計算教學的實踐與思考

摘 要：高質量的計算，對問題的解決至關重要，對揭示問題本質大有裨益。除記憶常用結果之外，合理分析問題，找到合適算法，針對性的提高計算效率。

關鍵詞：計算；整式；算法

計算，是按照一定的規則對數據進行轉換的過程，是數學學習中必不可少的部分。高質量的計算，不但對問題的解決至關重要，對揭示問題本質也大有裨益。所謂高質量，一是算的快，即數據轉換要快，二是算得準，也就是對量的選擇到位，規則使用恰當。為使學生對問題進行又快又準的計算，教師應當充分利用日常的教學素材，結合教學內容，不時加以引導，提煉甚至安排一定的訓練。如此這般，日積月累，不但能拓展知識的適用范圍，更可以提高學生計算興趣，加快運算速度，提升計算水平。

要算的快，首先是要記住一些常見的運算結果，記得越多，計算也越快。就好像有的同學熟記19×19乘法口訣表，無疑比只記9×9乘法口訣表的同學在乘法運算中有更大的優勢。通過數的分類，學生會意識到整數，特別是質數是所有實數的關鍵內核。無論心算，口算，整數是計算的基本元素。而很多速算正是建立在整數速算的基礎之上。所以，如果要提升計算的速度，應當要求學生多記憶一些整數的運算結果。以平方關系為例，如：

（1）平方數：121=112，144=122，…，361=192

（2）勾股數：32+42=52，52+122=132…

（3）斐波那契數列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…

平方數在乘法運算中往往起到“橋梁”的作用，一些運算可以轉化為平方數的計算。比如，借助平方差公式進行轉換，則26×24=（25+1）（25-1）=252-1=624；又如斐波那契數列中每個奇數項的平方都比前后兩項之積少1，這就幫助我們將一些計算轉換到平方數的運算上了。

要算的快，其次是要會從更高的整式運算來看待整數運算。

在完成整式的學習之后，可以列舉一些網紅算法，增加學生計算興趣，加深對計算步驟的理解。

比如對“頭同尾合十”的兩位數乘法

35×35=（3×3+3）×100+5×5=1225

61×69=（6×6+6）×100+1×9=4209

即十位相同的兩位數相乘時，若個位之和為10，則將十位上的兩數相乘后加上頭數，結果作為前兩位（或一位），個位直接相乘作為后兩位（不足兩位十位記0，如上例）。

又如對“尾同頭合十”的兩位數乘法

28×88=（2×8+8）×100+8×8=2464

33×73=（3×7+3）×100+3×3=2409

即個位相同的兩位數相乘時，若十位之和為10，則將十位上的兩數相乘后加上尾數，結果作為前兩位，個位直接相乘作為后兩位。

再比如

96×97=（100-3-4）×100+（100-96）（100-97）=9312

即兩個90～100的兩位數相乘時可采用上述辦法來進行速算。

借助多項式乘法的學習，學生很容易找到如上巧算合理的原因。通過式的學習再回歸數的計算，觀點更高，解法更妙。通過引導，學生在計算時會更自然地從整式角度去看待數的運算。

要算的快，還要會考慮計算量的精簡，也就是上升到算法。在數學中，算法通常是指按照一定規則解決某一類問題的明確和有限的步驟。在正確解決問題的前提下，如何讓運算更為高效，是非常實在而且時髦的問題。

例1 已知一個5次多項式為f（x）=4x5+2x4+3x3+x2+5x+6，請計算這個多項式當x=5時的值。

如果直接把5代入多項式f（x），計算各項的值，然后把它們加起來。這時，即使我們保留低次冪運算的結果，我們至少還要做8次乘法運算，5次加法運算。若借助秦九昭算法，將多項式轉化為f（x）=（（（（4x+2）x+3）x+1）x+5）x+6，按照從內到外的順序，依次計算當x=5的值，我們一共做了5次乘法，5次加法。很明顯，當我們改變計算次序后，計算效率得到了提升。

例2 甲乙丙丁4個人和一只猴子來到一個島上，他們看到一堆椰子，于是4個人便平分了這堆椰子，恰好多出1個給了猴子。晚上，甲起來把他自己的那份給吃了，把剩下的3份又平均分成4份，又把多出的1個給了猴子；之后乙也起來把屬于他的那份吃了，也把剩下的3份分成4份，也多出1個給了猴子；后面丙丁也都起來依次做了相同的事，每次都剩1個給猴子，請問這堆椰子最少有多少個？

這類問題實質上是給出函數f（x）=px+q，通過分析f（f（f（f（f（x）））））的解析式特征，求得滿足要求的最小整數問題。在復合次數比較高時，直接代入就會顯得麻煩。面對多次迭代，我們可以考慮將式子變形為f（x）=p（x+u）-u，其中u為方程pu-u=q的解。如此變形之后，因為式子中的u前后相消，迭代并不會帶來更多的項，從而能夠簡化運算，讓計算結果的特征更為明顯。通過這一算法的改變，計算變得更為快捷。

平時還有很多問題，值得我們引導學生去思考更好的算法。如在求兩個整數的最大公約數問題上，可以讓學生依據具體的問題，比對是采用輾轉相除法（歐幾里得算法）快些還是更相減損術更快一些。

要算得準，需要學生正確理解問題，找到問題關鍵，去粗取精，化繁為簡。

例3 已知鹽水若干千克，第一次加入一定量的水后，鹽水濃度變為6%，第二次加入同樣多的水后，鹽水濃度變為4%，則第三次再加入同樣多的水后鹽水濃度為 。

這個問題我們可以借助式子來分析。將兩種不同濃度的同種溶液（濃度分別為a、b，質量分別為A、B）混合，得到的混合溶液濃度為r=（Aa+Bb）/（A+B），化簡得（r-b）/（a-r）=A/B，即將混合前兩種溶液的濃度和混合后的濃度交叉做差后得到的比值與這兩種溶液的質量之比相等（計算過程可以借助十字相乘法操作）。所以視水為0%濃度的溶液，6%的溶液與一次加入的水質量之比為（4%-0%）∶（6%-4%）=2∶1，即每2+1=3份濃度為4%的溶液加入1份水，濃度變為4%×3÷（3+1）=3%。

該問題的解決，借助濃度定義，找到了濃度變化關系，回避了原有溶液質量的假設，直接對關鍵的濃度進行計算，很快得到了答案，可謂去粗取精。

計算直接關系到學生對數學知識的掌握，關系到學生解題速度和正確率。教師在日常教學中，對學生計算能力的培養，應當注意以下幾點。第一是要長期堅持。計算對許多人來講，都是一個難題，過程馬虎，錯誤率高。特別是對剛進初中的學生，隨著數系的擴大，僅僅因為不熟練就導致諸如抄寫錯誤等情況時有發生。好的計算習慣的養成，是一個長期的，漸進的，反復的過程，教師要多鼓勵學生，師生共同堅持才能成功。第二是要循序漸進，不求立竿見影。如前文所提，剛開始學生能嘗試著把一些常見的計算結果記住就相當不錯。隨著學習的深入，才能有意識地將一些計算轉化為熟悉的運算，從而提高運算速度。隨著接觸到的方法越來越多，才能逐步了解不同算法背后的內在邏輯，體會各種算法的精妙所在。學無止境，計算也是如此。第三是要反復滲透。操千曲而后曉聲，觀千劍而后識器。中學教學中，有各種各樣的例題、練習題呈現，無一不用到計算。方法是手段，思想是靈魂。源于問題而又高于問題的算法思考是一種隱性的數學知識，需要在長期的數學學習過程當中感悟和積累。教師的適時點播，一來能對學生產生潛移默化的影響，二來會起到醍醐灌頂的作用，激起學生思維的漣漪，起到一語驚醒夢中人的效果。

《義務教育數學課程標準》（2011年版）要求學生掌握好相關的數學知識與技能。計算就是基本技能之一。進入信息時代之后，大家越來越重視數據。有了數據，還要依靠計算。“云計算”越來越深刻地改變著我們的世界。提高學生的計算能力，即是數學教學的目標也是時代的要求。而我們的中學教材，也提供了提升計算的不少素材。只要多挖掘，多引導，適當的計算教學有助于拓寬學生的解題思路，有助于學生認識問題條件和結論的內在聯系和本質，也有助于提升學生的數學素養。

愛因斯坦有句名言：“美，本質上終究是簡單性。”學生在對計算追求簡化的過程中，會發現一些奇妙的規律。在不同的問題中，計算形式多種多樣，紛繁復雜，如果能引導學生從更高的觀點，從差異中看到統一，從通性通法中發現特例，不僅能提升解題的能力，更能從中體驗數學之美，計算之美。

參考文獻：

[1]涂子沛.數據之巔：大數據革命，歷史、現實與未來[M].北京：中信出版社.

[2]普通高中課程標準實驗教科書，數學3[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]2014中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（201年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

作者簡介：

徐羽，浙江省杭州市，浙江體育職業技術學院。