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——2019年全國卷Ⅰ文科第21題剖析

☉河南省項城市第一高級中學 崔宴鴻

圓錐曲線中的定值問題充分展示了幾何“動態”與代數“靜態”的完美統一，是平面解析幾何中的綜合與交匯問題，也是歷年高考中常見的基本題型之一.2019年高考全國卷Ⅰ文科第21題，通過圓錐曲線的定值問題與點的存在性問題的融合，把兩個創新問題合理交匯在一起考查，綜合考查數學相關知識與數學能力.

一、真題再現

真題（2019·全國卷Ⅰ文·21）已知點A、B關于坐標原點O對稱，|AB|=4，⊙M過點A、B且與直線x+2=0相切.

（Ⅰ）若點A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；

（Ⅱ）是否存在定點P，使得當A運動時，|MA|-|MP|為定值？并說明理由.

本題從簡單的線段長度、圓及直線與圓的位置關系等條件入手，在特殊條件下確定圓的半徑，并結合點的存在性的判定來確定相應線段的長度差的定值問題.知識簡單易懂，而題目非常新穎，創新性強，充分考查學生的閱讀理解能力及化歸與轉化思想，巧妙地將問題合理轉化，利用圓的相關知識、直線與圓的位置關系及軌跡方程的求解、拋物線的定義與基本性質等來處理問題.

二、真題解析

方法1：（官方標準答案）（Ⅰ）因為⊙M過點A、B，所以圓心M在AB的垂直平分線上.

由于點A在直線x+y=0上，且點A、B關于坐標原點O對稱，所以點M在直線y=x上，故可設點M（a，a）.

因為⊙M與直線x+2=0相切，所以⊙M的半徑r=|a+2|.

由已知得|AO|=2.

故⊙M的半徑r=2或r=6.

（Ⅱ）存在定點P（1，0），使得|MA|-|MP|為定值.

理由如下：

設點M（x，y），由已知得⊙M的半徑r=|x+2|，|AO|=2.

因為曲線C：y2=4x是以點P（1，0）為焦點，以直線x=-1為準線的拋物線，所以|MP|=x+1.

因為|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-（x+1）=1，所以存在滿足條件的定點P.

點評：通過條件確定點M所在的直線，進而設出點M（a，a），利用直線與圓相切的位置關系確定⊙M的半徑r=|a+2|，并結合圓的相關性質，利用勾股定理建立關系式，從而得以確定參數a的值，再確定⊙M的半徑；在此基礎上，進一步設出點M的坐標，通過軌跡的求解，結合拋物線的方程，借助拋物線的定義與幾何性質來確定滿足條件的定點及對應的定值問題.

方法2：（軌跡轉化法）設點M（x，y），因為⊙M與直線x+2=0相切，所以⊙M的半徑r=|x+2|，|AO|=2.

（Ⅰ）因為⊙M過點A、B，所以圓心M在AB的垂直平分線上.

由于點A在直線x+y=0上，且點A、B關于坐標原點O對稱，所以點M在直線y=x上.

將y=x代入y2=4x，可得x2=4x，解得x=0或x=4.

故⊙M的半徑r=2或r=6.

（Ⅱ）存在定點P（1，0），使得|MA|-|MP|為定值.

理由如下：

因為曲線C：y2=4x是以點P（1，0）為焦點，以直線x=-1為準線的拋物線，所以|MP|=x+1.

因為|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-（x+1）=1，所以存在滿足條件的定點P.

點評：通過條件設出點M的坐標（x，y），利用直線與圓相切的位置關系確定⊙M的半徑r=|x+2|，并結合圓的相關性質，利用勾股定理的轉化來確定與求解對應點M的軌跡方程，在此條件下結合點M所在的直線聯立方程組，進而確定參數x的值，得以確定⊙M的半徑；從而，結合軌跡方程，利用拋物線的方程，借助拋物線的定義與幾何性質來確定滿足條件的定點及對應的定值問題.

方法3：（分類討論法）（Ⅰ）由于點A在直線x+y=0上，所以可設點A（t，-t），則點B（-t，t）.

又|AB|=4，則8t2=16，解得.

因為⊙M過點A、B，所以圓心M在AB的垂直平分線上，即點M在直線y=x上.

可設點M（a，a）.

因為⊙M與直線x+2=0相切，所以⊙M的半徑r=|a+2|.

故⊙M的半徑r=2或r=6.

（Ⅱ）存在定點P（1，0），使得|MA|-|MP|為定值.

理由如下：

由于點A、B關于坐標原點O對稱，|AB|=4，則直線AB必過坐標原點O，且|OA|=2.

①當直線AB的斜率為0時，點M與坐標原點O重合，|MA|-|MP|=|OA|-|OP|=2-1=1，為定值.

②當直線AB的斜率存在且不為0時，設直線AB的方程為y=kx（k≠0），則⊙M的圓心M必在直線上，可設點M（-km，m）.

因為⊙M與直線x+2=0相切，所以⊙M的半徑r=|-km+2|.

因為曲線C：y2=4x是以點P（1，0）為焦點，以直線x=-1為準線的拋物線，所以|MP|=x+1.

因為|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-（x+1）=1，所以存在滿足條件的定點P.

③當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x=0.

此時點M在x軸上，可設點M（n，0）.

此時點M與坐標原點O重合，|MA|-|MP|=|OA|-|OP|=2-1=1，為定值.

綜上所述，存在定點P（1，0），使得|MA|-|MP|為定值.

點評：通過條件設出點A的坐標，進而確定點B的坐標，通過兩點間的距離公式的轉化得到，再結合條件確定點M所在的直線，進而設出點M（a，a），利用直線與圓相切的位置關系確定⊙M的半徑r=|a+2|，結合|MA|=|MB|=r，利用兩點間的距離公式的轉化來確定參數a的值，得以確定⊙M的半徑；在此基礎上，通過分類討論，分直線AB的斜率為0、直線AB的斜率存在且不為0及直線AB的斜率不存在三種情況，準確對應點M的軌跡情況，從而得以確定滿足條件的定點及對應的定值問題.

三、變式拓展

探究1：以上高考真題的破解主要圍繞點M的軌跡方程展開，從而在具體問題中隱含著軌跡方程的求解.因而破解點M的軌跡方程是重中之重.

【變式1】已知點A、B關于坐標原點O對稱，|AB|=4，⊙M過點A、B且與直線x+2=0相切.試求點M的軌跡方程.

解析：設點M（x，y），因為⊙M與直線x+2=0相切，所以⊙M的半徑r=|x+2|，|AO|=2.

點評：借助高考真題，從中抽取精華部分，即確定點M的軌跡方程.而這也是拋物線的另一幾何意義或定義，可以進一步歸納為一般性的拋物線的軌跡方程問題.

【結論】已知點A、B關于坐標原點O對稱，|AB|=2p（p＞0），⊙M過點A、B且與直線x=-p相切.則點M的軌跡為拋物線C：y2=2px.

同理，已知點A、B關于坐標原點O對稱，|AB|=2p（p＞0），⊙M過點A、B且與直線x=p相切.則點M的軌跡為拋物線C：y2=-2px.

已知點A、B關于坐標原點O對稱，|AB|=2p（p＞0），⊙M過點A、B且與直線y=-p相切.則點M的軌跡為拋物線C：x2=2py.

已知點A，B關于坐標原點O對稱，|AB|=2p（p＞0），⊙M過點A，B且與直線y=p相切.則點M的軌跡方程為拋物線C：x2=-2py.

四、規律總結

處理平面解析幾何中的定值問題，常見思維方法有以下兩種：（1）從特殊條件入手，先根據特殊位置和數值求出相應的定值，再證明這個所求的定值與相應的變量無關；（2）直接通過邏輯推理、代數計算，在計算與推理的過程中消去相應的變量，從而得到相應的定值.