淺談高中數學“題組教學”的運用

☉江蘇省江陰市青陽中學 吳國華

題組教學這一教學形式在題目設置與順序編排上都有一定的考究，從易到難、從單一到綜合的題目設計往往能使數學基礎知識、技能、方法、思想重復出現并得到強化，教師因此可以及時掌握學生學習目標的達成情況并能因此進行針對性的后續教學.

一、概念教學中的題組運用

概念教學這一重要內容可以說是基礎知識與基本技能教學的核心，學好數學必然要以概念理解為基礎，這在數學學習過程中是最為重要的.令學生學會概念的內涵與外延，領悟概念中所蘊含的數學思想方法與基本解題技能，促進學生數學思維品質與素養的提升，培養學生的自主學習能力，這些是概念教學的基本任務.

例1請對以下各小題中集合A到集合B的對應法則進行觀察和理解：

（1）A={-1，-2，-3，1，2，3}，B={1，4，9}，對應法則：求平方；

（2）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5，6}，對應法則：乘以2；

（3）A={x|x∈Z且x≠0}，B=Q，對應法則f：x→；

（5）A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1，2，3}，對應法則：開平方.

教師在引導學生對上述小題觀察與思考時，可以進行一定的層次劃分，引導學生首先思考（1）——（3）小題中兩集合之間對應法則的共同點，然后再啟發學生進行自主歸納與總結.學生在觀察與思考中很快可以得出：對應法則下的集合B中都有唯一確定的元素b和集合A中的每個元素a對應.學生的認識達到更高層次的同時還能給出映射的定義，教師在學生明確映射的定義之后，還可以再舉出一些反例來幫助學生更深層次地理解映射的定義，使學生在判斷（4）—（5）是否為映射時更好地理解映射這一對應法則的內涵.

二、解題教學中的題組運用

激發、引導學生對數學問題進行解題規律的探求往往能取得更好的教學效果.題組教學在解題探究中的運用往往能夠幫助學生發現并掌握解題規律，使學生在運用規律解決問題的過程中獲得思維廣闊性的鍛煉與成長.

例2（1）求值：cos60°cos15°+sin60°sin15°；

（6）設函數f（x）=a·b，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，sin2x），若f（x）=，且］，求x.

題組（1）—（4）的設計是兩角和與差的余弦公式的逆用向提煉輔助角公式的過渡，asinα+bcosα=這一輔助公式的提煉過程也因此更加自然順暢.

（5）—（6）兩題的設計讓學生在輔助角公式、二倍角公式、向量的結合應用中獲得了更為充分的理解與掌握.學生在有意義的題組教學中發現規律、掌握規律并應用規律，在興致勃勃解決數學問題的過程中也更添解題的準確性.

三、強化教學重點中的題組運用

求二次函數在閉區間上的最大值、最小值這一重要課題是函數單調性教學之后的重點問題，題組可以這樣設計：

例3（1）設f（x）=x2-2x-2，x∈［-2，2］，則f（x）的最大值、最小值分別為多少？

（2）設f（x）=x2-2x-2，若將f（x）在區間［-2，t］上的最大值記作g（t），則g（t）的表達式如何？

（3）設f（x）=x2-2x-2，若將f（x）在區間［t，t+1］上的最小值記作g（t），則g（t）的表達式如何？

（4）設f（x）=x2-2ax-2，若將f（x）在區間［-2，1］上的最小值記作g（x），則g（x）的表達式如何？

求解二次函數最值問題的關鍵在于學生是否能結合圖像弄清函數圖像的對稱軸和區間之間的相對位置關系.解決第（2）小題這一“定對稱軸、動區間”的最值問題時（兩個端點“一定一動”），需要討論二次函數的圖像在頂點處的橫坐標x=1和區間［-2，t］的關系，應分以下情況進行討論：①t≤1；②1＜t≤4；③t＞4.求出g（t）的表達式也就不難了.解決第（3）小題這一“定對稱軸、動區間”的最值問題時（兩個變化的端點，但區間長度為定值），應對二次函數圖像在頂點處的橫坐標x=1和區間［t，t+1］的關系進行分析和討論：①t+1≤1；②t＜1＜t+1；③t≥1.在解決第（4）小題這一“定區間、動對稱軸”的最值問題時，應對二次函數圖像在頂點處的橫坐標x=a和區間［-2，1］的關系進行分析和討論：①a≤-2；②-2＜a＜1；③a≥1.學生在以上四個小題的學習與思考中往往能夠更為全面地掌握二次函數在閉區間上的最值問題的求解方法與思想.

四、突破教學難點中的題組運用

很多學生在一些看似復雜的問題上往往不能做到準確分析，很凸顯問題的本質，若生搬硬套來解決這些問題，則更易產生解題錯誤了.

例4（1）已知函數y=log2x，試求其單調增區間；

（2）已知函數y=x2-6x+8，試求其單調增區間；

（3）已知函數y=log2（x2-6x+8），試求其單調增區間；

（4）若函數y=loga（2-ax）在區間［0，1］上單調遞減，則a的取值范圍如何？

學生面對題（1）、（2）這兩道初等函數單調區間的簡單問題時，往往能夠結合函數的圖像輕松解決，但面對題（3）、（4）這兩個復合函數單調區間的問題時往往會感到困擾.這對于教師來說也是一個值得研究的教學問題.

略解：（3）設y=log2t，t（x）=x2-6x+8，其中t（x）=x2-6x+8＞0.

外函數y=log2t在（0，+∞）上單調遞增，因此，求函數y=log2（x2-6x+8）的單調遞增區間即轉化成了求內函數t（x）=x2-6x+8的單調遞增區間，結合二次函數t（x）=x2-6x+8的圖像即可解決這一問題.不過，定義域t（x）＞0這一問題在畫圖過程中是需要考慮的，這就意味著應在x軸上方的圖像中找單調區間.

（4）設y=logat，t（x）=2-ax，其中t（x）=2-ax＞0.

因為a＞0，因此內函數t=2-ax在區間［0，1］上單調遞減.因為函數y=loga（2-ax）在區間［0，1］上單調遞減，因此外函數y=logat在區間［0，1］上單調遞減，因此a＞1.因為t（x）=2-ax＞0在區間［0，1］上恒成立，因此tmin（x）=t（1）=2-a＞0，所以1＜a＜2.

若將題中區間［0，1］改為（0，1），結果又會怎樣？顯然前面是一樣的，但tmin（x）＞t（1）=2-a≥0，所以1＜a≤2.

研究復合函數的單調性時應考慮分解、定義域、內外函數的單調性、根據圖像寫單調區間這四個方面，例4中的題組教學在糾正學生錯誤的同時，也令學生更好地理解了函數概念的內涵以及本質.

五、發展思維教學中的題組運用

學生思維的發散性與嚴密性往往能影響其對數學問題的大膽設想與質疑，有意義的題組教學能夠更好地發展學生思維的發散性與嚴密性.

例5（1）三角形的三邊長能組成等比數列嗎？如果不能，理由何在？如果可以，公比q的取值范圍如何？

（2）直角三角形的三邊長能組成等差數列嗎？如果不能，理由何在？如果可以，該數列是怎樣的？

（3）若三角形的三個內角能組成等差數列且其對應三邊也成等差數列，該三角形形狀如何？

略解：（1）設三邊為a，aq，aq2（a＞0，q＞0），則當q≥1時，最大邊為aq2，因此a+aq≥aq2；當0＜q＜1時，最大邊為a，因此aq+aq2≥a.解上述兩個不等式，分別可得1≤q＜

（2）若某直角三角形的三條邊長可以組成等差數列，分別設其三邊為a-d，a，a+d，公差為d（d＞0），則有（ad）2+a2=（a+d）2，解得，因此三條邊長分別是的直角三角形的三邊是可以組成等差數列的.

（3）若某三角形的三個內角可以組成等差數列，將其三個內角分別設為α-β，α，α+β，則（α-β）+α+（α+β）=π，解得α=

因為該三角形的三邊成等差數列，因此設其三邊為a-d，a，a+d.

故該三角形為等邊三角形.

除此以外，我們還可以在三角形的邊、角上進行其他情形的設想、學習和探索，并因此促成學生思維水平的不斷提升.

總之，與現代主體教育思想吻合的題組教學能更好地幫助學生自主參與和探索，進而使學生獲得知識、能力與思維的同步發展.因此，教師應善于運用題組教學并充分發揮其在教學中的作用，使學生能夠在靈活多變的題組教學中獲得數學能力與素養的共同提升.