借助反例教學，提升數學素養

☉江蘇省蘇州工業園區第八中學 陸 燕

反例，簡單地說，就是與命題相反的例子.在初中數學教學中選擇反例教學法，目的就是引導學生準確把握命題中的條件，了解條件的適用范圍，并就此形成更深刻的認知，既有助于推動教學工作的順利開展，同時可以保障高效的學習效果.反例教學的方式，既有助于突破學生的思維定式，同時在提升學生思維能力方面，也具有極大的裨益.所以為了使學生獲得更大的進步，教師可在初中數學教學實踐中巧妙引入反例教學法，以促進學生對數學知識的高效掌握.

一、借助反例教學，深入理解數學概念

在學習數學知識的過程中，概念是基礎和關鍵所在.小學數學學習過程中所涉及的概念大都比較直觀，更貼近學生生活，但是步入初中階段之后，概念教學逐步轉向抽象，同時具有邏輯性特質，因此在學習概念的過程中，比較容易出現片面理解或錯誤認知，如果教師僅僅依靠正面例子引導學生自主糾錯，往往難以保障更深層面的理解和認知，此時教師可以巧妙地引入反例，必然有助于消除學生的疑惑，還能夠從側面幫助學生緊抓概念本質，有效彌補正面例子的不足，使學生對概念產生更深層面的理解，既要弄清“是什么”，還要了解“不是什么”.［1］

1.借助反例進行概念辨析

在初中數學教學中，教師要善于借助反例引導學生進行概念辨析，以此促進他們對數學概念的深刻理解.

例如，在教學“有理數”這一概念的過程中，教師可以結合以下練習：“請在下列數中找出所有的有理數：-2，|13|，0.56，1.1010010001……（1和1之間每次增加一個0），|π|”，并以此為突破口引入概念教學，學生們很有可能就此認為1.1010010001……（1和1之間每次增加一個0）和|π|，都為有理數.鑒于此，教師可引導學生著重分析有理數的概念及其內涵，特別是其中所包含的分數，因此，對于有理數而言，不但包括整數和有限小數，除此之外，還包括無限循環小數，這也就意味著，這兩組數字雖然是無限小數，但是它們并非循環小數，所以不可將其判定為有理數.

2.借助反例糾正錯誤理解

初中生對于一些數學概念會存在錯誤理解，教師在教學中要善于借助反例幫助學生對錯誤的概念理解進行糾正.［2］

例如，在學習“函數”概念時，學生會產生這樣的想法：只要其中一個變量會因為另一個變量而發生改變就是函數.鑒于此，教師可引入如下反例引導學生展開思考.對于以下變量關系，哪些說法是正確的：①若|y|=x，則y是x的函數；②若y=2|x|（x≥0），則y是x的函數；③通過水管的水流速度與水管的長度呈函數關系.經過學生的簡單思考之后，教師給出正確答案為②.之后展開解題，對于說法①，假如x=5，|y|=5，y=±5，對于這一函數關系來說，當給定x的值之后，對于y而言，有兩個值與它相對應，所以是錯誤的.說法③：對于水管中的水流速度來說，并不會因為水管的長度而受到任何影響，這也就意味著它們之間并不存在函數關系.可見，通過恰當的反例，能夠幫助學生更深入、更透徹地把握所要學習的概念和知識點.

二、借助反例教學，準確把握數學定理

數學定理的存在也需要限定在一定的范圍內.在初中階段，數學定理及推論同樣具備明確的應用范圍，這也是學生容易忽視的關鍵點，由此導致錯誤的出現.教師需要結合反例展開教學，使學生聚焦于定理及推論的適用范圍并加大重視.

1.借助反例教學，明確定理條件

一些數學定理是需要判定條件的，這些判定條件容易被學生忽視，借助反例教學能夠讓學生對這些定理的條件更加明確.

以“一元二次方程的實數根判別式”的教學為例，假使一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有實數根，則判定條件Δ=b2-4ac≥0；如果方程具備兩個不同的實數根，則Δ＞0.對于此題來說，必須要關注a≠0這一條件，一旦忽視，就可能出現錯誤.可結合以下反例進行教學：如果方程tx2-3x+2=0具備兩個實數根，求t的取值范圍.有部分學生得出Δ=（-3）2-4×2×t＞0，由此，求得，很顯然，這個答案并不正確.因為當t等于0時，此方程只具備一個實數根，所以，針對此題的正確答案應當是且t≠0.通過這一習題，學生必然能夠對判別式中a≠0這一限定條件產生更深層面的認知.

2.借助反例教學，明確定理范圍

一些數學定理是具有一定的適用范圍的，借助反例教學，能夠讓學生對數學定理的適用范圍更加明確化.

例如，在教學韋達定理時，涉及方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數根與方程中系數的關系因為這一定理常被用于求兩個根所組成的關系式的值，這是一種有效且便捷的解題方式，但同時韋達定理也具備相應的適用范圍.其一，方程有兩個不等的實根，其二，函數和x軸有公共點.然而在實際使用韋達定理進行解題的過程中，學生經常會忽視這一使用范圍.為了強化學生的注意，教師可以引入相應的反例：如果方程x2-的兩根為x1和x2，求的取值范圍.有學生就作出如下解答很顯然，這并非正確答案，如果將終點值19代入其中，得到-k2-10k-6=19，由此得解k=-5，然后將k值代入方程中，會將方程變為x2+7x+15=0.而Δ=72-4×15=-11＜0，說明并不存在實數根，這點很顯然違背了題意.學生出錯的根源在于沒有考慮到方程的實數根，也就是忽視了韋達定理的適用范圍.針對此題，必須要明確附加條件（k-2）2-4（k2+3k+5）＞0.反例教學在初中數學教學中的應用，能夠使學生對概念及定理的具體限定范圍產生更深層面的認知，并加大關注，所以教師應善于靈活利用反例，這樣有助于提高教學的實效性.

三、借助反例教學，有效培養數學思維

在初中數學教學中，培養學生的數學思維能力是重要的教學目標之一.反例是培養學生數學思維的有效素材.反例的運用有助于促進學生的思維發展，因為在步入初中之后，單純的知識教學在促進學生能力提升方面的作用有限，必須加強反思能力及發散思維能力方面的培養，才有助于真正提升學習實效.傳統教學模式下，學生大都以被動的方式接受教師所教的內容，這樣的過程很有可能忽略其中的關鍵知識點.在完成基礎知識的學習之后，教師可結合反例的方式，引導學生立足于不同的視角思考相同的問題，這樣學生必然能夠在這一過程中，了解到知識的多樣性，這也是對思維的有效鍛煉，能夠幫助學生養成良好的學習習慣，使學生了解對于任何問題而言，都要立足于不同的視角去考慮.［3］

例如，在完成幾何知識的學習之后，很多學生都對多邊形具備了一定的了解，在此基礎上可引發學生思考：多邊形本身具備怎樣的特點？正多邊形又具備怎樣的特點？很多學生都能夠基于所學得出正確的解答.為了引發學生更深層面的思考，我提出如下問題：對于一個多邊形來說，如果每一條邊長都相等的情況下，是否就可以認定其為正多邊形？實際上，對于這一問題而言，就是引導學生立足于反向思維，考慮多邊形和正多邊形之間的區別，這樣必然能夠幫助學生對知識產生更清晰的認知.由于思考的角度不同，學生也會在實際思考的過程中，擁有更多的發現，也能夠就此意識到：正多邊形不僅僅涉及邊長相等，同時包括內角度數相等.只有滿足上述兩個條件之后，才能真正判定這一結論.通過這樣的學習方式，能夠使學生養成良好的思考習慣.

基于反例教學，有助于提升學生思維的發散性.在教學中，教師應借助科學的訓練方式，強化學生對知識的認知.通過反例教學，能夠提升學生思維的發散性，使學生可以考慮到更多的方面及更多的內容，立足于不同的情況，選擇不同的解題方式，這樣才能夠幫助學生高效地掌握知識，也能夠在考試或集中訓練的過程中，快速找到正確的解題方法.

總之，在初中數學教學中，恰當且靈活地運用反例這一教學方式，能夠幫助學生更全面、更深刻地理解數學概念，高效地掌握知識，同時有助于突破思維定式，自主發現問題，自主糾正錯誤，既有助于促進發散思維的發展，也有助于提升邏輯思維的嚴謹性.所以，教師必須加強對反例教學的研究，這樣才能做到靈活運用，恰當運用.