對2019年全國卷Ⅲ理科第23題（Ⅰ）的探究*

☉內江師范學院數學與信息科學學院 賀鋅菠

☉內江師范學院數學與信息科學學院 劉成龍

☉內江師范學院數學與信息科學學院 蔣紅珠

2019年高考全國卷Ⅲ理科23題是一個具有數學探究價值的多元函數最值問題：從試題背景、解法和推廣進行多角度思考可引發如下探究.

一、試題與評注

試題（2019年高考全國卷Ⅲ理科23題，下文簡稱23題）設x，y，z∈R，且x+y+z=1.

（Ⅰ）求（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；

（Ⅱ）若（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2≥成立，證明：a≤-3或a≥-1.

評注：試題形式優美、構思巧妙、富含美感、不偏不怪、解法多樣、可一般化，具有一定的難度、深度和廣度，是一個值得研究的好素材.

二、試題背景

1.教材背景

高考試題背景源于教材又高于教材，是對教材的進一步提煉.本題的原型來源于人教A版《普通高中數學課程標準實驗教科書》［1］選修4-5第10頁課后習題第11題：

已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥

該習題學生可以運用基本不等式或借助作差法進行解答.23題更改了參數的限制條件，由正實數擴充為實數，在教材習題基礎上進行了改編，設置了一些重要不等式背景.命題者立足教材，使得試題背景公平，體現了“源于教材，高于教材”的命題理念，對引導高中數學教學回歸教材、研究教材、抑制“題海戰術”有益［2］.

為了大量生產殼聚糖酶以滿足其商業化需求，培養基配方以及發酵工藝條件的優化非常重要。為優化發酵條件，Zhou 等對碳源、氮源、金屬離子、pH值、溫度等因素進行了經典的單因素研究。這些多重生長參數間的交互作用使我們很難控制發酵結果。響應面方法學(RSM)是一種非常有用的統計學技術，可用于優化復雜的化學、生物和食品的加工過程，在微生物酶生產的研究中也得到了廣泛關注，2012年，Zhang等人報道了利用統計學方法優化殼聚糖酶的生產，結果顯示采用Aspergillus sp. QD-2發酵生產殼聚糖酶，經響應面法優化，殼聚糖酶活性從26.5 U/mL提高到了85.8 U/mL 。

2.重要不等式背景

該題含有多個重要不等式背景，分析如下：

（2）|m|2·|n|2≥（m·n）2背景.構造向量，運用|m|2·|n|2≥（m·n）2可以快速推導柯西不等式及變式，并且借助|m|2·|n|2≥（m·n）2可以將23題推廣到更一般的情形，比如：推廣到n維向量空間、歐式空間.

（3）權方和不等式背景.權方和不等式是柯西不等式的推廣形式，對認識、解答和推廣23題有指導作用.

（4）排序不等式背景.待求目標（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2中x-1，y+1，z+1的地位平等，剛好為x-1，y+1，z+1排序提供了依據，而（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2視為順序和.

3.點到平面距離背景

（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2可視為空間兩點（x，y，z），（1，-1，-1）間距離的平方，而點（x，y，z）位于平面x+y+z=1上，（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值為點（1，-1，-1）到平面x+y+z=1距離的平方.

三、試題解法

美國數學家哈爾莫斯（P.R.Halmos）認為：“數學家存在的主要理由是解問題，數學的真正組成部分是問題和解”.試題的解法包括一題多解、多題一解、錯解分析等.其中，從一題多解入手，一題多解是指對一道試題進行多種不同角度地分析與探究，進而得到多種解法，這既能培養學生的學習興趣，又能培養思維的發散性、選擇性、靈活性、深刻性.下文主要研究（Ⅰ）的解法.

解法1：（距離模型法）x+y+z=1表示平面，故d=為平面內的點A（x，y，z）與點B（1，-1，-1）之間的距離.又點B到平面x+y+z=1的距離，所以dmin=d′=.故，即（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值為.

評注：解法1充分利用幾何意義，將問題轉化為空間中點到平面的距離.

解法2：（判別式法）因為x+y+z=1，消去x得（y+z）2+（y+1）2+（z+1）2=2（y2+z2+yz+y+z+1），設y2+z2+yz+y+z+1=t，化簡得y2+（z+1）y+z2+z+1-t=0，此方程有解.故Δ1=（z+1）2-4（z2+z+1-t）≥0，即3z2+2z+3-4t≤0，易得Δ2=4-12（3-4t）≥0，解得t≥，故（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2=2t≥.

評注：解法2將問題轉化為一元二次方程問題，利用判別式進行求解.

解法3：（利用均值不等式）［（x-1）+（y+1）+（z+1）］2=（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2+2［（x-1）（y+1）+（y+1）（z+1）+（z+1）（x-1）］≤（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2+［（x-1）2+（y+1）2+（y+1）2+（z+1）2+（z+1）2+（x-1）2］=3［（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2］.由已知得（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2≥，當且僅當x=時“=”成立.（下文不再敘述取等條件）

評注：通過配湊，運用均值不等式巧妙地完成求解，簡潔巧妙.

解法4：（利用柯西不等式）由柯西不等式：［（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2］（12+12+12）≥［（x-1）+（y+1）+（z+1）］2，因為x+y+z=1，故（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2≥

評注：配湊出柯西不等式的結構是完成求解的關鍵.

解法5：（構造向量）設m=（x-1，y+1，z+1），n=（1，1，1），則|m|=由|m|2·|n|2≥（m·n）2，得［（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2］·3≥（x+y+z+1）2，因為x+y+z=1，所以（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2≥

評注：解法5的關鍵在于構造向量，再運用|m|2·|n|2≥（m·n）2進行求解.

四、試題推廣

數學推廣是指在一定范圍內或一定層次上對數學概念、定理、法則進行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立.［3］把一個數學命題的某些特殊條件或結論一般化，從而得到更為普遍的結論（命題），這個過程就稱為數學問題（命題）的推廣.在推廣命題時，可將命題的條件加強、削弱或減少；將條件或結論中的數量、形式或關系普遍化；將命題中的某些結論加強或削弱等.對問題進行推廣可以培養學生探究意識、創新意識.下文對23題進行推廣.

分析1：問題條件“x+y+z=1”呈現的是高度對稱的3元關系，很自然想到4，5，6，…，n元關系下，會有相應的結論嗎？

推廣1：設xi∈R，i=1，2，…，n，其中n＞1，n∈N+，且

評注：推廣1可利用柯西不等式、構造向量等方法加以證明.

分析2：待證目標“（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2”呈現的是2次關系，很自然想到3，4，5，6，…，n次關系下，會有相應的結論嗎？

推廣2：設x，y，z∈R，k，p∈N+，且xk+yk+zk=1，則xpk+ypk+zpk≥

評注：從指數上進行了推廣，可利用權方和不等式證明.

分析3：推廣1與推廣2分別從“元”和“次數”的角度進行了推廣.下面從“元”和“次數”上同時進行推廣.

推廣3：設xi∈R，i=1，2，…，n，其中n＞1，k，n，p∈N+，且

評注：可利用權方和不等式證明.