數學啟發式教學的幾個原則*

四川省內江師范學院數學與信息科學學院 尤 娜 熊 露 趙思林

一、數學啟發式教學的意義

兩千多年前，中國古代偉大的思想家和教育家孔子提出了“不憤不啟，不悱不發.舉一隅不以三隅反，則不復也”.就在同一時期，古希臘的蘇格拉底首創了“產婆術”.這些都是啟發式教學思想的源頭與體現.后來，中國宋代的朱熹提出了“由學論教”的教學思想，著名教育家葉圣陶先生指出：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機誘導”，這些也蘊含啟發式教學的思想.

經過長時期反復的實踐證明，啟發式教學仍然是最有效的教學理論之一，它不僅符合八大教學原則，而且嚴格遵循教學的基本原理.2019年7月9日，國務院新聞辦公室舉行新聞發布會，就《關于深化教育教學改革全面提高義務教育質量的意見》（以下簡稱《意見》）明確指出，啟發式教學是結合新時期教育改革下最高效的教學模式之一.這不僅確立了啟發式教學的合法地位，而且具有較好的可操作性.數學是研究數量關系和空間形式的科學，廣義來說數學是思維的科學.這就決定了數學具有高度抽象性、嚴謹邏輯性和廣泛應用性.因此，數學教學應以積累數學思維經驗、生成數學思維素養為目的.長期的教學實踐經驗表明，生成數學思維素養的捷徑是實施數學啟發式教學.數學啟發式教學的本質是以學生自主解決、發現問題為主，教師引導點撥、創設問題引導為輔.

二、數學啟發式教學的現狀

自新課改以來，隨著“自主式”“探究式”“合作式”等主流教學模式的廣泛使用，講授法受到批判，致使數學啟發式教學有逐漸削弱之勢，這對學生理解數學知識、激發學生思維造成了不利影響.《意見》強調“教師一定要創新教育教學方式”，將傳統的填鴨式教學模式變為啟發式、互動式、探究式教學形式.這里把啟發式教學形式排在了互動式、探究式教學形式之前，有幾層意思：一是啟發式是一種基礎的教學形式，啟發式在互動式、探究式中也會用到；二是突出了啟發式的重要地位，因為啟發式比互動式、探究式更重要，每節課都可以用啟發式，但并不是每節課都適合用探究式，有些課也并不適合用互動式；三是與啟發式密切相聯系的講授法仍然是中學數學教學的主要方法.對于教師教學的要求更加具體、嚴格，注重培養學生的學習能力和創新思維，提升學生綜合素質，力求使學生全面發展.因此，根據我國數學課堂的現狀及課改要求，實行啟發式教學顯得格外重要.

數學學習是學生認知、情感和諧統一的過程.結合數學學科的特點，數學學習是枯燥乏味且困難的.對此，數學教學非常需要和適合采用數學啟發式教學.數學啟發式教學是以學生已有認知結構為基礎，以開啟、點撥和激發學生數學思維為核心，以情境、問題和教育技術為手段，以激發學生學習動機和學習興趣為目的的一種教學思想方法.

運用數學啟發式教學除了要面向全體學生、把握好“火候”、掌握好啟發的“度”，還應遵守一些教學原則.

三、數學啟發式教學的原則

1.動機激發原則

激發學習動機是一切教育（教學）的首要任務.沒有動機的學習是“無心”的學習、低效的學習.鑒于洛克提出的目標設置理論，學習動機對學習效果具有積極的影響.產生學習興趣的第一步是有明確的學習目標，目標實現階段中所獲得的成就感是維持學習的動力.學習成就感、學習目標、學習興趣均是學習動機的表現狀態，內在動機（學習興趣）與外在動機（學習成就感、學習目標）是推動持續學習的因素.學習目標與認知需求，促使學生化被動學習為主動學習，從而提高學習效率.約翰·哈蒂（John Hattie）教授歷時15年對數億名學生的調查研究發現，注意力、情緒、動機等非智力因素是影響認知發展的核心因素.即學習除智力因素外，與學生個人情感也有關系，主要在于：學生是否愿意學、是否想學、是否主動學習.因此，課堂中數學啟發式教學的前期過程，教師應采用多元化方法（動態演示、圖表變化、直觀事實、趣味游戲等）以形象、具體的環節引入，創設生動、有趣味的課堂氛圍引發學生學習興趣，啟發學生的內在動機（興趣、情感等）.此外，教師還需明確告知學生數學的價值、意義及應用，啟發學生樹立數學學習目標，轉化為自身的知識需求.后期啟發教學中，需注意讓學生在數學學習中獲得成就感，如在設置例題時由淺入深，讓學生體驗成功，以此持續刺激學生的學習動機.

2.思維激活原則

皮亞杰說過“教育的最高目標是培養具有邏輯思維能力和掌握抽象復雜概念能力的人”，那么在教學中培養學生的邏輯、抽象等數學思維有舉足輕重的地位.“數學是思維的科學”啟示大家，數學教學是數學思維的教學.數學是知識教學，更是思維教學.激活學生的數學思維是數學教學的根本任務.數學啟發式教學是激活數學思維的良策妙方.

數學啟發式教學是數學思維活動的發生和發展過程.在教學過程中，激發學生的思維點、擴展學生的思維度，啟發學生深入思考、活躍思維，循序漸進地引導，培養學生的數學思維.如：方程及不等式的應用中，關于x的不等式組為已知x的整數解有3個，求a的取值范圍.利用數軸表示變量與常量的關系，誘導學生發現其中的聯系，啟發學生用點的位置尋找思路.運用情境引入、語言誘導、問題驅動、典例講解等方法，可激活學生數學知識本身所含有的直觀性、聯想性等思維，可培養數學創新、數學邏輯等深度思維.深度思維指一個層次性的啟發過程.數學啟發式教學中，利用數學情境的創設、問題串的引導、恰當的質疑和直觀存在的實物，在學生思考中循序漸進地啟發，擴張思維的深度及寬度.

3.情境憤悱原則

數學情境是學生從事數學學習活動的環境，產生數學學習行為的條件.情境可激發學習興趣、引導探究性學習、搭建知識“橋梁”.著名心理學家維果茨基提出的最近發展區理論：學生在借助成人的幫助所能達到的能力水平與在獨立活動中所達到的能力水平區域.教師創設情境，提供條件以助力學生在離知識最近的地方可以依靠自身現有能力獲取知識成果.而特定、恰當的情境中啟發學生思維會有事半功倍的效果，其中“憤悱”情境為最.

“憤悱”指認知和情感處于“欲知還未知、欲言還未能”的困惑狀態，就是在學生已有認知結構中創設困惑情境，學生呈現一種對知識似懂非懂的朦朧狀態，引導學生從舊知遷移到新知的思考過程.而“只知其一、不知其二”“知而不行”都可作為“憤悱”的另一種牽引，對知識理解的不全面性，或不會運用知識解決問題，這些均為學生困惑的表現形態.對此，啟發式數學教學的問題設計中，可結合日常生活、社會現象、當下熱議話題來創設“憤悱”情境.相比于傳統的講授法，不僅可以激活學生已有的認知結構，還可以與學生現有知識和經驗產生關聯，為學生在已有知識和需要學習知識的間隔中搭建平臺，引導學生打開思維，幫助學生進行知識的遷移、思維的過渡.鑒于此，教師需在教學中明確解題的依據、概念的由來、問題的應用，使學生在思考過程中有跡可循、有據可依.

4.問題驅動原則

問題是數學的心臟，也是數學啟發式教學的心臟.優質問題的設計，在教學中有不可或缺的重要性，啟發式教學更是如此.問題是激發學生思維、引導學生深入思考的“著火點”.鑒于此，在教學中將知識問題化，即設置若干個問題按一定順序串聯成一個問題系列.

例如，小明、小紅相約9點到10點在學校門口見面，先到的人等待半小時后可自行離去，假設兩人均不失約，碰面的概率為？

（1）以日常生活為經驗，在什么情況下兩人可以碰面？

設計意圖：分組進行討論，以生活實例引入遷移教學，創設問題情境形成認知沖突，激發學習動機.

（2）兩人到達學校的時間差值小于半個小時（事件A），可以用一個變量表示嗎？

設計意圖：點撥思路，誘導學生定向猜想，描繪出數學模型，學生即可明白一維數軸不能解決問題.

（3）小明到達的時間為x，小紅到達的時間為y，該如何建立它們的關系呢？

設計意圖：直觀刻畫圖像，激活學生思維，啟發學生的深度思維.兩人出現時間的關系，即對應的坐標系第一象限中60×60的正方形區域（圖略），代表事件發生的所有可能性.

（4）事件A在圖像中是如何表示的？

設計意圖：步驟性引導學生刻畫知識，得出事件發生的區域為正方形中y=x-30和y=x+30兩條直線所夾中間的陰影部分（圖略）.

創設一系列問題情境，激發學生動機，激活學生思維，使學生在分析、思考、解決問題中體驗成就感，逐個突破難點，在層次性啟發學生完成認知結構的建設過程中培養學生的數學思維.

5.難點突破原則

啟發式教學的運用需要抓住知識中將問題集中在“牽一發而動全身”的難點.可以表述為一個概念中承上啟下的知識點，在這里點撥學生，打通學生的思維阻礙，有利于貫通上下知識的聯系.同時，啟發學生對后面所學課程的思考.宋代理學家朱熹在詮釋孔子的“憤徘術”啟發的實質時，強調了啟發的精髓在于對時機的把握.啟發的時機過早，學生的思維得不到鍛煉，啟發時機過晚，學生感到困惑不堪，失去學習興趣，啟發時機的把握是能否點撥學生思維的關鍵.

例如，幾何在初中數學學習中有重要地位，平面解析幾何在中考中占比較大.幾何圖形可以稱作整個初中乃至高中數學學習中一個關鍵點、難點、啟發點.因此，運用數學啟發式教學（如幾何教具、幾何畫板、動手實踐）培養學生的幾何空間思維顯得格外重要.

6.質疑反思原則

思維起于叉路的疑難，起于兩歧的取舍.這表明，思維的活躍不會平白無故發生，而激活思維的著力點指非認知結構中的困惑處，也就是在已有知識和經驗中，由外界的疑問對知識產生疑惑導致產生新認知需求.即質疑是開啟學生思維器官的鑰匙.然而，大多數學生甚至教師都缺乏這種質疑思維，對以書面呈現的數學知識深信不疑.教材（人教版初中數學）使用多年，可其中的小問題、小瑕疵近來才有學者指出，對教材中體例編寫、內容設置前后不一致的情形進行質疑反思.鑒于此，教師在教學中應根據學生已有的知識體系與經驗，在學生思考中利用追問、拷問、反問的語句，如這樣是否嚴謹，還可以更簡練嗎，解題思路有邏輯問題嗎，這里面蘊含什么數學思想和數學方法，這些問題可以優化學生的思維.

上述教學原則不宜孤立使用，而應根據教學內容、內容難度、教學目標等綜合地、靈活地、創造性地使用，才能真正達到啟發式教學的目的和良好效果.