常見(jiàn)不同模態(tài)信號(hào)分解方法探討

邢昀，榮劍

（西南林業(yè)大學(xué)大數(shù)據(jù)與智能工程學(xué)院，昆明 650224）

0 引言

在信號(hào)處理領(lǐng)域，從1882年傅里葉提出傅里葉級(jí)數(shù)，到1965年圖基和庫(kù)利發(fā)表“快速傅里葉變換算法”以來(lái)，該學(xué)科蓬勃發(fā)展。在經(jīng)典的信號(hào)處理理論中，時(shí)域和頻域的關(guān)系是信號(hào)處理中的一個(gè)重要關(guān)系，傅里葉變換和傅里葉反變換在信號(hào)時(shí)域和頻域之間建立起了溝通的橋梁[1]。然而傅里葉變換只是一種全局意義上的變換，所以在分析平穩(wěn)信號(hào)時(shí)候比較有效，但在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)信號(hào)都是非平穩(wěn)信號(hào)[2]。非平穩(wěn)信號(hào)同平穩(wěn)信號(hào)相比，其分布參數(shù)或分布律隨時(shí)間發(fā)生了變化。為了處理非平穩(wěn)信號(hào)，人們?cè)诟道锶~變換的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行不斷的改進(jìn)和拓展，其中時(shí)頻分析方法是重要分支之一。時(shí)頻分析思想是嘗試設(shè)計(jì)一個(gè)合適的表征時(shí)間和頻率聯(lián)合二維分布函數(shù)來(lái)分析和處理對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)。傳統(tǒng)的時(shí)頻分析方法有短時(shí)傅里葉變換[3]（STFT）、小波變換[4]（WT）等，它們都為時(shí)頻分析的發(fā)展做了一定的貢獻(xiàn)，但它們大都存在一定的局限性。

1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）是由美國(guó)航空航天局的美籍華人Nordne E.Huang等人在1998年提出的信號(hào)分析方法[5-6]，它能夠?qū)?fù)雜的信號(hào)分解成為有限個(gè)本征模態(tài)函數(shù)IMF[7]之和的形式，可以理解為：將一個(gè)頻率不規(guī)則的波化為若干個(gè)單頻波+殘波的形式。即原波形=∑IMFs+余波。EMD從根本上擺脫了傅里葉變換的約束，而且吸取了小波變換多分辨率的優(yōu)點(diǎn)，局部自適應(yīng)性也變得更強(qiáng)。本征模態(tài)函數(shù)IMF需要滿足如下兩個(gè)條件：①在整個(gè)信號(hào)中，極值點(diǎn)和過(guò)零點(diǎn)的數(shù)量之差要小于等于1；②在任意時(shí)刻，上下包絡(luò)線相對(duì)于時(shí)間軸是局部對(duì)稱(chēng)的，即上下包絡(luò)的均值為零。

對(duì)任一個(gè)信號(hào)X(t)進(jìn)行EMD分解過(guò)程如圖1所示：

圖1 EMD分解過(guò)程圖

EMD算法缺少理論支撐，到目前為止，還沒(méi)有建立一個(gè)合適的EMD算法的數(shù)學(xué)模型。在分解過(guò)程中EMD方法會(huì)產(chǎn)生模態(tài)混疊和端點(diǎn)效應(yīng)[8]，雖然很多學(xué)者針對(duì)此進(jìn)行了研究，但沒(méi)有從根本上解決問(wèn)題。

2 集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

2005年Wu Z、Huang N E等人提出了集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）[9]。集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的實(shí)質(zhì)就是在EMD方法的基礎(chǔ)上，向原信號(hào)中添加高斯白噪聲，依據(jù)高斯白噪聲均勻分布的頻譜特性，來(lái)抑制經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解中存在的模態(tài)混疊現(xiàn)象。EEMD分解過(guò)程圖如圖2所示：

圖2 EEMD分解過(guò)程圖

3 補(bǔ)充的集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

2010年，Yeh J R等人提出補(bǔ)充的EEMD（Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition，CEEMD）[10]通過(guò)添加成對(duì)的符號(hào)相反的白噪聲到目標(biāo)信號(hào)，來(lái)保證信號(hào)分解具有真實(shí)的物理意義，大大減小了重構(gòu)誤差。CEEMD分解過(guò)程圖如圖3所示：

圖3 CEEMD分解過(guò)程圖

4 改進(jìn)的集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

針對(duì)CEEMD與EEMD添加高斯白噪聲所致的計(jì)算量大的問(wèn)題，2013年，鄭近德、程圣軍、楊宇提出了改進(jìn)的集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Modified Ensemble Empirical Mode Decomposition，MEEMD）[11]。該算法結(jié)合 CEEMD和排列熵算法，利用排列熵算法對(duì)時(shí)間序列變化敏感的特性來(lái)檢測(cè)信號(hào)的隨機(jī)性。首先將待分解信號(hào)進(jìn)行CEEMD分解；然后計(jì)算每個(gè)分量的排列熵值，根據(jù)熵值定義的閾值出去熵值較大的、不規(guī)則分量；最后對(duì)剩余信號(hào)進(jìn)行EMD分解，將所得信號(hào)分量按照高頻到低頻進(jìn)行排列。MEEMD分解過(guò)程圖如圖4所示：

圖4 MEEMD分解過(guò)程圖

5 VMD變分模態(tài)分解

為了克服上述EMD方法存在的IMF被淹沒(méi)在噪聲背景中，導(dǎo)致無(wú)法獲得信號(hào)特征分量的問(wèn)題，Konstation Dragomiretskiy和Dominique Zosso在2014年提出了一種新的信號(hào)處理方法，稱(chēng)之為變分模態(tài)分解[12]。VMD采用非遞歸的分解模式，其實(shí)質(zhì)上是變分問(wèn)題的構(gòu)造和求解，假設(shè)信號(hào)是由模態(tài)函數(shù)疊加構(gòu)成，每個(gè)模態(tài)函數(shù)具有不同中心頻率的AM-FM信號(hào)，通過(guò)迭代搜尋構(gòu)造變分模型的極值，以此確定各模態(tài)函數(shù)的頻率中心以及帶寬，從而可以有效地實(shí)現(xiàn)信號(hào)頻域部分以及各分量的分離。

與EMD不同，IMF在VMD中被定義為一個(gè)調(diào)頻調(diào)幅信號(hào)，而不局限于窄帶信號(hào)。表示為：

其中瞬時(shí)幅值A(chǔ)k(t)≥0，相位函數(shù)φk(t)是遞增函數(shù)。構(gòu)造估計(jì)模態(tài)帶寬的約束變分問(wèn)題如下：

通過(guò)引入二次懲罰參數(shù)α和拉格朗日乘法算子λ(t)，來(lái)解決上述約束變分問(wèn)題，二次懲罰參數(shù)α使得變分離散問(wèn)題具有高度非線性與非凸性，保證了信號(hào)在高斯噪聲干擾下能夠被精確分解。拉格朗日乘法算子λ(t)保證了獲得每個(gè)IMF帶寬最優(yōu)解時(shí)的嚴(yán)格性。通過(guò)引入α和λ(t)將約束變分問(wèn)題化為無(wú)約束變分問(wèn)題。增廣拉格朗日函數(shù)如下：

式中：*表示卷積運(yùn)算，<>表示內(nèi)積運(yùn)算。

用交替方向乘數(shù)法迭代更新uk、ωk及λ，求解上式增廣拉格朗日函數(shù)的鞍點(diǎn)，即約束變分模型的最優(yōu)解，具體步驟如圖5所示：

圖5 VMD變分問(wèn)題求解流程圖

6 實(shí)驗(yàn)仿真

為了比較這五種算法在噪聲信號(hào)處理中的效果，分別采用五種算法對(duì)模擬噪聲信號(hào)進(jìn)行處理，并對(duì)分解結(jié)果進(jìn)行分析。

首先設(shè)置仿真信號(hào) X(t)，X(t)由 x1，x2，x3 構(gòu)成，x1 為周期信號(hào)，x2為調(diào)幅信號(hào)，x3為干擾的間歇信號(hào)，X(t)以及各種分解方法的分解結(jié)果如圖6所示：

圖6 原始信號(hào)分解結(jié)果圖

從EMD分解結(jié)果中可以看出，IMF1和IMF3的結(jié)合可以看作周期信號(hào)的組成部分，受到噪聲的影響，調(diào)幅信號(hào)的分解結(jié)果并不完整，在分解過(guò)程中出現(xiàn)了端點(diǎn)效應(yīng)，使得分解結(jié)果嚴(yán)重失真。從EEMD分解結(jié)果中可以看出，IMF4可以作為周期信號(hào)的組成部分，IMF6非常勉強(qiáng)的可以作為調(diào)幅信號(hào)的組成，相比于EMD分解方法，調(diào)幅信號(hào)的以被分解，但調(diào)幅信號(hào)失真較為嚴(yán)重，并且也存在過(guò)多虛假分量。從CEEMD分解結(jié)果中可以看出IMF4為周期信號(hào)的組成部分，IMF5為調(diào)幅信號(hào)的組成部分，相對(duì)于EMD和EEMD來(lái)說(shuō)，有用的周期信號(hào)和調(diào)幅信號(hào)都得以更好地分離。IMF1和IMF3是分解產(chǎn)生的偽分量，IMF6、IMF7和IMF8為平穩(wěn)的分解余項(xiàng)。從CEEMD分解結(jié)果中可以看出IMF4為周期信號(hào)的組成部分，IMF5為調(diào)幅信號(hào)的組成部分，相對(duì)于EMD和EEMD來(lái)說(shuō)，有用的周期信號(hào)和調(diào)幅信號(hào)都得以更好地分離。IMF1和IMF3是分解產(chǎn)生的偽分量，IMF6、IMF7和IMF8為平穩(wěn)的分解余項(xiàng)。從圖VMD分解結(jié)果中可以看出，不管是周期信號(hào)還是調(diào)幅信號(hào)都得到了很好地還原，原始信號(hào)的成分被更好地分解了出來(lái)，說(shuō)明VMD方法具有更好的噪聲魯棒性。

7 結(jié)語(yǔ)

本文基于EMD方法、EEMD方法、CEEMD方法、MEEMD方法和VMD方法對(duì)仿真的噪聲信號(hào)進(jìn)行分析，結(jié)合分解分量的時(shí)域圖可以看出，EMD方法受噪聲干擾較大，有較嚴(yán)重的端點(diǎn)效應(yīng)和模態(tài)混疊效應(yīng)。EEMD方法在一定程度上抑制了EMD方法分解過(guò)程中產(chǎn)生的模態(tài)混疊現(xiàn)象，但因其在分解過(guò)程中添加了白噪聲，導(dǎo)致分解不具有完備性。CEEMD方法因?yàn)樘砑恿顺蓪?duì)符號(hào)相反的白噪聲，重構(gòu)誤差大大減小，但計(jì)算量過(guò)于龐大，并且仍然存在了過(guò)多的偽分量。MEEMD結(jié)合了CEEMD和排列熵算法，相對(duì)于CEEMD能更好的去除分解中產(chǎn)生的偽分量。VMD方法能夠更好地把原始信號(hào)還原，具有更好的噪聲魯棒性。但由于在仿真信號(hào)中信號(hào)的組成層數(shù)已知，所以可以準(zhǔn)確的確定VMD的分解層數(shù)K。但在真實(shí)信號(hào)中VMD分解層數(shù)K值并不知道，所以準(zhǔn)確地選取K值是VMD分解在實(shí)際應(yīng)用中的研究重點(diǎn)。