《求解階乘非零位的值》教學案例

林文英

信息技術的變革不斷更新著人們的交互方式，大數據時代應該怎樣培養學生的信息素養？學生學習信息技術這門課程之后應具備什么樣的能力呢？這些都是值得信息技術教師思考的問題。筆者認為，要解決這些問題，必須讓學生主動參與課堂，讓實踐在課堂真實發生，讓學生在課堂實踐中培養具有學科特點的必備品格和能用計算思維解決問題的能力。計算機思維是個體運用計算機科學領域的思想方法，在形成問題解決方案的過程中產生的一系列思維活動。項目教學法（Project-learning）是師生通過共同實施一個完整的項目工作而進行的教學活動，突出實踐在課程中的主體地位，使理論從屬于實踐，在實踐中獲得知識、技能，又讓學生學會應用能力。這里以階乘的項目教學為案例，闡述數據如何改變思維，計算思維如何走進課堂并真實發生。

● 活動一：理解問題中的關鍵詞

高一學生已經具備了網絡信息檢索的關鍵技能，能初步完成對題目中的關鍵概念的探究活動。在活動中，教師充分引導學生利用數字化工具完成概念（階乘）的學習，通過進一步探究階乘概念形成抽象建模意識。階乘是指從1乘以2乘以3乘以4一直到所要求的數。一個正整數的階乘是所有小于及等于該數的正整數的積，并且0的階乘為1。自然數n的階乘寫作n！，轉化為數據表示為n*（n-1）*（n-2）*（n-3）*…3*2*1，抽象成模型遞歸式即0！=1，n！=（n-1）！×n。

● 活動二：利用計算器分析數據

N的取值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20……50000000。本題（如上圖）中的N值不是一個固定值，學生在理解了階乘概念之后依然有點無從下手，因為不知道這里的N值會是多少。教師接著引導學生嘗試利用計算器對前20個數據進行處理并觀察分析數據：0！=1，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720，7！=5040，8！=40320，9！=362880，10！=3628800，11！=39916800，12！=479001600，13！=6227020800，14！=87178291200，15！=1307674368000，16！=20922789888000，17！=355687428096000，18！=6402373705728000，19！=121645100408832000，20！=2432902008176640000。嘗試1到20之后讓學生對數據結果進行分析。學生從枚舉出來的數據中發現特征：（1）除了0和1以外，其他的數據都是偶數。（2）逢N值的末位數為5時，階乘結果末尾0的個數增加1個。（3）數據成長得很快，20的階乘值已經是一個18位的數據，當N=50000000時呢？（4）計算器有位數限制，想通過人工和計算器求解的學生遇到瓶頸。

● 探究一：利用計算機編程求解問題

學生對數據初步分析、類比之后，順利地轉向尋求計算思維解決問題：先分析階乘問題的特征，抽象建立結構模型0！=1，n！=（n-1）！，再用計算機程序設計語言實現算法。學生根據已有的程序設計基礎，設計問題求解方案，為保證取得的末位是非零位，遇有零位的要去零位，即采用取余運算，對每個數i進行累乘，對乘積s只保留最后一位。

學生A根據這一思路編程求解，但在評測時只能拿到29分，為什么呢？因為當s的末位數是2、i末位數是5時會有進位，如果只取一位最右非零余數會影響最終的非零取值，如s=92，i=95，92*95=8740末位數是4，而不是2*95=190中的9。學生A按照這個思路繼續改進程序，但結果全部是錯誤答案，又是為什么呢？程序中考慮了進位的保留問題，但最后輸出結果保留了最右邊七位非零數。學生B采用函數的結構化程序設計思路，先求結果再取第一個非零數，但同樣沒有滿分。問題在于求解階乘時由于數據是爆炸式增長，定義int或者long數據類型容易溢出。學生小組繼續修改完善程序，一方面考慮到溢出問題，另一方面考慮到進位問題，在不斷的嘗試中發現，在保留位增加到8位時能通過全部測試數據。為什么是8位呢？因為數據N最大值是50000000，末尾零不會影響最終結果，每次乘法運算后可以進行去0操作。

● 探究二：優化算法求解問題

學生將計算思維實現問題求解運用到本項目收集信息、觀察數據、設計求解方案一步步優化的實施過程中。根據學生發現的特征做出何時可以模10取非零末位數的判斷，即乘法運算中只有在乘數的末位出現5時才會進位影響結果，末位為其他數據時不影響結果。由于5*2=10，嘗試去掉因子5，再去掉相同個數的因子2就可以去掉一個末位0，又因2的個數比5的個數多，去0后的乘積數一定是偶數，那么，末位非零數只能取2，4，6，8這個四個數字中的一個。在除去末位2時也需要注意到結果一定是偶數，所以當末位數為2時直接將末位借位除2轉變為6，末位數為6時轉變為8，其他的正常除2，編寫的程序代碼順利通過所有測試點。教師再次引導學生繼續思維優化法，構造計算模型求解，分析非零位為偶數的有2，4，6，8四個數字，2/2=1為奇數，為保證末位為偶數，2借位除2得6，4/2=2，而6/2=3，6借位后除2得8，8/2=4，假設6在數組第一個元素，8在第三個元素，2在第二個位置，4在第四個位置，此時通過元素除2做下標可以有規律表示元素，于是初始化數組b為{6，2，8，4}，去2操作轉換為a=b[a/2]，a為正解。也可以利用計算思維構造數組，根據數據規律可以發現四個一循環，模4也可以求得正解。

● 應用拓展：階乘知識的遷移

階乘主要應用在排列組合數的求解中，在現實生活中有啥用途？用偶然性方法去解決確定性計算，如果你想買一種彩票32選7的，你想知道中特等獎的概率1/C（32，7）=7！*（32-7）！/32！，求階乘可用計算機求解。學生掌握數字化工具獲取信息，能用計算思維方式思考問題求解方法并遷移到實際生活和學習中，激發繼續學習的內驅力，強化信息意識和社會責任感。

● 教學評價

項目評價時采用多元評價方式，將互評、自評等多種方式相結合。在活動一中希望達成認識數字化表示信息的優勢和能夠根據需求選擇適當的數字化工具獲取信息的目標，評價主要依據學生獲取概念的時間和結果等信息；在活動二中希望達成提取問題的基本特征，分析數據進行抽象處理，并用形式化的方法表述問題的活動目標，主要對學生的數據呈現、觀察結果、提出的設想等數據處理能力進行評價；在探究一中希望達成使用編程語言，進行模塊化、系統化設計算法解決問題的目標，對學生的算法設計、程序編寫以及問題解決情況、活動中參與討論的情況進行評價；在探究二中希望達成采用恰當的方法迭代優化解決方案的目標，引導學生從創意性、可行性等方面進行調適和改進，對完成程序作品開展成果交流評價；在應用拓展模塊希望學生達成將所學知識和方法遷移到學習和生活的其他相關問題的解決過程中的目標。

通過人機交互完成輸入和輸出，程序求解過程類似黑箱操作，問題的人工求解轉化為只需輸入便能快速得出結果的計算機求解。活動二讓學生參與對數據的分析觀察，并對觀察結果提出假設，在數據的作用下循序漸進地挖掘問題的本質，轉變學生思考問題的方式，綜合運用數據學習理論和數據處理工具將人工解題轉化為計算機解題，讓計算思維走進課堂教學。探究一和探究二采用計算機科學領域的思想方法界定問題，抽象問題特征，建立結構模型，判斷、分析、類比各種信息資源，運用合理的算法形成解決問題的方案，這一系列思維過程實現了“數據改變思維，計算走進課堂”的項目核心目標。在評價過程中，用成長型思維評價學生，結合學生的日常學習表現、知識與技能的掌握情況，以及是否經過努力可達成目標全面評價學生學科核心素養水平。

參考文獻：

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