專題引領 提升素養 打造數學復習課新常態
——高三微專題復習課“用導數研究切線問題”

☉四川省南充龍門中學 蔣 敏

高三數學復習時間緊，知識容量大，課堂沉悶無趣，使很多學生感到枯燥乏味，無所適從！教師更是感到事倍功半，力不從心！如何提高學生在高三復習課上的學習興趣和學習效率？一直是困擾著教師的難題.如何結合高中數學的學科特點，打造高三數學復習課的高效課堂操作模式呢？

專題模塊復習法，即“微專題”復習法應運而生！它是指授課教師根據學情需要選取一個微型專題，從其涉及到的相關數學知識，基本原理和知識背景作為切入點，通過歸類整合、精選例題、強化變式，使知識運用提檔升級，螺旋上升，達到突出重點、突破難點，糾正疑點的目的.在高三數學復習的過程中，微專題復習是被經常采用的以小博大、見微知著的高效手段！下面以“用導數研究切線問題”為例，再現曲切聯袂的精彩演繹！

一、基本知識回顧

1.導數的幾何意義

函數y=f（x）在點P（x0，y0）處的導數f′（x0），表示函數y=f（x）在x=x0處的瞬時變化率，導數f′（x0）的幾何意義就是函數y=f（x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率，其切線方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）.

2.利用導數的幾何意義求曲線的切線方程的步驟

求已知曲線在某點處的切線方程，是考查導數的幾何意義的常見模式，有時題目未給出切點信息，只提到切線經過某點，此時往往需要先設出切點，以切點的橫坐標為未知量，進行恰當反解.

①求出函數y=f（x）在切點P（x0，y0）處的導數；

②根據切點和斜率，求出切線方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）.特別地，當曲線y=f（x）在點P（x0，y0）處的切線垂直于x軸時（此時切線斜率不存在，即導數不存在），切線方程為x=x0.

當切點坐標不明確時，就應先設出切點坐標，再用直接法列式求解.

二、微專題復習的幾個視角

1.求“在曲線上某一點處”的切線方程，意味著該點為切點

例1（2018年全國卷Ⅰ，文6理5）設函數f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若f（x）為奇函數，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為（ ）.

解析：因為f（x）=x3+（a-1）x2+ax為奇函數，所以a-1=0，即a=1，此時f（x）=x3+x，所以f′（x）=3x2+1，曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線的斜率為k=f′（0）=1，因此切線方程為y=x.

故選D.

評注：從函數的奇偶性入手，通過對函數解析式的結構再審視，可以得出偶次項系數為0，從而求出參數a的值.求在點（0，0）處的切線，暗示著（0，0）為切點，按部就班即可得出切線方程.

變式：已知函數y=f（x）的圖像在點M（1，f（1））處的切線方程是x-2y+6=0，那么f（1）+f′（1）=______.

解析：點M（1，（f1））滿足x-2y+6=0得，而f（′1）是切線的斜率，即，所以（f1）+f（′1）=4.

2.求“過某一點”與曲線相切的切線方程

例2已知函數（fx）=x2，求經過點且與曲線f（x）相切的直線l的方程.

解析：設切點P（x0，y0），f（′x0）=2x0，過點的切線l的方程是

因為切點在切線l上，則

又切點在函數f（x）=x2圖像上，則

聯立（1）（2）解得x0=2或x0=3.

當x0=2時，切線方程是：4x-y-4=0；當x0=3時，切線方程是6x-y-9=0.綜上所述，所求切線方程是4x-y-4=0或6x-y-9=0.評注：對于曲線y=f（x）上“過”點（m，n）的切線問題，一般的解題步驟為：

①先設切點為（x0，y0），利用點（m，n）和導數，寫出切線的點斜式方程y-n=f′（x0）（x-m）；

變式：已知曲線曲線過點（2，4）的切線方程為______.

解析：設切點為M（x0，y0），切線的斜率為k=y′|x=x0=x02，

故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.

3.求曲線上“任意一點處”的切線傾斜角（或斜率）的取值范圍

例3設點P是曲線上的任意一點，則曲線在點P處的切線的傾斜角α的取值范圍為______.

解析：求導可得，于是切線的斜率所以切線的傾斜角α的取值范圍是

評注：函數在某點處的導數，就是以該點為切點的切線斜率，而斜率等于傾斜角的正切，因此求傾斜角的范圍，則需要求出導數的取值范圍，但不能僅僅看斜率的正負符號，就簡單機械地得出傾斜角的范圍，正負符號問題，僅僅是判斷角所在的象限.具體范圍要結合斜率和傾斜角變化的對應情況來做出判斷.

變式：已知點P在曲線上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是______.

解析：

4.求過一點與曲線相切的直線的條數

例4已知函數f（x）=2x3-3x，若過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍.

解析：設過點P（1，t）的直線與曲線y=f（x）相切于點（x0，y0），則y0=2x03-3x0，且切線的斜率為k=6x02-3，故切線方程為y-t=（6x02-3）（x-1），因此y0-t=（6x02-3）（x0-1），整理得4x03-6x02+t+3=0.

設g（x）=4x3-6x2+t+3，則“過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切”等價于“方程g（x）=0有3個不同的根”.令g′（x）=0，得x2-x=0，解得兩極值點x1=0，x2=1，

因此要使g（x）=0有3個不同的根，需滿足g（0）g（1）=（t+3）（t+1）<0，即-3

評注：一般地，直線和曲線相切，不同的切點對應著不同的切線.于是，判斷切線的條數，也就是判斷切點的個數，即判斷關于x0的方程的根的個數.

變式：已知曲線C：y=x4-2x2及點M（1，-1），則過點M向曲線C可引切線的條數為______.

解析：設切點（x0，y0），滿足，解得或1，因此曲線C的切點有三個，而當切點為（-1，-1）和M（1，-1）時，切線斜率都為0，是同一條切線，因此過點M向曲線C可引切線的條數為2.

三、結束語

微專題教學法的運用，可以彌補常規教學的局限，從而實現高效的課堂教學.在復習基礎知識的同時，幫助學生完善知識結構體系，對重點知識進行“編碼”“再加工”，進而夯實解決問題的能力，提升數學學科核心素養.

微專題探究，四兩撥千斤！“微”只是表現形式，“專”才是其核心本質.在高三數學復習課中，采取靈活多變、高效可行的微專題形式，對于學生回顧基礎知識，強化專題探究，提升學科核心素養，有著積極的重要作用.在數學高考復習中，學生是主力軍，教師是領航人，課堂是主陣地.作為教師，要善于引導學生利用微專題進行復習，打造數學復習課的新常態，從而把握教學規律，達到事半功倍的效果，引領學生解一題、會一類、通一片.F