幾何畫板在高中數學教學中的應用

☉甘肅省高臺縣第一中學 段 會

幾何畫板是一種有效的教學軟件，在幾何畫板中利用一些操作，能夠將數學所需要的教學環境提供出來.因為它操作起來非常簡單，所以教師只要把一定的技巧掌握了，就可以在短時間內把和課堂教學內容有關的教學課件制作出來，進而有助于學生更好的理解幾何知識.在傳統教學的過程中，高中教師在對幾何進行教學的時候，通常會利用黑板畫圖來幫助他們教學，這會花費很多時間與精力，而且圖形的效果也不太好.［1］在教學中將多媒體技術引進之后，能夠利用Word和PPT等辦公軟件把相關圖形粘貼出來，讓學生進行學習，可是仍會有一些弊端的.出現了幾何畫板軟件之后，教師就能夠輕松地將平面解析幾何圖形、中垂線等畫出來，進而讓教學課件的質量更高.與此同時，幾何畫板還可以將動態圖形創作出來，從而達到數學教學所需.教師能夠利用幾何畫板軟件，給學生把旋轉、點線面的平移等動態變化過程展示出來，使幾何知識中的圖形問題能更直觀地呈現出來.

一、幾何畫板在數學概念教學中的應用

數學概念是高中數學知識體系中的重點內容，也是非常枯燥的內容，在傳統的教學模式下，由于教學形式比較單一，因此，很容易引發學生的學習乏味感.數學概念的教學過程卻是一個曲折的過程，無法一步到位，這就要求教師要在學生“學”的出發點上，通過幾何畫板把概念自然而然的呈現出來，使學生在理解數學概念時能夠花費更少的時間，從而有助于學生進行數學探究.

例如，“函數”不但是一個非常重要的概念，還是高中數學里重要的教學內容，與此同時還是在高中階段對學生進行素質教育的一種主要素材.函數有兩種表達方法——圖像和解析式，通常情況下，這兩者需要相互對比（如，對函數的單調性進行分析、討論方程的解是什么等）.想要在處理與數形結合有關的問題上更加高效，在以前傳統的函數教學中，大多數時候是教師用手工的方式來繪圖，可是手工繪圖往往比較耗費時間，無法精確繪制；相反幾何畫板就可以高效快捷地將教學所需的圖形展示出來，能夠解決這些缺點，進而提高了課堂教學效率和教學質量，從而得到更好的教學成效.

1.化靜態為動態，避免概念教學的突兀性

在初中階段里的三角函數不是動態的，學習的是直角三角形邊與角的關系，利用邊的比值把角的大小反映出來，并非是從函數的角度進行認識.想要把變量之間互相依存的關系找出來，就可以聯想到任意角都是一個終邊在反復的做圓周運動，幾何圖形里的圓就是它的基礎.［2］

教學時，借助幾何畫板輔助教學能夠有效地避免三角函數這一概念教學的突兀性.在利用終邊上點的坐標將任意角的三角函數式表示出來時，可以把一個任意角（第一象限角）在直角坐標系上畫出來，第一步，把這個角取為銳角，如此一來，就能夠通過初中所學的概念得到數量（角度）和數量（邊的比值）的變化關系，就能夠在終邊上把任一點P（xP，yP）取出來，并且能作出過點P與x軸垂直的直線.

2.化抽象為直觀，揭示概念生成的過程性

通常來說，數學概念是很抽象的，如果可以把事物的具體形象作為出發點，便能夠把抽象轉變成直觀，從而揭示概念生成的過程性.

例如，任意角的三角函數研究的就是一個實數集和另一個實數集相對應的關系，也就是一個通過角弧度數組成的集合到角終邊和單位圓交點的坐標亦或者它的比值所組成的集合的相對應關系.當終邊位于第一象限的時候，能夠通過終邊和單位圓的交點坐標包括它的比值將三角函數表示出來.要是終邊落在了其他象限呢？就找不到直角三角形了，就無法通過邊的比值去定義三角函數了，可是無論終邊落在哪個象限里，終邊上的點（和單位圓相交的點）始終存在.把終邊在直角坐標系里的位置移動，要是α是銳角，這個定義和初中定義是一樣的（把對邊，鄰邊，斜邊的所在指出來）；要是α并非銳角，還是可以把三角函數找出來（幾何畫板里顯示三角函數的值和坐標的關系），由此可知，如果存在角，就一定存在終邊，終邊就一定和單位圓有它的交點P（xP，yP），進而就一定可以把三角函數值算出來.通過上述分析能夠把任意角的三角函數定義出來.

二、幾何畫板在平面幾何教學中的應用

平面幾何是高中數學教學中的重要內容之一，借助幾何畫板能夠有效地對平面幾何的教學進行優化，進而促進學生的高效化學習.［3］

1.借助幾何畫板呈現點的軌跡

在平面幾何問題中，求解點的軌跡便是其主要的解題內容，求解點的軌跡主要有以下幾個步驟：第一步，通過已知條件，將直角坐標系構建出來；第二步，在軌跡上任取一點，把這個點的坐標設出來；第三步，把有關的恒等式列出來；第四步，對恒等式進行化解，把問題要求的軌跡方程求出來.學生通常對平面曲線轉化為數的這類數學題的理解感到困難，若利用了幾何畫板，則可將這個問題很好的解決了.

例如，一位教師在對“求拋物線標準方程”這一內容進行教學時，就利用幾何畫板將定直線上的定點找出來并移動它們，同時對定點和點在運動過程中畫出來的軌跡（即問題里要求的拋物線）進行追蹤.此時，引導學生對拋物線上的定點這個特殊點進行分析，進而成功構建出直角坐標系，并把相應的對稱軸找到，再利用拋物線的數學定理將拋物線的標準方程求出來.

這樣的教學不但有利于學生靈活地把握知識發展的每個環節，還可以使學生的學習熱情變得更高，分析能力變得更強，從而培養出他們的解題能力和數學素養.要想把幾何畫板在平面幾何教學里的價值充分發揮出來，教師就必須反復研究、不斷探索幾何畫板，并在這個過程中，掌握幾何畫板的特點，把幾何畫板的優勢最大化，以此來不斷完善它的功能.

2.借助幾何畫板呈現點的曲線方程

通過已知條件，將合適的坐標系選出來，利用數和形之間的相互對應關系，把表示平面曲線的方程求出來是平面解析幾何的方法和基本理念.因為在曲線里，不同幾何量會被很多因素直接影響進而發生一系列的變化，讓點與線按照各自不同的方法來運動.曲線和方程互相對應的關系是比較抽象的，學生在學習時，會覺得理解和掌握起來很困難.因此，在對解析幾何進行教學時，極為重要的一點是要把幾何圖形自身的變形和運動軌跡的所有過程體現出來.在對解析幾何進行教學時就可以利用幾何畫板強大的圖形圖像性能和運算性能.如它能夠將不同形式的方程運算出來；能夠及時跟進動態的對象，還可以把這個對象的“軌跡”呈現出來.

例如，一位教師在對“橢圓定義”進行教學時，第一步把線段AB的長確定成一個“定值”，在它上面將點E取出來，第二步分別作出以F1為圓心、AE的長為半徑和以F2為圓心、AE的長為半徑的圓，這兩個圓的交點軌跡則可以滿足規定.教師可以先讓學生猜一猜這個圖形是什么，等到學生都將自己的見解發表完以后，再把圖形展示出來，學生就可以明白這個圖形是橢圓.利用推導進行學習，不但可以讓學生掌握與橢圓相關的知識點，還能夠對學生的創新思維進行拓寬，從而增強學生的創新能力.

三、幾何畫板在立體幾何教學中的應用

高中數學教學的一個重要內容是立體幾何，可是立體幾何很抽象，在對立體幾何進行講解的過程中，利用幾何畫板展示一部分點使平面里的三維空間圖形做對應的旋轉運動.通過幾何畫板，可以把抽象的立體幾何知識直觀化，使學生從各種角度來觀察圖像里的每個元素的位置之間的關系和度量之間的關系，學生會因此掌握正確的知識，把三維空間圖像理解的更深，從而使學生的立體感更強.在往后的學習過程中，學生可以通過這個辦法有效地解決立體幾何問題.

例如，在對正方體進行繪制時，可以通過幾何畫板旋轉與翻轉正方體，利用這一個過程，把直觀性的視覺圖形呈現給學生，學生也可以更直觀地進行觀察，這樣能夠幫助學生在解決平面問題時運用自己看到的圖形，從而使學生很容易的在平面上把三維圖形繪制出來.再如，在對“三棱錐體積求解”進行教學時，要分割三棱柱，接著把三棱錐的體積求出來.通過幾何畫板用不一樣的顏色來表示三棱柱的分割面，利用運動分割好的三棱錐，直觀地呈現給學生較為抽象的分割過程.如此一來，就會讓一部分想象力不足的學生很好的理解分割過程，幫助學生掌握可以利用對幾何體進行分割來求出體積這一方法.

總而言之，幾何畫板操作起來簡單且實用，在高中數學教學的過程中運用幾何畫板可以有利于學生更好的理解數學函數和幾何圖形的內在關系，使數學學習的效率更高.通過幾何畫板，可以讓課堂教學生動形象化，學生就會對學習活動感興趣.［4］所以，在對立體幾何知識和函數等一些數學知識進行講解時，教師要擅長使用幾何畫板，以此來幫助學生深入理解數學知識，讓學習數學的質量變得更高.