隨機事件相互獨立和兩兩獨立性的探究

劉淑環

（中國政法大學科學技術教學部，北京102249）

1 引言

隨機事件相互獨立與兩兩獨立是概率論中非常重要的概念。對這兩個概念的理解，容易出現一些困惑。例如，事件相互獨立是不是事件之間發生沒有影響？事件相互獨立的本質是什么？多個事件相互獨立與兩兩獨立有區別嗎？等等。本文將通過具體實例對這些問題進行探究。

2 事件相互獨立的本質

定義1：設A和B是任意兩個隨機事件，如果有P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A和B相互獨立，簡稱獨立。否則就稱不獨立或相依[1]。

關于事件獨立性判斷，一般都以直覺判斷為先導。例如，在可靠性理論中，人們總會假設系統各個元件的工作是相互獨立的；又如，一枚骰子擲兩次，則每次出現6點的結果是相互獨立的；再如，彩票問題中，每次搖獎的過程也是相互獨立的。這些獨立性可以直接憑直觀就可以判斷。情況復雜則輔以定義1方法進行縝密計算。

直覺上，人們通常會認為：事件A與B相互獨立，是指事件A發生或不發生對B發生或不發生沒有影響。但這種直覺是否正確？如何刻畫獨立的這種“沒有影響”？通過下面實例進行分析。

例1：擲一枚硬幣2次，觀察正反面情況，樣本空間為：

{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}

以A記“第一次出現正面”，以B記“第二次出現正面”。顯然，事件A和B獨立。但A、B發生與否相互沒有影響嗎？

從事件關系看：B發生，有A|B={（正，正）}；B沒發生，有A|={（正，反）}。同樣，A發生，有B|A={（正，正）}，A沒發生，有B|={（反，正）}。可見，B發生與否對A都產生了影響，A發生與否也都對B產生了影響。因此，人們認為的“事件之間發生與否沒有影響”并不是“事件相互獨立”的本質特征。

從概率角度來看：無論B發生與否，都有P（A|B）=P（A|）；無論 A 發生與否，都有 P（B|A）=P（B/A）。這才是事件獨立的本質，即“事件A與B發生相互不影響”等價于“P（A|B）=P（A）”。因此，事件相互獨立并非指事件結果相互不影響，而是指“事件在發生可能性（概率）上相互沒有影響”。

3 事件相互獨立和樣本空間的關系

在不同的樣本空間，隨機事件相互獨立性的表現可能完全不同，看下面實例。

例2：從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，以A記“抽到K”，以B記“抽到黑桃”，AB為“抽到黑桃K”。則：

P（A）=4/52=1/13，P（B）=13/52=1/4，P（AB）=1/52

可見P（AB）=P（A）P（B），故事件A、B獨立。

但若將例2改為“從一副含有大小王的撲克牌中任取一張”，A和B仍如上所記，則P（A）=4/54，P（B）=13/54，P（AB）=1/54，這里P（AB）≠P（A）P（B），說明事件A、B不獨立。因此，在判斷事件是否獨立時，一定要明確這些事件所在的樣本空間。

例3：有三個小孩的家庭中，由性別構成的樣本空間有8種等可能情況，以b表示男孩，以g表示女孩，則樣本空間為：

Ω={bbb，bbg，bgb，gbb，bgg，gbg，ggb，ggg}

以A記“家中男女孩都有”，以B記“家中至多一個男孩”，則AB即表示“家中只有一個男孩”。則P（A）=6/8，P（B）=4/8，P（AB）=3/8。顯然，P（AB）=P（A）P（B），所以，A與B相互獨立。

但例3 中，若家庭有兩個小孩，樣本空間只含有4 種等可能情況，即 Ω={bb，bg，gb，gg}。A和B仍如上所記，則P（A）=2/4，P（B）=3/4，P（AB）=2/4。顯然P（AB）≠P（A）P（B），所以，此時事件A與B 相互不獨立。

因此，在判斷事件是否獨立時，一定要明確這些事件所在的樣本空間。

4 多個事件相互獨立與兩兩獨立的區別

定義2：設任意三個事件A、B、C，如果有：

P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），則稱A、B、C兩兩獨立。若還有P（ABC）=P（A）P（B）P（C），稱A、B、C相互獨立。

定義2給出了三個事件相互獨立要滿足的四個條件，且事件相互獨立并不等價于事件兩兩獨立。由事件相互獨立可推出兩兩獨立，但由事件兩兩獨立不能保證相互獨立。這點學生理解稍有困難，下面兩個實例可答疑解惑。

例4：從3、4、5、60 中隨機選出一數，以A記“該數是3的倍數”，以B記“該數是4的倍數”，以C記“該數是5的倍數”。則有：P（A）=P（B）=P（C）=2/4=1/2，且P（AB）=P（AC）=P（BC）=1/4，P（ABC）=1/4。

顯然，P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），故事件A、B、C兩兩獨立。但P（ABC）=1/4≠1/8=P（A）P（B）P（C），所以事件A、B、C相互不獨立。

該例說明，三個事件兩兩獨立，并不能保證P（ABC）=P（A）P（B）P（C）一定成立。

例 5：從 1、2、3、4、5、6、7、8 中隨機抽選一數，以A記{1，2，3，4}，以B記{1，3，4，5}，以C記{1，6，7，8}。則有：

P（A）=P（B）=P（C）=4/8=1/2；

P（AB）=2/8=1/4，P（AC）=1/8，P（BC）=1/8；且P（ABC）=1/8

顯然有P（ABC）=P（A）P（B）P（C），但P（AC）≠P（A）P（C），P（BC）≠P（B）P（C）。

該例說明，即使P（ABC）=P（A）P（B）P（C），也不能保證事件兩兩獨立。

基于以上的分析，便不難理解“三個以上事件相互獨立，要保證其中任意部分的事件都要相互獨立”的下述定義：

定義 3：設n個事件A1，A2，……，An，對任意的 1≤i＜j＜k＜…≤n，如果以下等式均成立

由定義3可知，n個事件相互獨立，則其中任意一部分內的事件仍相互獨立，且任意一部分與另一部分也相互獨立。自然的，n個事件相互獨立，則其中任意兩個事件必然兩兩獨立。而n個事件若相互獨立，則必須要保證定義3中的2n-n-1個等式同時成立，只要有一個等式不成立，n個事件就不相互獨立。