代數(shù)中新定義問題探秘

浙江省嘉興市秀洲區(qū)洪合鎮(zhèn)中學 張佳萍

新課程標準指出，在數(shù)學課程中，應注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識……運算能力、推理能力等.數(shù)感指感悟數(shù)與數(shù)量，體會數(shù)量關(guān)系，估計運算結(jié)果，數(shù)感能幫助學生理解實際生活中數(shù)的意義，表述其中的數(shù)量關(guān)系.符號意識指用符號表示數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，通過運算和推理，得出一般性結(jié)論，其有助于學生的數(shù)學表達和數(shù)學思考.代數(shù)中的新定義問題，是培養(yǎng)學生的數(shù)感與符號意識的有效載體，要求學生學會用數(shù)學符號定義新概念、新運算.代數(shù)中的新定義包括：有理數(shù)中的新定義、方程中的新定義、不等式中的新定義、函數(shù)中的新定義等.下面做一探討，供參考.

一、有理數(shù)中的新定義問題

有理數(shù)的運算結(jié)果，需要確定兩個方面的內(nèi)容，一是符號問題，二是絕對值問題，加法運算律與乘法運算律對于有理數(shù)同樣適用.對于有理數(shù)運算，也可規(guī)定一些新運算，即注明新運算與舊運算之間的關(guān)系，然后，讓學生實施運算，它不僅考查學生有理數(shù)的運算能力，而且考查學生學習新知識的能力.

例1認真觀察下面的算式，從中找出規(guī)律，用找到的規(guī)律解答問題，紅紅發(fā)明了這樣一種新的計算方法，符號為“※”，意義為加乘，按照這種計算的方法做了以下6次運算：

（+4）※（+2）=+6；（-4）※（-3）=+7；（-5）※（+3）=-8；（+6）※（-4）=-10；（+8）※0=8；0※（-9）=9.

問題：

（1）由上面6個算式，我們可以得到加乘運算應這樣進行：兩個數(shù)加乘，結(jié)果是什么？當0與一個數(shù)加乘時，結(jié)果又是什么？

（2）在加乘運算中，括號的作用與常規(guī)運算的作用一樣，請計算下列算式：［（-2）※（+3）］※［（-12）※0］.

（3）對于加法的交換律與結(jié)合律，加乘運算是否同樣可以使用呢？請用實例進行說明.

解析：（1）兩個數(shù)加乘，同號時結(jié)果的符號為正號，異號時結(jié)果的符號為負號，把這兩個數(shù)的絕對值相加作為結(jié)果的絕對值，當0與一個數(shù)加乘時，結(jié)果都為正號，絕對值是這個數(shù)的絕對值.

（2）［（-2）※（+3）］※［（-12）※0］=（-5）※12=-17.

（3）加法交換律仍然適用.例如（-3）※（-5）=8，（-5）※（-3）=8，所以（-3）※（-5）=（-5）※（-3）.故加法交換律仍然適用.

評注：本題的加乘運算，符號借用了有理數(shù)乘法運算的符號法則，絕對值借用了有理數(shù)加法運算的絕對值法則，也是從符號與絕對值兩個角度確定結(jié)果，但本題只研究了兩個數(shù)的加乘運算法則，學生可以繼續(xù)研究多個有理數(shù)的加乘運算法則.

二、近似中的新定義問題

表述一個近似數(shù)的近似程度有兩種方法，一是精確到某一位，二是有幾個有效數(shù)字.一個數(shù)取近似值時，一般采用的是四舍五入法，我們也可以反過來，由近似數(shù)倒推真值，此時只能推得真值的取值范圍，下面的例題對此進行了深入研究，并建立了近似數(shù)方程.

例2對于一個不是負數(shù)的數(shù)，如果四舍五入到整數(shù)，其結(jié)果記為［x］.也就是說，當x是正數(shù)或0時，若，那么［x］=n.如：［2.9］=3；［2.4］=2……根據(jù)以上材料，解決下列問題：

（2）若［2x+1］=4，則x的取值范圍是______；

解析：（1）［1.8］=2，［］=2.

評注：在解答第（3）小題時，采用了換元法，將等號右邊的代數(shù)式設(shè)為m，先求得m的取值范圍，再得到x的值，充分利用了m是整數(shù)這一特點，是一種巧妙的解題方法.

三、函數(shù)中的新定義問題

我們把形如y=kx+b（k≠0）這樣的函數(shù)叫作一次函數(shù)，它們具有相同的性質(zhì)與圖像形狀，我們把它們歸為一類，命名為一次函數(shù)，二次函數(shù)、反比例函數(shù)與此同理.一個函數(shù)圖像經(jīng)過圖形變化后，兩個函數(shù)之間有了一定的關(guān)系，或一個函數(shù)按固定規(guī)則變化后，兩個函數(shù)之間也有一定的聯(lián)系.這就是函數(shù)中的新定義問題.

例3我們定義：設(shè)拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為M，以點M為對稱中心，作拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關(guān)于點M成中心對稱的拋物線C，那么，拋物線C稱為原拋物線的“影象拋物線”，點M叫作“影象中心”.

（1）求拋物線y=2x2-3關(guān)于原點O（0，0）的影象拋物線的解析式.

（2）已知拋物線y=ax2+2ax-b（a≠0）.

①若拋物線y的影象拋物線為y′=bx2-2bx+a2（b≠0），兩拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，求a、b的值及影象中心的坐標.

②若拋物線y關(guān)于點（0，k+12）的影象拋物線為y1，其頂點為A1；關(guān)于點（0，k+22）的影象拋物線為y2，其頂點為A2……關(guān)于點（0，k+n2）的影象拋物線為y2，其頂點為An（n為正整數(shù)）……求AnAn+1的長（用含n的式子表示）.

解析：（1）由拋物線y=2x2-3的頂點為（0，-3），得拋物線的頂點坐標（0，-3）關(guān)于原點（0，0）的對稱點為（0，3），則影象拋物線的頂點坐標為（0，3）.由于影象拋物線開口大小不變，方向改變，故二次項系數(shù)與原二次項系數(shù)互為相反數(shù)，則影象拋物線的解析式為y′=-2x2+3.

（2）①拋物線y=ax2+2ax-b=a（x+1）2-a-b，則此拋物線的頂點坐標為（-1，-a-b）.由拋物線y的影象拋物線為y′=bx2-2bx+a2=b（x-1）2+a2-b，得此函數(shù)的頂點坐標為（1，a2-b）.由兩個拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，得則a=0（舍）或a=3，b=-3，則拋物線y的頂點坐標為（-1，0），拋物線y的影象拋物線的頂點坐標為（1，12）.又影象中心為兩頂點連線的中點，則影象中心的坐標為（0，6）.

②拋物線y=ax2+2ax-b的頂點為（-1，-a-b）.點（-1，-a-b）關(guān)于點（0，k+n2）的對稱點為（1，a+b+2k+2n2），則拋物線yn的頂點為An（1，a+b+2k+2n2）.同理，點An+1（1，a+b+2k+2（n+1）2）.則AnAn+1=a+b+2k+2（n+1）2-（a+b+2k+2n2）=4n+2.

評注：本題中的“影象拋物線”實際上就是關(guān)于某個固定點的中心對稱拋物線，所以在解答過程中，使用了中心對稱的性質(zhì)及拋物線的性質(zhì)，如：成中心對稱的兩個圖形全等，拋物線y=a（x-h）2+k的頂點坐標為（h，k）等.

四、不等式中的新定義問題

初中階段學習了一元一次不等式及不等式組的解法和應用，解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程相同，都使用了相同的變形方法，如移項、合并同類項、系數(shù)化為1、去分母、去括號等，但一元一次不等式的解集是一個取值范圍，包含多個解，而一元一次方程的解只有一個值，當不等式的解集中包含有一元一次方程的解時，它們之間就有了一定的聯(lián)系.

例4若一個一元一次不等式組的解集所包含的解中，有一個一元一次方程的解，那么這個一元一次方程叫作這個不等式組的共謀方程

解析：（1）解方程3x-1=0，得；解方程得；解方程x-（3x+1）=-5，得x=2；解不等式組所以不等式組的共謀方程是③.

評注：此題中的共謀方程是方程與不等式聯(lián)系的紐帶，通過這個新定義，同時考查了學生解方程與解不等式組的能力.

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學，數(shù)學的發(fā)展關(guān)乎人類進步與社會發(fā)展，如今的大數(shù)據(jù)時代，在社會生產(chǎn)與平常生活中，數(shù)學的重要性越來越顯現(xiàn)，特別地，當數(shù)學與互聯(lián)網(wǎng)相結(jié)合時，數(shù)學為人類和社會創(chuàng)造了非凡的價值，代數(shù)中的新定義問題，旨在培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，在看似毫不相關(guān)的數(shù)學概念之間建立聯(lián)系，從而開發(fā)出新知識、新領(lǐng)域，這是數(shù)學寄予新時代青年的厚望.F