有界的.

則稱A為一個直覺模糊數.

如果μA和1-νA是梯形模糊數,那么稱直覺模糊數A=〈μA,νA〉是梯形直覺模糊數;如果μA和1-νA是三角形模糊數,那么稱直覺模糊數A=〈μA,νA〉是三角形直覺模糊數.如果A=〈μA,νA〉是一個直覺模糊數,T△(A)=〈μT△,νT△〉是距離A=〈μA,νA〉最近的那個三角形直覺模糊數,稱T△(A)=〈μT△,νT△〉為A=〈μA,νA〉的三角直覺逼近.

(μA)U(α))dα,

(1)

(2)

(3)

(1-νA)U(α))dα,

(4)

(5)

(6)

(μT△)α=[s1-(1-α)s2,s1+(1-α)s3],

?

(7)

圖1串聯系統
Fig.1Seriessystem

圖 2 并聯系統Fig.2 Parallel system

?

(8)

2 算例分析

給出一個印刷電路板組件(PCBA)的例子說明所提出來的逼近方法分析系統模糊可靠性的過程,并與文獻[17-18]的方法比較.圖3的PCBA故障樹和數據來自臺灣新竹科學園區一個中型制造廠[2].這里使用PCBA作為故障樹的頂部事件.印刷電路板組件故障的故障樹如圖3所示,子事件和底部事件詳見表1和表2.

圖 3 印刷電路板組件故障樹的圖像Fig.3 The fault-tree diagram of PCBA fault

由于基本事件的故障率數據不完全,故障率密度函數類型不同等原因,根據專家的觀點給出了故障樹底部事件的故障率,故障率用以下的不同類型的直覺模糊數表示.

A1=〈μA1,νA1〉是三角形直覺模糊數,有

(μA1)α=

[0.000 7+0.000 4α,0.001 24-0.000 14α],

(1-νA1)α=

[0.000 58+0.000 52α,0.001 51-0.000 41α].

A2=〈μA2,νA2〉是三角形直覺模糊數,

(μA2)α=

[0.000 96+0.000 14α,0.001 34-0.000 24α],

(1-νA2)α=

[0.000 72+0.000 38α,0.001 49-0.000 39α].

表 1 PCBA故障子事件的說明Tab.1 The descriptions of the sub-events of PCBA fault

表 2 PCBA故障底部事件的說明Tab.2 The descriptions of the bottom events of PCBA fault

A3=〈μA3,νA3〉是三角形直覺模糊數,

(μA3)α=[0.004 11+0.000 62α,0.005 13-0.000 4α],

(1-νA3)α=[0.002 89+0.001 84α,0.005 57-0.000 84α].

B=〈μB,νB〉是梯形直覺模糊數,

(μB)α=

[0.001 11+0.000 09α,0.001 78-0.000 08α],

(1-νB)α=

[0.000 89+0.000 31α,0.001 92-0.000 22α].

C=〈μC,νC〉是正態型直覺模糊數,

(μC)α=(1-νC)α=[0.000 99-

D=〈μD,νD〉是尖γ型直覺模糊數,

(μD)α=

(1-νD)α=

E1=〈μE1,νE1〉是正態型直覺模糊數,

(μE1)α=(1-νE1)α=

E2=〈μE2,νE2〉是正態型直覺模糊數,

(μE2)α=(1-νE2)α=[0.000 77-

E3=〈μE3,νE3〉是尖γ型直覺模糊數,

(μE3)α=

(1-νE3)α=

F1=〈μF1,νF1〉是三角形直覺模糊數,

(μF1)α=

[0.001+0.000 1α,0.001 62-0.000 52α],

(1-νF1)α=[0.000 683+0.000 417α,

0.001 82-0.000 72α].

F2=〈μF2,νF2〉是三角形直覺模糊數,

(μF2)α=[0.001 85+0.000 35α,

0.002 59-0.000 39α],

(1-νF2)α=[0.001 49+0.000 71α,

0.002 99-0.000 79α].

G1=〈μG1,νG1〉是梯形直覺模糊數,

(μG1)α=[0.000 496+0.000 024α,

0.000 79-0.000 09α],

(1-νG1)α=[0.000 273+0.000 247α,

0.000 86-0.000 7α].

G2=〈μG2,νG2〉是梯形直覺模糊數,

(μG2)α=[0.002 54+0.000 46α,

0.003 95-0.000 55α],

(1-νG2)α=[0.000 233+0.002 763α,

0.004 61-0.001 21α].

G3=〈μG3,νG3〉是梯形直覺模糊數,

(μG3)α=[0.000 96+0.000 04α,

0.001 71-0.000 11α],

(1-νG3)α=[0.000 517+0.000 483α,

0.002 07-0.000 47α].

H1=〈μH1,νH1〉是尖γ型直覺模糊數,

H2=〈μH2,νH2〉是正態型直覺模糊數,

(μH2)α=(1-νH2)α=[0.002 97-

H3=〈μH3,νH3〉是尖γ型直覺模糊數,

(μH3)α=

(1-νH3)α=

I1=〈μI1,νI1〉是正態型直覺模糊數,

(μI1)α=(1-νI1)α=[0.003 3-

I2=〈μI2,νI2〉是正態型直覺模糊數,

(μI2)α=(1-νI2)α=[0.003 3-

I3=〈μI3,νI3〉是正態型直覺模糊數,

(μI3)α=(1-νI3)α=[0.002 42-

J1=〈μJ1,νJ1〉是三角形直覺模糊數,

(μJ1)α=[0.004 41+0.000 21α,

0.004 95-0.000 33α],

(1-νJ1)α=[0.001 88+0.002 74α,

0.005 51-0.000 89α].

J2=〈μJ2,νJ2〉是三角形直覺模糊數,

(μJ2)α=[0.001 94+0.000 7α,

0.002 85-0.000 21α],

(1-νJ2)α=[0.001 88+0.000 76α,

0.002 91-0.000 27α].

K=〈μK,νK〉是尖γ型直覺模糊數,

(μK)α=

L=〈μL,νL〉是三角形直覺模糊數,

(μL)α=[0.001 06+0.000 15α,

0.001 68-0.000 47α],

(1-νL)α=[0.000 83+0.000 38α,

0.002 05-0.000 84α].

M1=〈μM1,νM1〉是三角形直覺模糊數,

(μM1)α=[0.004 61+0.001 22α,

0.005 92-0.000 09α],

(1-νM1)α=[0.002 59+0.003 24α,

0.006 17-0.000 34α].

M2=〈μM2,νM2〉是三角形直覺模糊數,

(μM2)α=[0.000 203+0.000 017α,

0.000 28-0.000 06α],

(1-νM2)α=[0.000 184+0.000 36α,

0.000 45-0.000 23α].

M3=〈μM3,νM3〉是三角形直覺模糊數,

(μM3)α=[0.001 19+0.000 24α,

0.001 61-0.000 18α],

(1-νM3)α=[0.001 02+0.000 41α,

0.001 93-0.000 5α].

N1=〈μN1,νN1〉是三角形直覺模糊數,

(μN1)α=[0.001 97+0.000 34α,

0.002 58-0.000 27α],

(1-νN1)α=[0.001 91+0.000 4α,

0.002 73-0.000 42α].

N2=〈μN2,νN2〉是三角形直覺模糊數,

(μN2)α=[0.001 04+0.000 28α,

0.001 39-0.000 07α],

(1-νN2)α=[0.000 862+0.000 458α,

0.001 42-0.000 1α].

N3=〈μN3,νN3〉是三角形直覺模糊數,

(μJ1)α=[0.001 45+0.000 31α,

0.001 88-0.000 12α],

(1-νJ1)α=[0.001 17+0.000 59α,

0.002 51-0.000 45α].

O=〈μO,νO〉是尖γ型直覺模糊數,

(μO)α=

(1-νO)α=

P=〈μP,νP〉是梯形直覺模糊數,

(μP)α=

[0.002 58+0.000 12α,0.003 06-0.000 12α],

(1-νP)α=[0.002 11+0.000 59α,

0.003 27-0.000 33α].

Q=〈μQ,νQ〉是正態型直覺模糊數,

(μQ)α=(1-νQ)α=

R=〈μR,νR〉是尖γ型直覺模糊數,

(μR)α=

(1-νR)α=

S=〈μS,νS〉是正態型直覺模糊數,

(μS)α=(1-νS)α=[0.004 18-

下面用不同的方法對PCBA故障模型進行可靠性評估,并對結果進行對比分析.對系統基本事件故障率數據不完整的情況,文獻[17]提出了直覺模糊故障樹分析的方法.根據專家的知識和經驗對底部事件的故障率用三角形直覺模糊數進行代數運算,計算頂部事件PCBA故障的可能性是:

q=〈0.040 794,0.055 720,0.069 499;

0.032 797,0.055 720,0.075 212〉.

當α=0,0.1,0.2,…,1時,根據直覺模糊數的α-截集計算出頂部事件CBA故障的信任隸屬區間和非隸屬區間,如表3所示.這種方法只能對用三角形直覺模糊數表示的故障率進行運算,有很大的局限性.

表 3 PCBA故障在不同截集水平的模糊故障率[17]Tab.3 Fuzzy failure probability of PCBA fault at different level[17]

文獻[18]根據直覺模糊集的區間代數運算評估模糊系統的可靠性,需要先計算35個底部事件,當α=0,0.1,0.2,…,1時的770個α-截集;然后當α=0,0.1,0.2,…,1時,對這些截集再進行區間代數運算,得出頂部事件PCBA故障的信任隸屬區間和非隸屬區間在α=0,0.1,0.2,…,1時的情況,如表4所示,這種方法計算量比較大.

表 4 PCBA故障在不同截集水平的模糊故障率[18]Tab.4 Fuzzy failure probability of PCBA fault at different level[18]

下面考慮本文提出的逼近方法.從圖4可以看到,三角形直覺模糊數比梯形直覺模糊數更接近正態型和尖γ型直覺模糊數.

(a)C的隸屬函數和非隸屬函數的圖像

(b)D的隸屬函數和非隸屬函數的圖像

圖4C、D的隸屬函數和非隸屬函數的圖像
Fig.4Thefiguresofmembershipandnon-membershipfunctionsofCandD

所以根據算法1可以分別得到正態型直覺模糊數C、E1、E2、H2、I1、I2、I3、Q、S和尖γ型直覺模糊數D、E3、H1、H3、K、O、R的三角直覺逼近:

T△(C)=(0.000 879,0.000 99,0.001 101;

0.000 879,0.000 99,0.001 101),

T△(D)=(0.001 627,0.001 65,0.001 673;

0.001 586,0.001 65,0.001 714),

T△(E1)=(0.001 591,0.002 2,0.002 809;

0.001 591,0.002 2,0.002 809),

T△(E2)=(0.000 548,0.000 77,0.000 992;

0.000 548,0.000 77,0.000 992),

T△(E3)=(0.000 529,0.000 55,0.000 571;

0.000 513,0.000 55,0.000 588),

T△(H1)=(0.000 528,0.000 55,0.000 572;

0.000 513,0.000 55,0.000 588),

T△(H2)=(0.002 064,0.002 97,0.003 876;

0.002 064,0.002 97,0.003 876),

T△(H3)=(0.001 08,0.001 1,0.001 120;

0.001 055,0.001 1,0.001 145),

T△(I1)=(0.002 531,0.003 3,0.004 069;

0.002 531,0.003 3,0.004 069),

T△(I2)=(0.002 441,0.003 3,0.004 159;

0.002 441,0.003 3,0.004 159),

T△(I3)=(0.001 847,0.002 42,0.002 993;

0.001 847,0.002 42,0.002 993),

T△(K)=(0.000 738,0.000 77,0.000 802;

0.000 695,0.000 77,0.000 845),

T△(O)=(0.001 165,0.001 21,0.001 255;

0.001 135,0.001 21,0.001 285),

T△(Q)=(0.003 792,0.004 4,0.005 008;

0.003 792,0.004 4,0.005 008),

T△(R)=(0.001 848,0.001 87,0.001 893;

0.001 842,0.001 87,0.001 898),

T△(S)=(0.003 411,0.004 18,0.004 949;

0.003 411,0.004 18,0.004 949).

根據圖3，主要事件有如下的關系:

A=A1+A2+A3,E=E1+E2+E3,

F=F1×F2,

G=G1+G2+G3,H=H1+H2+H3,

I=I1+I2+I3,

J=J1×J2,M=M1+M2+M3,

N=N1×N2×N3,

其中正態型和尖γ型直覺模糊數用三角直覺逼近代替.用qi表示底部事件i的故障率,計算各個子事件的故障率如下:

qA= 1?(1?A1)? (1?A2)?(1?A3) ?

(0.005 762 5,0.006 918 4,0.007 695 1;

0.004 185 8,0.006 918 4,0.008 551 1),

qE= 1?(1?T△(E1))? (1?T△(E2))?

(1?T△(E3)) ?

(0.002 666 0,0.003 516 7,0.004 367 0;

0.002 650 0,0.003 516 7,0.004 384 0),

qF=F1?F2?

(0.000 001 9,0.000 002 4,0.000 004 2;

0.000 001 0,0.000 002 4,0.000 005 4),

qG= 1?(1?G1)?

(1?G2)?(1?G3) ?

(0.003 991 8,0.004 514 9,0.005 691 1,0.006 438 8;

0.001 022 7,0.004 514 9,0.005 691 1,0.007 524 7),

qH= 1?(1?T△(H1))?

(1?T△(H2))?(1?T△(H3)) ?

(0.003 668 1,0.004 614 5,0.005 560 8;

0.003 628 2,0.004 614 5,0.005 601 6),

qI= 1?(1?T△(I1))?

(1?T△(I2))?(1?T△(I3)) ?

(0.006 803 6,0.008 993 2,0.011 179 5;

0.006 803 6,0.008 993 2,0.011 179 5),

qJ=J1?J2?

(0.000 008 6,0.000 012 2,0.000 014 1;

0.000 003 5,0.000 012 2,0.000 016 0),

qM= 1?(1?M1)? (1?M2)?(1?M3) ?

(0.005 996 3,0.007 470 1,0.007 798 4;

0.003 790 7,0.007 470 1,0.008 534 5),

qN=N1?N2?N3?

(0.297 076×10-8,0.536 659 2×10-8,

0.674 205 6×10-8;

0.192 631 14×10-8,0.536 659 2×10-8,

0.973 026 6×10-8).

因為三角直覺模糊數是梯形直覺模糊數的特殊情況,所以各個子事件I、II、III、IV和V的故障率計算如下:

qI= 1?(1?A)?

(1?B)?(1?T△(C)) ?

(0.007 739 1,0.009 092 1,0.009 588 1,0.010 552 0;

0.005 946 6,0.009 092 1,0.009 588 1,0.011 544 1),

qII= 1?(1?T△(D))? (1?E)?

(1?F)?(1?G)?(1?H)? (1?I)?

(0.018 625 7,0.023 090 1,0.024 244 3,0.028 907 5;

0.015 603 4,0.023 090 1,0.024 244 3,0.030 066 5),

qIII= 1?(1?J)? (1?T△(K))?(1?L) ?

(0.001 805 6,0.001 991 2,0.001 991 2,0.002 494 9;

0.001 527 6,0.001 991 2,0.001 991 2,0.002 909 3),

qIV= 1?(1?M)? (1?N)?

(1?T△(O))?(1?P) ?

(0.009 715 9,0.011 347 7,0.011 585 6,0.012 075 9;

0.007 021 0,0.011 347 7,0.011 585 6,0.013 046 5),

qV= 1?(1?T△(Q))?

(1?T△(R))?(1?T△(S)) ?

(0.001 805 6,0.001 991 2,0.001 991 2,0.002 494 8;

0.001 528 0,0.001 991 2,0.001 991 2,0.002 909 3).

那么頂部事件PCBA故障的可能性是

qPCBA= 1?(1?I)? (1?II)?(1?III)?

(1?IV)?(1?V) ?

(0.039 161,0.046 765,0.048 596,0.055 488;

0.031 294,0.046 765,0.048 596,0.059 269).

表5表示本文提出的方法計算頂部事件PCBA故障的可能性(當α=0,0.1,0.2,…,1時的隸屬函數和非隸屬函數的α-截集).文獻[17]提出的方法只能計算系統部件故障率用三角形直覺模糊數表示的系統的可靠性,有很大的局限性.在實際應用中，系統部件用單一類型的直覺模糊數表示故障率這種情況很少發生,系統部件往往都是用不同類型的直覺模糊數表示其故障率的.文獻[18]提出的方法雖然可以計算用不同類型直覺模糊數表示系統部件故障率的系統可靠性,但是首先得求出35個基本事件(當α=0,0.1,0.2,…,1時)的770個α截集,然后當α=0,0.1,0.2,…,1時再分別用區間的代數運算計算系統發生故障可能性,計算量比較大.本文提出的方法不僅可以對用不同類型直覺模糊數(可以包含一般直覺模糊數)表示系統部件故障率的系統進行可靠性分析,而且計算量小,計算結果的不確定性也比較小.文獻[17-18]和本文提出的方法計算PCBA故障的可能性的模糊分布如表6所示.可靠性區間的長度越小,關于可靠性的不確定性就越小.從表6可以看到,本文用逼近的方法處理數據后,所得的結果有效地減少了可靠性區間的長度,即減少了模糊分布,比其它的計算結果更為精確.

表 5 用本文提出的方法PCBA故障在不同截集水平的模糊故障率Tab.5 Fuzzy failure probability of PCBA fault at different level based on proposed method

表 6 用不同方法PCBA故障的故障率的模糊分布Tab.6 Fuzzy spreads of failure probability of PCBA fault with different method

3 結束語

應用三角直覺逼近方法研究模糊系統的可靠性問題,對一個含有串并聯結構的模糊系統,各個部件用不同類型的直覺模糊數表示其故障率,將正態型和尖γ型直覺模糊數都逼近成三角形直覺模糊數，然后用直覺模糊數的代數運算分析串聯和并聯模糊系統的可靠性.該方法解決了實際問題中遇到的系統部件故障率用不同類型直覺模糊數表示的模糊系統的可靠性問題,并且分析模糊系統的可靠性用的是直覺模糊數的代數運算,在一定程度上減少了計算量.最后通過PCBA故障分析表明,應用三角直覺逼近方法處理數據后,所得的結果與其它的計算結果相比較,有效地減少了模糊分布,提高了結果的可信度.

致謝海軍大連艦艇學院科研發展基金對本文給予了資助,謹致謝意.