“類比+對比”：讓深度學習自然發生
——二元一次方程概念的教學感悟

筅江蘇省徐州市賈汪區英才中學 徐 倩

類比是一種常用的數學思想方法.在數學教學中，通過類比，學生可以由已有的知識與經驗，猜想出即將學習的知識.然而，由于類比是一種主觀的、不充分的似真推理，通過類比獲得的結論僅是近似結論，想要使其有效納入到數學的知識體系和學生認知系統中，必須對學生猜想出的結論進行對比分析，在得到新知識的同時，使學生對其有一個深度認知.本文擬結合教材中二元一次方程概念的教學歷程，談談筆者的做法，供大家參考.

一、二元一次方程概念的教學過程

1.情境引入，梳理舊知

教師投影教材“引言問題”（略），學生分析并給出方程2x+（10-x）＝16，教師立即利用這一方程引導學生完整梳理了一元一次方程的相關知識，并板書：只含有一個未知數，未知數的次數都是1，等號兩邊都是整式的方程，叫作一元一次方程.

2.探索建模，類比起名

教師引導學生增設未知數，在讓學生體會更簡便的列方程過程的同時，得到兩個與一元一次方程不同的方程：①x+y＝10，②2x+y＝16.對于這兩個沒有學過的方程，教師讓學生應用以前的經驗，類比“起名”.由于有一元一次方程的“命名”經驗，學生很快給出了這兩個方程的名稱——二元一次方程.

3.對比完善，規范概念

在板書“二元一次方程”的名稱后，教師要求學生類比一元一次方程給二元一次方程下定義.學生根據以往的經驗，從未知數個數、含未知數的項的次數及是否為整式等角度類比給出了“定義”：含有兩個未知數，未知數的次數都是1，等號兩邊都是整式的方程，叫作二元一次方程.教師順勢將其板書在黑板上，并追問：這里，“滿足未知數的次數都是1的方程一定是二元一次方程”嗎？同時投影方程③xy＝10，提問：方程③和方程①②能歸到一類嗎？從而引導學生發現：給“一次”下定義，僅關注“未知數的次數”是不夠的，還要考慮“含有未知數的各個項的次數”.從而引導學生給出二元一次方程的定義：含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數是1的方程，叫作二元一次方程.

4.辨析述理，鞏固定義

學生活動：判斷下列各式是否為二元一次方程，并說明理由.

（1）3x+2y；（2）2-x+3+5=0；（3）3x-4y=z；（4）x+xy=1；（5）x2+3x=5y；（6）7x-y=0.

學生對給出的六個式子逐一判斷，并陳述理由，教師進一步明確二元一次方程的定義中的幾個關鍵詞.

二、教學過程簡析

二元一次方程的概念是教材中二元一次方程組的教學重點，也是教學難點.學生已經較為系統地學習了一元一次方程的知識，積累了從定義、解、解法和應用獲取方程知識的經驗.對于本節課而言，一元一次方程的命名經驗將是本節課探索的基礎.所以，在學生探索新的方程前，教師首先讓學生經歷從實際問題中抽象一元一次方程的過程，然后回顧了他們所獲得的一元一次方程的定義，并進行了板書，這一切為后面給二元一次方程命名夯實了基礎.接下來的探索從“起名”出發，在學生類比猜想出二元一次方程的“定義”后，教師引導學生結合xy＝10重點對“一次”的定義方法進行了規范.最后，教師安排了一道練習，讓學生判斷給定的式子是否為二元一次方程，并說明理由，從而鞏固剛剛獲得的定義.整個教學過程，教師不僅注重類比方法的應用，還讓學生結合實例對得到的“定義”進行規范矯正，這樣的“類比+對比”，讓學生的思維不斷走向深入，深度學習在探索過程中自然發生，學生學習的效果自然是比較好的.

三、幾點感悟

1.合理類比，推動結論自然生成

類比是一種重要的數學學習方法，它是學生在初中階段獲取新知的重要方法之一.因而，在數學教學中，我們應注重相似知識在學習路徑上的類似之處，引導學生從舊知出發類比猜想獲得新知的學習內容、順序和方法，從而幫助他們較為順利地獲得新知.值得注意的是，基于舊知的類比務必合理，應與學生的認知狀況和數學的發展規律相契合，不能拋開學生與數學的發展規律而盲目類比，導致知識的生長缺乏應有的基礎，脫離數學，偏離學生，這樣類比想要取得較好的學習效果是很困難的.在本文的案例中，一元一次方程的知識與經驗是本節課展開類比學習的基礎，這些知識與經驗在本節課之前學生已經獲得，只不過由于時間關系學生可能會遺忘.因而，教者在課上首先將學生獲得的一元一次方程的知識進行了梳理，將本節課類比的障礙逐步掃清，這樣的“奠基”讓起名與下定義成為可能，保證了本節課的學習成效.

2.趁勢對比，確保定義嚴謹、規范

類比，是一種好的獲取新知的方法，但類比是一種似真推理，其結論有時并不準確，是無法順利融入學生已有知識系統的.因而，在教學過程中，要通過對比的方式，讓這些通過類比得出的結論進一步規范、完善，成為能夠被學生認同、符合數學發展規律的定義、定理、公理等，真正為學生的學習和生活服務.以本文中的案例為例，教者從學生的固有經驗出發，用類比的方式給新方程起了一個十分規范的名字，這無疑讓學生覺得下定義可以參照一元一次方程進行，因而，當他們給出了“含有兩個未知數，未知數的次數都是1，等號兩邊都是整式的方程，叫作二元一次方程”的結論時，幾乎沒有學生懷疑.事實上，這個結論中對“一次”的陳述是不準確的，如果不加以規范，會讓學生誤解.因此，教者引入一個與給定方程不一樣的新方程xy＝10，對學生的視覺形成沖擊，將結論中的“未知數的次數”變成“含有未知數的項的次數”，從而形成最終的定義.

3.辨析述理，及時鞏固學習成果

概念教學中，應用是較為重要的，然而在真正將其付諸應用前，我們應努力幫助學生理解概念的內涵與外延，使他們真正把握住概念的本質特征，找到概念應用的“著力點”.為此，在學生獲得規范的概念后，可以設置一些簡單的概念辨析題，通過對一些變式或范例的對比分析，讓學生逐步厘清概念中的關鍵詞及其含義，在真正理解概念的基礎上用好概念.在本文的案例中，教師通過引導幫助學生獲得了二元一次方程的準確定義，這并沒有成為教學的終點，接下來所呈現出的六個式子，既有代數式，也有方程，而在給出的方程中，不僅包含了本節課的二元一次方程，還有學生已經學過的一元一次方程和后續學習的一元二次方程、二元二次方程，如此魚龍混雜，找出二元一次方程就已不易，想要再說清理由就更難了.因而，在教學過程中，教師不得不引導學生對“二元”和“一次”兩個核心詞的內涵進行反復分析與解讀，使他們能從“含有未知數的個數”和“含有未知數的項的次數”這兩個角度來厘清二元一次方程的本質屬性，真正實現讓概念從理解走向應用.由此可見，用例題來加深學生對概念的理解和掌握，設置的例題不在于多，不在于難，而在于針對和即時，只要是針對概念本質的、及時的練習，不管多容易，都能起到輔助學生認知的成效.

作為一種學生獲得新知的重要方法，類比一直蘊藏于我們的數學教學之中，其作用是不言而喻的.只不過，我們在教學時，要時刻關注類比生成成果與實際結論之間的差異，及時做好對比矯正，以便學生獲得更為規范、嚴謹、適用的學習成果.而這一切，扎根于課堂的教師理應擔起重任，基于類比再對比，讓學生的認知在知識的辨析中不斷走向深入，實現思維寬度與廣度的拓展，在不自覺中實現深度學習.