教師解題研討關注點：明辨好題與通向教學
——從“負數的整數部分”的網絡研討說起

☉江蘇省蘇州高新區第二中學 范 紅

一、從一次網絡研討說起

說明：這是筆者參與的一個數學教師微信群里的一次網絡研討的摘要.話題討論由“師1”發起，隨后不少老師參與了討論，筆者沒有參與討論，但認真閱讀了他們的對話，有了一些思考，本文就從這段網絡研討的對話說起.

師1：請教一個問題：負數的整數部分是什么？比如-2.6的整數部分是什么？

師2：從百度查到“實數的整數部分與小數部分講義”，主要觀點是，對于正實數，整數部分直接取其最接近的兩個整數中最小的正整數，小數部分用原數減去整數部分.比如，實數3.25，最接近的兩個整數是3和4，則整數部分為3，小數部分就是3.25-3=0.25，類似的，最接近的兩個整數是2和3，則整數部分為2，小數部分是.而對于負實數，整數部分取與其最接近的兩個整數中較小的負整數，小數部分用原數減去整數部分.比如，-2.6在-3和-2之間，則整數部分確定為-3，所以它的小數部分為-2.6-（-3）=0.4.

師3：網上很多是這樣解釋的.

師1：是的.但是像-2.6，也可看成整數部分為-2，小數部分為-0.6.可不可以這樣認為呢？

師4：更多的認為是比這個數小的最大整數.有一年我出初一試卷時出現了這個問題，當時爭論過，我從網上查到基本上是這個解釋，即整數部分為-3.

師5：就叫不大于本身的最大整數.

師1：哦，那么-2.6的整數部分應該是-3，小數部分就是0.4.

師6：前段時間我關注過2016年全國初中數學競賽試卷，其中第1題也涉及這類問題，但是競賽題表述比較嚴謹，使用的是新定義的方式，摘題如下：

用［x］表示不超過x的最大整數，把x-［x］稱為x的小數部分.已知，a是t的小數部分，b是-t的小數部分，則=（ ）.

C.1

這道競賽試題以新定義的方式表述了上面探討的一個數的整數部分與小數部分，然后在求解過程中需要分別研究正數和負數兩種情況，比如，t是正數，而-t是負數.對照定義可分析出t的范圍.，即3＜t＜4，所以.進一步分析負數，可得，于是對照定義再代入求解可得，故選A.

（師6的發言和舉例，引發群里教師的“一片點贊”）

師6是當地初中數學學科帶頭人，從他引證競賽題例來看，對上述話題討論起到了較好的引導作用.

二、由網絡研討引發的一些思考

需要說明的是，筆者無意繼續討論與一個數的整數部分與小數部分有關的習題的解法，而是由這類網絡研討出發，討論一下數學教師的教研興趣與教研關注點.

1.理解數學需要破除迷信、追求真理

數學是一門邏輯連貫、結構嚴謹的科學，但根據法國著名數學家彭加勒的觀點，數學是從約定、假設開始的.彭氏有幾本中文譯本的著作在國內影響較大，如《科學與假設》《科學與方法》等著作.聯系到初中數學的教學內容，數學概念的教學也都是從定義（概念，往往是一種約定、歸納）、公理出發，經過演繹推理得出一系列真命題（定理、推論等）.從理解數學出發，我們在遇到一些有爭議的數學習題時，探究解法不必以名人、權威或不靠譜的“網傳解釋”為準，而應基于國家發布的義務教育數學課程標準，經過審定的教材上的數學概念、定義、基本事實（公理）、定理，進行解釋和推理，如果能夠成立就是正確的，如果相悖往往是錯誤的，或者需要另選解釋的途徑.簡言之，作為習題爭議解法的探討，我們需要立足數學本身，追求真理，并把這種追求傳遞給學生，而不是讓學生養成聽老師解釋的習慣，想來，這也是數學育人、核心素養的當下追求.

2.關注教材經典例、習題，對教輔資料上的內容審慎選用

數學學習離不開習題訓練與講評，根據我們的觀察，數學老師中不讀期刊、不讀一些專家學者著作的并不在少數.客觀上看，不少老師（特別是任教畢業年級的教師）的課余時間多在解題、“做作業”（學生的作業），而很少有時間深入思考教學話題.難怪有些資深教研員指出，長期在畢業年級教學的老師往往不會上數學新授課，如果“循環”到七年級開展初中起始年級教學，他們常常對一些概念“一帶而過”，進而以大量習題“以練代講”，進行變式訓練，而且對教材也缺少必要和深入的研習.事實上，數學教材（課本）上的例、習題往往比較經典，教師要多研究、多變式，帶領學生思考、練習，以達到鞏固所學的目的.特別值得提醒的是，不能被教輔資料牽引著教研方向，教輔資料上的有些習題不夠嚴謹，以錯傳錯，特別是有些“網紅試題”（超標題、超綱題，或是從一些數學競賽試卷中簡單改編而來的一些技巧極高的習題），這類試題作為自主招生考試、競賽輔導使用是可以的，畢竟是“小眾”參與，而作為“全樣本”參與的大型考試命題或集中布置作業來說，這類習題是應該舍棄的，有專業自主的教師都應該抵制、舍棄，不要向學生傳遞錯誤的數學習題觀.

3.數學教師離不開解題，但要明辨“食材”、大膽取舍

數學教師的解題不能只是滿足于答案獲得，思路貫通，而要追求一題多解，并繼續開展解后反思，比如，分析試題能否進行必要的推廣，推廣之后能得出哪些結論，由這些結論能提煉出怎樣的“深層結構”，在此基礎上還可以怎樣進行“縱向深化”“橫向拓展”，最后形成一些統一的結論，以達到“做一題、會一類、通一片”的解題追求，從而開展解題教學時就能引導學生發現“變中不變”，揭示知識的內在聯系，提煉數學思想方法，達到“精學一題，妙解一類”，促進學生把握同類問題的本質.當然，我們也看到，有些教師在上述方向上十分用功，在很多教研群里熱衷研究解法、揭示結構、變式拓展，但是很多考題是“超標題”，技巧性強，是“競賽題”套路，雖然也被有些中考試卷引用，但并不是貼上了中考題的標簽就一定是好的習題.我們的意見是，數學教師的專業成長，離不開解題，但解題如同吃飯，食材關要把好，對垃圾食材、有毒食材、偽造食材要學會辨別，而不是繼續烹飪下去，該扔的要扔了.

三、關于習題研討的進一步思考

1.基于理解數學的高度精選好題

理解數學需要教師關注數學史，知曉初中階段數學知識的“前世今生”，在此基礎上就可對一些數學習題進行辨析，分析這些習題的訓練功能，如是否具有變式拓展，能否關聯初中階段數學的一些核心概念等.而對一些人為編造的繁雜、無趣的劣質題要大膽舍棄，選取好題之后還可以把同類問題整理到一起進行研究.近年來，我們在《中學數學（下）》上看到不少專題復習的課例都是精選了同類問題開展教學，這是值得我們關注和努力的教研方向.

2.重視教學“基本問題”的研究

教學“基本問題”關注的是“教什么、教誰和怎么教”，習題研討也可以從上述三個視角開展研究.比如，當我們面對一道習題時，首先要思考這道習題的考查意圖，通過這道習題的講評與教學能幫助學生掌握哪些數學概念或性質，對于后續數學學習有哪些幫助；再結合所教班情、學情，想清學生的最近發展區，思考如何預設鋪墊式問題，以便讓學生更好地理解問題，思考習題講評之后怎樣揭示問題結構，如果有必要，還可以針對所講習題進行變式再練，進行必要的學情反饋.可以發現，當習題研究走向教學研究時，作為教師的習題研究會更加有意義.