轉(zhuǎn)化與化歸思想的妙用

☉河南省固始慈濟(jì)高中 陳建啟

☉河南省固始慈濟(jì)高中 李曉艷

轉(zhuǎn)化與化歸思想作為一種最基本的數(shù)學(xué)思想方法，已在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到了普遍應(yīng)用，其精髓在于利用化繁為簡、化難為易、化未知為已知等方法，將尚未解決的問題通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個(gè)已為人們所熟知的具有既定方法或程序的問題，最終使問題得到解決的一種思想方法.

在日常的教學(xué)中，很多老師會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生都能聽懂老師所講的內(nèi)容，但在自己做題時(shí)卻總是沒有思路或者沒有很合適的方法，究其原因，主要是因?yàn)橥瑢W(xué)們在做題時(shí)不能很好地應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，不會(huì)把題目中的問題轉(zhuǎn)化為我們已知的、熟悉的、簡單的問題.下面我們通過幾個(gè)例子來談?wù)劇稗D(zhuǎn)化與化歸思想”的妙用.

例1已知x+y+z=10，x，y，z∈N，則該方程有多少組解？

解析：本題可用分類討論思想來處理，但情況太多，討論起來太麻煩，也容易出錯(cuò)，如果我們使用轉(zhuǎn)化與化歸思想，把題目轉(zhuǎn)化成下面一個(gè)我們熟悉的問題來處理就方便多了.

假設(shè)有10個(gè)相同的小球，現(xiàn)將其放入3個(gè)不同的盒子中，共有多少種放法？

解析：如果將10個(gè)小球分為3組，則需要用2個(gè)隔板將其隔開，現(xiàn)將2個(gè)隔板和10個(gè)小球合在一起共有12個(gè)元素，需要12個(gè)位置，從這12個(gè)位置中選2個(gè)位置放上隔板，就可以把10個(gè)小球分為3組了，故有種放法.

所以，通過轉(zhuǎn)化可得，原方程共有66組解.

注：排列組合中的很多問題都可以用轉(zhuǎn)化與化歸思想來解決，把問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型，如：相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊元素優(yōu)先法、分排排列直排法、分組分類問題先分組再分類等，我們只要記住一個(gè)例子，舉一反三，就可以解決一類問題.

例2判斷下面說法是否正確，并說明理由：

定義在R上的函數(shù)f（x），其圖像是連續(xù)不斷的，如果f（x+2）=2f（x），則y=f（x）至少有一個(gè)零點(diǎn).

解析：該說法錯(cuò)誤，但在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)認(rèn)為沒有函數(shù)解析式，無從下手，判斷不出來.如果我們換一個(gè)角度思考，要想說明一個(gè)問題是錯(cuò)誤的，只需要能舉出反例即可，那么怎么舉反例呢？

我們注意觀察式子f（x+2）=2f（x），看著很熟悉，類似于數(shù)列中的遞推關(guān)系式an+2=2an.符合等比數(shù)列的特征，不妨取，則，轉(zhuǎn)化為函數(shù)該函數(shù)滿足f（x+2）=2f（x）.我們知道，此函數(shù)無零點(diǎn)，因此題中說法錯(cuò)誤.

注：關(guān)于抽象函數(shù)的判斷對(duì)錯(cuò)問題，我們可以通過構(gòu)造函數(shù)，舉例驗(yàn)證來解決，例如涉及周期性和對(duì)稱性的問題，我們經(jīng)常類比三角函數(shù)，符合f（x+y）=f（x）+f（y）可以類比指數(shù)函數(shù)，符合f（xy）=f（x）+f（y）可以類比對(duì)數(shù)函數(shù)，這樣轉(zhuǎn)化往往可以快速解決問題.

例3求的最小值.

解析：此題使用常規(guī)的方法無法求解，通過轉(zhuǎn)化可以類比兩點(diǎn)間距離公式來做.

因?yàn)锳B和x軸有交點(diǎn)，所以P為AB和x軸的交點(diǎn)時(shí)有最小值，

注：很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題，然后利用數(shù)形結(jié)合思想來解決，借助圖形看起來也更直觀易懂.常見的有兩個(gè)含有根式的和的問題可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離的形式可以轉(zhuǎn)化為直線的斜率問題；給出一個(gè)不等式組求另一個(gè)式子的范圍，可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題等等.

轉(zhuǎn)化與化歸思想已滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)，并且起到橋梁的作用，使深不可測的數(shù)學(xué)知識(shí)“規(guī)律化”.同學(xué)們只要善于利用轉(zhuǎn)化思想，善于總結(jié)規(guī)律，就能做到觸類旁通，舉一反三，更好地解決那些看似復(fù)雜的問題，以達(dá)到事半功倍的效果.F