一題多變在教學中作用

摘 要：本文對一題多變的概念、一題多變的作用進行分析，例如加深對知識的理解起到的作用；使學生更好地區分易錯、易混淆的知識；激發學生學習熱情；促進學生知識系統化；鍛煉學生思維。在此基礎上，希望能夠給高中數學教學人員提供一些借鑒性，使高中教學模式處于積極的發展趨勢中，促進學生思維能力的不斷開發。

關鍵詞：數學；一題多變；教學

高中數學的教學容易陷入題海之中，但在數學的課堂上，問題是不可或缺的元素。在課堂上問題是教學的靈魂、是教學的核心，提出問題和解決問題的能力更是高中生不可缺少的。如何在45分鐘有限的課堂教學過程中更有效地設置問題，充分把高中數學課堂的效率提高？本文就一題多變在這方面所起的一些作用，依據個人在教學中積累的經驗，談一些個人的心得和觀點。

一、 一題多變的概念

一題多變，是通過變換題目中的條件，或更換題目中的數據，或更改題目中要求的或要證明的結論等，把一個問題進行演變，使得原本沒有關系的不同問題，可以同時呈現，可以有機結合在一起。讓學生感受到不同的數學問題之間是相互關聯的，不同數學知識之間是有聯系的。高中數學不是一門簡單地將知識、問題堆砌在一起的學科。把一道問題進行變換后，學生不會處于思維定式的狀態中，思維會處于多元化的發展模式中，學生會用不同的角度對一道題目進行多方位的較全面、更深入思考。最終，促使學生的思維呈現多樣化的發展模式，學生將從固有的思維框架、思維模式中解脫出來，促進學生數學的思維方式的不斷改進，促使學生的整體思維能力獲得較大程度的提升。

二、 一題多變在教學中的優勢

（一） 加深對知識的理解

一題多變具有十分重要的作用，在教師對數學題目進行不斷變化的情況下，能加深學生對數學知識的理解，使學生能較好地掌握各種數學知識。在課堂上進行一題多變的訓練，能夠加深學生對數學知識的理解、加強學生對數學知識的記憶。

講授導數的概念時，有這樣的一個例題：已知函數y=x2+1，求在x∈[1，2]的平均變化率。這個例題可作下面改變：

變式① 已知函數y=x2+1，求這個函數在x0=1附近的平均變化率；

變式② 已知函數y=x2+1，求這個函數在區間[1，1+Δx]平均變化率；

變式③ 已知函數y=x2+1，求這個函數在x0=1處的瞬時變化率。

學生針對不斷變化的問題進行逐步深入的思考，使學生對導數的概念有全面的了解，使學生對此部分知識點進行全面的深化，從而促進學生對導數的概念的全面理解。通過條件不變的前提下，改變出來三個問題，由簡單到復雜，有舊知逐漸向新知過渡，符合學生認知規律，使學生對導數的認識更加深刻。

（二） 促使學生知識體系更系統化

在課堂上進行一題多變的訓練，可以把較分散的數學知識點串聯在一起，把不同的數學知識聯系在一起，有助于學生把紛繁復雜的數學知識形成知識網絡、知識系統。

例如在線性規劃的練習課上，有這樣的一個例題：（2016·全國卷Ⅲ）若x，y滿足約束條件x-y+1≥0，x-2y≤0，x+2y-2≤0，則z=x+y的最大值為 。條件不做改變，所求的可作如下改變：變式① 求z=y-1x+1的最大值；變式② 求z=x2+y2的最大值；變式③ 目標函數z=y-ax（a∈R），若z取最大值時，唯一的最優解為1，12，求實數a的取值范圍。通過對一道線性規劃的高考題的改編，把線性規劃問題中常見的線性目標、斜率目標、距離目標和含參數的線性規劃問題整合在一起，使學生解決這個問題后，明確線性規劃問題中有哪些知識點是要掌握的，使學生線性規劃的知識形成體系。在教師把一道問題進行精心變換的情況下，學生解決這些問題的同時，對這個模塊的數學知識進行了整合，促使學生對模塊知識的消化吸收，從而更加系統地把握這塊數學知識。

（三） 鍛煉學生的思維

把問題進行改造，增加問題的難度，從而使問題更加靈活，使問題更加富有挑戰性，學生要在原問題的基礎上更深入去理解與這個問題有關的數學知識，增加學生思考問題的深度和廣度，使學生在問題解決的同時，拓寬了自己的知識面，開闊了自己的眼界，從而鍛煉了學生的思維。

例如書本上有一道練習：已知點P（-1，2），一條光線經過點P照射到x軸后，反射光線經過點Q（3，5），問光線經過的最短路徑是多少？變式：已知點P（-1，2），一條光線經過點P照射到直線l：y=x后，反射光線經過點Q（3，5），問光線經過的最短路徑是多少。把點關于x軸對稱問題，改變為點關于一般直線對稱問題，使問題更一般化，鍛煉了學生從特殊到一般的思維能力。

原問題：（2016昆明一中月考）點P是拋物線y2=4x上的動點，若點B（3，2），點F是拋物線的焦點，求|PB|+|PF|的最小值。

變式① 點P是拋物線y2=4x上的動點，若點B（3，2），直線l1是拋物線的準線，求點P到準線的距離與|PB|的和的最小值。

變式② 點P是拋物線y2=4x上的動點，若點B（3，2），點F是拋物線的焦點，求|PB|-|PF|的最大值。

變式③ 點P是拋物線y2=4x上的動點，直線l1是拋物線的準線，直線l2：3x-4y+24=0，求點P到直線l1與到直線l2的距離之和的最小值。

把動點到兩定點距離和的最小值的問題，改變為動點到定直線與定點距離之和的最小值的問題，改變為動點到兩定點距離之差的最大值的問題，改變為動點到兩定直線距離之和的最小值問題，問題由簡單逐漸復雜，但都是圍繞著動點有關的距離展開，學生可以通過這些問題感受數學問題中的變與不變，使學生進一步深入理解：“在任意一個三角形中，其中三邊中任意兩邊的和大于第三邊，三邊中任意兩邊的差小于第三邊。”

在數學課堂上把好的題目，經過難度升級，延展有關知識，不僅可以很好鍛煉學生思維，還有助學生更深入理解與之有關的數學知識。

（四） 激發學生解決問題的興趣

興趣是學生的最好老師，課堂上教師如何激發學生探究問題的興趣，吸引他們的注意力？在課堂上設置問題情境時，通過改造問題，讓問題中融入實際生活中元素，使問題更有親切感，拉近問題與學生之間的距離，也可以讓問題增加趣味性元素，使學生可以從不一樣的角度看待問題，從而激發學生解決問題的興趣，更加積極投入課堂學習中。

例如在講授線面垂直概念時，一般通過觀察生活中的圖片，歸納出線與面的位置關系。可改變為設置如下兩個問題：

①請在不同的時間，觀察并記錄學校升旗的旗桿與它在地面上影子的關系，你能得到旗桿與地面有什么關系？

②觀察當我們轉動教室的門，門軸與門框所在的直線是什么關系，你能得到門軸與地面有什么關系？

這兩個問題都是以生活中常見元素為背景，會使學生更認證觀察，從而得到線要與面垂直，要垂直于面上任一條直線。

例如在講授二分法時，可設置如下兩個問題：

①在一個正方形的房間里發現了一只老鼠，請問怎么做能快速地找到老鼠？

②綜藝節目中經常有這樣的游戲：給一個商品，給一個商品價格所在的區間，如何在限定時間內快速猜出商品的價格？

這兩個問題都是以生活為背景，學生通過聯系生活經驗可得到用二分法解決事半功倍。

在數學必修5等比數列前n項和是以這樣一個故事引入：國際象棋起源于古代印度，國王要給象棋的發明者獎賞，問他想要什么獎賞，發明者說：“請在象棋的棋盤的第一個網格里放一粒小麥，在第二個網格里放兩粒小麥，第三個網格里放四粒小麥，依此類推，每一個網格里的小麥的數量是前一個網格的兩倍，直到64個網格全部放完。”問國王是否能滿足這位發明者提出的要求？也可以設置這樣的一個有趣故事：一個大學數學教授經常被一個朋友嘲笑：他教的數學是毫無用處。

一天教授氣不過跟這個朋友打一個賭：教授每一天給他朋友100元，連續給30天；他朋友第一天給教授1角，第二天給2角，第三天給4角，依此類推，以后每一天給的錢的數量是前一天的兩倍。請問教授的朋友可以接受這個賭約嗎？這個賭約中涉及兩種數列的前n和，一個是等差數列，一個是等比數列，通過它們和的強烈反差的對比，吸引學生學習新知識的強烈的求知欲。最終使學生對數學知識的學習能力處于全面提升的狀態中，提升學習的積極性，并喜歡上數學這門科目，積極地投入到數學學習活動中。

（五） 更好區分易錯、易混知識

在講解習題時，有些問題學生經常會犯一些小錯誤，可以通過改變問題，讓學生對錯誤原因有更深刻的理解，掌握好該知識點。

例如有這樣的一道導數的問題：已知函數f（x）=x3-ax-1在（0，1）上單調遞減，求實數a的范圍。可作如下改變：已知函數f（x）=x3-ax-1，單調遞減區間為（0，1），求實數a。

通過原題與變式比較，學生可以更好區分清楚，“在（0，1）上單調遞減”與“單調遞減區間為（0，1）”是不同的概念，后者整個函數只有一個減區間，前者這個區間只是函數的減區間之一或某個減區間的子區間。

含有參數的一元二次不等式的問題是高中數學教學中的難點，學生遇到這樣的問題總是不知道根據什么進行分類討論，如何通過問題向學生展示比較全面的分類討論的方法及依據？有這樣的一個問題：解關于x的不等式x2-ax-2a2<0（a∈R）。可作如下改變：

①解關于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0（a∈R）。

②解不等式x2-x+a<0（a∈R）。

原題可因式分解得到相應方程的兩根，根據兩根的大小關系進行討論；

變式①中二次項的系數是參數a，要對a>0、a=0、a<0進行分類討論；

變式②要根據判別式Δ>0、Δ=0、Δ<0進行分類討論。

通過這三個問題，向學生展示了如何對含參一元二次不等式進行討論，使學生能更好區分不同情況下如何對參數進行討論。

總之，一題多變作為一種常規教學方式，在課堂上運用好了，會提高課堂效率，提升學生學習效果，提升學生讀題、解題能力，培養學生的數學素養。

參考文獻：

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[3]章美瓊.課堂教學中的“一題多變”策略研究[J].亞太教育，2016，11（18）：43-45.

作者簡介：

毛祚欽，福建省福清市，福建省福清第三中學。