重視初中數學概念的生成過程
——以“因式分解”的教學為例

☉浙江省東陽市外國語學校 王玲玲

數學概念是反映數學數量關系與空間形式本質屬性的思維方式，是數學思維的細胞.因此，講清概念，使學生正確地理解概念，對于提高數學教學質量具有重要的意義.

概念的教學應該讓學生在現有知識的基礎上，經歷前人所經歷過的發現、認知、升華的過程，充分暴露知識的形成過程，讓全體學生都動手、動口、動腦，一起探索、發現、歸納，經歷這樣的過程所獲得的知識，學生想忘記都難.而對于我們現在的很多概念課，我很想問一下：“過程都上哪兒去了？”

如果想讓學生對概念“過目不忘”，就必須讓學生有經歷.“經歷”，是課標里用來描述過程的行為動詞之一，是指在特定的教學活動中獲得一些感性認識.它的同義詞還有“體驗”“探究”等.課堂教學猶如一次旅游，教師為導游，對每個學生來說，不論過程怎樣，每一次“經歷”都值得擁有，都具有不可替代的價值.

下面，以“因式分解”第一節課為例，來談談對概念教學的嘗試.因式分解與前面學習的整式乘法有著密切關系，又是后面學習分式的基礎.因式分解作為一種恒等變形，是初中數學課程“數與代數”的重要內容，在恒等變形、代數式的運算、解方程、函數中有著廣泛的應用.因式分解與整式乘法是互逆關系，因式分解的變形過程中蘊含著豐富的數學運算.因式分解是中學數學中最重要的恒等變形之一，是我們解決許多數學問題的有力工具.因式分解概念的滲透就顯得很重要.

這節課主要是“因式分解的概念”及“因式分解與整式乘法的互逆關系”，重點就是對這兩者的理解.

一、自己閱讀，尋找關鍵詞

一般來說，新課導入總要創設一些問題情境，而我們常常為了創設情境而創設，并沒有多大的意義.我當時想了很久，直接采用了下面的方式.

填一填：

m（a+b+c）=_______；（a+b）（a-b）=_______；（a+1）2=_______；（x-3）（2x-5）=________.

師：這組算式是我們學過的什么運算？

生：整式的乘法.

師：我們知道整式的乘法是由整式的積的形式轉化成多項式的形式，（PPT播放整式乘法的特點）這組算式是等式.現在我把每個算式左、右互換后得到了以下等式：ma+mb+mc=m（a+b+c），a2-b2=（a+b）（a-b），a2+2a+1=（a+1）2，2x2-11x+15=（x-3）（2x-5）.

師：和前面一組組等式相比，你能發現這組等式有何特點嗎？

生：把多項式轉化為幾個整式的積的形式.

師：這樣的變形就是我們今天要學習的因式分解.請同學們翻開課本第98頁，讀一讀因式分解的概念，說一說其中哪幾個詞是重點.

生1：多項式.

生2：多項式、幾個整式的積.

師：大家說得都很有道理，通過你的閱讀，你對概念的理解已經正確了嗎？下面就來考考你.

設計意圖：我在教學中并沒有直接給出因式分解的概念，也沒有對學生的總結做任何的評判，而是鼓勵學生自主探索，尋找關鍵詞.并不僅僅語文需要閱讀，數學同樣需要閱讀，所以我只是給學生搭建了一個平臺，學生仍然是課堂的主體，這樣能充分調動學生的學習積極性，使之主動探索、研究，讓學生都參與到課堂活動中，通過學生自我感受，培養學生閱讀、分析、歸納的能力，逐步提高自學能力、獨立思考的能力、發現問題和解決問題的能力，逐漸養成良好的個性品質.

二、暴露解疑，歸納關鍵詞

考一考：下列代數式從左到右的變形是因式分解嗎？為什么？

（1）a2+a=a（a+1）；（2）（a+3）（a-3）=a2-9；（3）4x2-4x+1=（2x-1）2；（4）x2-3x+1=x（x-3）+1；（5）x2+1=x（ x+）；（6）24a3b2c=（2a）3（3b）2（4c）；（7）x-4=（-2）（+2）.

學生獨立思考一段時間.

師：請同學們來說一說你覺得判斷過程中存在不確定、有疑問的小題.

生1：第（7）題.

生2：第（5）題和第（6）題.

師：我們一起來看這幾道題.

講解過程中重點講評了學生有問題的幾道題，說明原因.

通過以上環節，再一次總結因式分解的幾個關鍵詞，加深了對因式分解概念的理解.

設計意圖：學生在獲取新知識的同時，思維是發散的、多種多樣的，也許某個錯誤的想法，可以更好地拓展學生的思維，鞏固學生的新知識.在學生練習后再給出因式分解的定義，指出關鍵詞，說明在判斷過程中的幾點溫馨提示，會讓學生對概念的理解更加深刻.

三、再次鞏固，加深理解

師：我們不妨再來幾道題鞏固一下：

判斷下列各式從左到右是否是因式分解.

（1）x2+2x-3=x（x+2）-3；（2）x2-2=（x-）（x+）；（3）（a+b）x=ax+bx；（4）x-1=x（ 1-）.

設計意圖：前面雖然已經進行了練習，但是那是在沒有明確說明概念之前的，學生還存在一定的疑惑和模棱兩可.這次的練習是在明確因式分解概念之后，可以考查學生對之前有疑惑的地方是否已經完全弄懂，對因式分解概念的理解是否已經到位.

四、理解互逆關系，檢驗因式分解

師：我們學習了因式分解的概念，接下來看看能否將下列多項式進行因式分解.

（1）∵3a（a+4）=3a2+12a，

∴3a2+12a=（ ）（ ）.

（2）∵（a+3）2=a2+6a+9，

∴a2+6a+9=（ ）（ ）.

（3）∵（2-a）（2+a）=4-a2，

∴4-a2=（ ）（ ）.

學生回答.

師：你是根據什么填空的？

師：我們發現上面的式子是我們學過的整式乘法，而下面的是今天學的因式分解.想一想，因式分解和整式乘法有什么關系？

生：互逆關系.

師：我們知道了兩者之間的關系，要檢查一個因式分解是否正確，可以通過什么進行檢驗？

生：整式乘法.

例 題：（1）x2y-xy2=xy （x-y）；（2）2x2-1=（2x+1）（2x-1）；（3）x2+2x-8=（x+2）（x-4）；（4）a2+2a+2=（a+2）2.

例題詳解，略.

師：看因式分解是否正確，只要看什么就可以了？

生：只要看整式相乘的積與多項式是否相等就可以了.

設計意圖：適當引導學生，進一步清晰地得出整式乘法和因式分解之間的互逆關系.再引導學生思考能否利用因式分解與整式乘法是互逆的這一關系來解決檢驗因式分解是否正確的問題，通過練習，讓學生自己總結出只要看右邊幾個整式的乘積與左邊的多項式是否相等就可以了.這樣的過程，讓學生在主動學習的過程中掌握了因式分解與整式乘法的互逆關系，特別是在利用這種互逆關系解決問題的過程中加深了對互逆的理解.

至此為止，因式分解的概念和與整式乘法的關系基本講解清楚了.這個教學過程就是讓學生經歷從發現到認知，然后上升到理論并形成統一認識的過程，在接下來的教學，只需要鞏固形成的知識，并且學以致用.這樣一節課下來，學生只要認真參與，應該就不會忘記了.

一位教育家說過“之所以會忘記，是因為沒有經歷過矛盾、沖突和重組”.事實表明，再也沒有比在問題發生的實際場境——課堂上所引起的矛盾、沖突、質疑等對學生各方面的素養有更好的培養途徑了.當堂辨析、質疑，不但可以很好地培養學生的思辨能力、口頭表達能力、思考能力，同時教會學生實事求是地對待問題、不回避錯誤、敢于暴露缺點的品質，體現了數學的人文價值.

例如，在本節課中，對于本節課的兩個重點內容：因式分解概念，因式分解和整式乘法的互逆關系，通過兩次暴露質疑，讓學生首先暴露了錯誤，然后用學生比較容易接受的方式解決掉，相比教師一言堂的教法學生印象會更深刻些吧.

而且在本節課的教學中，教者把“以生為本”貫徹到底，把課堂“還”給了學生，讓學生來做課堂的主人.由學生關注學生和審視學生的錯誤，由學生矯正學生的問題，教師只是在關鍵時候點撥一下，也可以更加激發學生上課的積極性.

教學有法，教無定法，在數學概念課堂上如何讓學生有所獲，學有所得，并且“過目不忘”，這應該是我們努力的方向.