反證法的教育價值與教學建議*

內江師范學院數學與信息科學學院 王滟林

內江師范學院數學與信息科學學院 熊 露

內江師范學院數學與信息科學學院 趙思林

反證法既是證明數學命題（猜想）的常用方法，也是解決數學探索性問題的通性通法，還具有發現數學知識的功能.雖然“反證法是數學重要的基本方法”得到了數學家們的普遍認同，但從近年來中學數學教學的實際來看，一些教育專家并未充分認識到反證法的教育價值，大有弱化或淡化反證法的趨向.

一、反證法的教育價值

反證法的教育價值包括文化價值、思維訓練價值、方法論價值與應用價值等.

（一）反證法的文化價值

1.反證法的產生

反證法的形成經過了漫長的時間.反證法的思想啟蒙可以追溯到古希臘.古希臘的數學在畢達哥拉斯學派的影響下，人們認為宇宙圖式是由整數和幾何圖形構成的.但隨著等問題的出現，希臘人開始重新審視數學，放棄了以數為基礎的幾何.這一次數學危機使希臘人意識到不能只依靠圖形和直觀來認識和看待數學，而是需要更多的理論推理與邏輯.此階段的希臘數學倡導以證明為主，他們追求邏輯嚴密的數學，或者說他們要求數學具有邏輯的嚴密性.所謂數學的邏輯嚴密性是指：不是要近似的數學，而是要對數學命題給出嚴格的證明以保證命題的準確性，邏輯的嚴密性不能只依靠直觀，需有嚴密的邏輯推理作論證.其表現形式是：邏輯嚴密，演繹的體系.希臘人除了重視邏輯和演繹證明，也搞數值計算（尤其是希臘后期）.希臘人認為數值計算是一種理論證明后的運用，這一觀點到現在來看也是正確的.古希臘人的“數學證明不要近似，不靠直觀，而是靠嚴密的邏輯推理”的理念，對2000多年來的數學發展產生了極為深遠的影響，直到今天其影響仍然存在.

邏輯學是研究思維規律的科學.古希臘人2000多年前就非常重視邏輯學的研究與應用，并由此而產生了歐幾里得的《幾何原本》.西方邏輯學始于柏拉圖，并在亞里士多德時期極盛.柏拉圖認為數學應從簡單明了的絕對假設開始，通過一系列的邏輯推理來得出所求結論.柏拉圖的假設法具有重要的歷史意義，并且在邏輯方法上是亞里士多德的先驅.H·伊夫斯在《數學史概論》中寫道：“…薩謝利讀歐幾里得的《原本》，簡直讓其得力的歸謬法迷住了，…在薩謝利的《邏輯證明》一書中，有創建的是：把歸謬法應用于歐幾里得平行公設的研究.”這里面的歸謬法雖然不是完全意義上的反證法，但是一種排除錯誤情況的方法.雖然沒有形成反證法，但這種論證方法（歸謬法）為反證法的發展奠定了思想基礎.

2.反證法的發展

反證法最早由古希臘哲學家、數學家埃利亞派的芝諾發明，其含義是“歸于不可能的（reclucito ad impossible）方法”.芝諾被亞里士多德譽為辯證法的發明人.公元前330年，歐幾里得在證明“兩線相交，只有一個交點”時運用了反證法.歐幾里得在編寫《幾何原本》時也運用了反證法.在公元前400年，歐多克斯運用反證法證明了“圓錐、棱錐的體積是等底、等高的圓柱、棱柱體積的三分之一”.1589年意大利物理學家伽利略應用反證法推翻了維系近兩千年之久的古希臘哲學家亞里士多德關于“不同重量的物體從高空下落的速度與其重量成正比”的斷言.

（二）反證法的思維訓練價值

作為一種常用的數學證明方法，反證法是通過證明論題的否定命題的不真實，從而肯定原論題真實的證明方法.反證法不僅具有廣泛的應用價值，而且具有良好的思維訓練價值，被譽為“數學家最精良的武器”.反證法的思維訓練價值體現在以下幾方面：一是弄清反證法的理論體系，需要系統學習、理解內化、遷移應用，這都必須要動腦筋；二是反證法在各種數學問題情境下的廣泛應用為學生鍛煉數學思維提供了用武之地，因此可以說，反證法是鍛煉數學思維的體操；三是反證法有固定的解題模式（三步：反設—歸謬—結論），讓學生“有章”可循，可以有效地鍛煉學生的邏輯思維；四是反證法可以鍛煉逆向思維，由于反證法的第一步“反設”（或“假設”），實質是對論題（命題的結論）進行否定，這就涉及逆向思維，在證明了“論題的否定命題的不真實”后，再否定第一步所做的“反設”（或“假設”），這里又要用到逆向思維，也就是說，使用反證法需要兩次用到逆向思維，這對訓練中國國民的逆向思維是有好處的，還有應注意到逆向思維蘊含創新思維的特點；五是反證法的“歸謬”方法從理論上講可以有很多種甚至有無窮多種，這顯然可以訓練學生思維的發散性和靈活性；六是介紹“用反證法的思想導致非歐幾何的發現”這個經典故事，讓學生了解反證法的發現（數學）功能，可以激發學生的創造性思維；七是反證法提供了從論題（事物）的反面思考問題和解決問題的一種思維范式，這種思維范式不僅是解決問題的有力工具，而且是具有普適性的思維方法，更是激發創新思維的重要手段；八是反證法的思維模式暗含質疑和批判性思維，這無疑能培養學生的質疑批判精神，有效地訓練學生的批判性思維.此外，反證法可以解決大量的存在性、探索性問題，這無疑能訓練學生的探索性思維、數學抽象思維、邏輯思維、算法思維、數學模型思維等.可見，反證法是訓練數學思維的有效載體.

（三）反證法的方法論價值與應用價值

數學方法論主要是研究和討論數學的發展規律、數學的思想方法及數學中的發現、發明與創新等一般法則的一門學問.反證法的方法論價值體現出反證法是一種全息方法，既具有解決一些數學疑難問題（如證明題）的功能，又能解決數學探索性問題，還具有知識發現的功能.數學命題的證明既是理解數學命題的重要方法，又是數學教學的難點.特別是學生學習數學普遍害怕數學證明.對此，可考慮借助反證法來突破數學證明這個教學難點.很多數學證明的問題（猜想）用直接證法會比較困難或麻煩，如立體幾何中直線與平面平行的判定定理的證明至今尚未看到直接證法，這時采用反證法是最佳的選擇.

用反證法可以證明許多數學命題.有人比較系統地總結了適合用反證法證明的幾類問題：（1）待證命題的結論以否定判斷（如“沒有……”、“不……”，等）形式出現；（2）待證命題的結論屬于“唯一性”的命題；（3）待證命題的結論是無限的，結論涉及的對象無法一一列出；（4）一些不等式命題的證明；（5）待證命題的逆命題是正確的；（6）待證命題的結論以“至少”或“至多”等形式出現；（7）幾何學中的一些判斷定理（如直線與平面平行的判斷定理，平面與平面平行的判斷定理等）；（8）某些命題直接證明比較困難或麻煩等.

反證法（的思想）是解決數學探索性問題的通性通法，但這個理論在教學中并未得到應有的重視.數學探索性問題是培養和考查學生數學探究意識、探究能力和創新意識的典型問題.數學探索性問題的范式：“是否存在…，使得…？如果存在，求出…；如果不存在，請說明理由.”解答這類探索性問題一般可以考慮使用反證法.

反證法具有知識發現的功能，一個最著名的例子就是數學家用反證法的思想發現了非歐幾何.數學家在2000多年里總是想方設法去直接證明歐幾里得幾何的第五公設（平行公理）的正確性，但均以失敗告終，由此數學家對第五公設（平行公理）的可證明性產生了懷疑，一些數學家就產生了“第五公設不可以證明”的想法，最終由數學家羅巴切夫斯基、波爾約等各自利用反證法的思想發現并提出了非歐幾何.非歐幾何的誕生充分體現了反證法的思想價值.

反證法是學習高等數學不可替代的數學基本方法之一.如在數學系的三門基礎課程《數學分析》《高等代數》《解析幾何》中，反證法有數十次的應用.以張禾瑞主編的《高等代數（第五版）》為例，該書中運用反證法去證明的定理不少于15個、例題不少于4道、課后習題不少于10余次.這在一定程度上說明了反證法對學習高等數學的重要性和必要性.反證法對學習其他所有的高等數學課程幾乎都是必要的.因此，從學生終身學習的角度看，反證法是學生終身學習應具備的數學核心素養.

二、反證法的教學難點分析與教學建議

（一）反證法的教學難點分析

反證法是公認的教學難點.認準難點方可因“難”施教.我國反證法教學困難的原因是多方面的.

我國反證法的教學困難之一在于受古代數學文化及思維習慣（慣性思維）的消極影響.中國古代數學長期對演繹證明不重視，加之中國古代的邏輯學不完備.致使中國沒有將演繹推理更近一步地向反證法發展.從嚴格意義上講，中國古代并沒有真正運用過反證法，即是說，中國古代數學文化的基因中缺少反證法這個“精良的武器”.又因反證法可培養人的理性思維，因此，我國適當加強反證法的教學對培養學生的理性思維是有益的、必要的.

對反證法的科學性、正確性的認識，依賴于反證法的邏輯基礎.反證法的邏輯根據是：“p→q”≡“?（p∧?q）”（注：此公式可用真值表來證明）.這個公式表明，蘊涵式“p→q”與“?（p∧?q）”同真同假，即欲證明“p→q”為真，當且僅當“?（p∧?q）”為真.借助于基本邏輯聯結詞“蘊涵”，反證法的步驟可解釋如下：第一步，否定（“若p，則q”）：p∧?q；第二步，推理：p∧?q?矛盾（“?”表示“推出”）；第三步，否定（p∧?q）：“p∧?q”假，則“?（p∧?q）”真，又由于“p→q”≡“?（p∧?q）”，故“若p，則q真”.可見，反證法的本質是通過證明該“論題的否定為假”，從而斷言該“命題為真”.因此，“論題的否定”、“正確的推理”、“（構造）矛盾”是反證法的三個要素.即使把這些理論都教給學生，恐怕很多學生也難以全部理解.況且，我國高中學生沒有學習基本邏輯聯結詞“蘊涵（若p，則q；或p→q）”，導致教師沒有辦法給學生講清楚反證法的邏輯依據，從而，學生也就沒有辦法真正理解反證法的理論與方法.也可以說，我國高中學生對反證法是“只知其然但不知其所以然”，學生處于半懂不懂的狀態.這可能是我國反證法教學的一個先天性缺陷（問題），也是反證法難教難學的一個根本原因.其實教材可以以“閱讀材料”的方式把反證法的邏輯基礎講清楚，讓學有余力的學生自主學習.

反證法的邏輯依據具有理論深刻、概念抽象、符號繁多、認知加工困難等特點，并且與學生潛意識及日常生活經驗有較大距離，學生難以建立學習反證法的最近發展區，教師也難以采用最近發展區理論施教，這就容易造成反證法的難教難學.因此，只有通過有意識的訓練，學生才能掌握反證法.

反證法理論本身既屬于陳述性知識又屬于程序性知識，在解決具體問題時還要用到認知策略知識.因此，反證法是多種知識的綜合體現.這也是造成難教難學的重要原因.

教學經驗表明，不少學生只是基本理解反證法的一般步驟，但有相當一部分學生對使用反證法的時機把握不準.學生在運用反證法時容易出現下面的問題：一是反證法的理論依據弄不明白；二是什么樣的命題可使用反證法；三是對反證法中的“反設”不理解；四是反證法中的“歸謬”方法出現障礙或困難，從理論上講，反證法的歸謬方式有無窮多種，學生很難理解.

我國許多學生不善于應用反證法與教材編寫、考試要求、老師水平有密切關系.由于高中教材淡化了反證法的內容并減少了典型例題，在考試中對反證法知識點的考查較少，因此，教師對反證法的教學也淡化了，直接導致學生的學習時間和內容都相對不足，從而導致學生缺乏應用反證法解題的思維活動經驗.

（二）教學建議

打好反證法教學的基礎，具體體現在以下幾個方面：一是系統介紹基本邏輯聯結詞“蘊涵”，了解反證法的邏輯依據；二是掌握反證法解題的一般步驟；三是解題時要正確分清題設和結論，找準命題的結論，強調反證法中的“反”字，并能對結論（即論題）寫出正確的否定；四是讓學生了解反證法使用的范圍，如解某個問題若感到條件“不足”或無從下手時，不妨考慮使用反證法；五是適當講點反證法的故事（文化），一些歷史素材可作為教學素材，以提升課堂的文化品味；六是恰當運用陳述性知識、程序性知識、認知策略知識的教學原理，靈活選擇教學方法有針對性地施教和學習；七是輔以典型案例，教師做好問題分析、解題書寫等示范；八是適當增加教學時間，把教學進度慢下來，讓學生充分消化知識，掌握方法，感悟思想.

三、結束語

有助于培養學生核心素養的數學知識、方法、思想的數學是好的數學.反證法的思想深刻，方法普適，思維價值好，應用范圍廣，是學習高等數學重要的基礎知識.因此，反證法是好的數學，理應予以重視.但進入21世紀后，隨著課程改革的推進，對反證法的教學要求有降低趨勢，最近10多年來涉及反證法的高考考題越來越少，有時甚至干脆不考，并且在新修訂的《普通高中數學課程標準（2017年版）》中，“反證法”這三個字甚至沒有直接出現在“必修課程”“選擇性必修課程”之中，這是不太正常的事.對此，許多一線中學教師和大學教授都頗為擔憂.因此，我們建議在下一次修訂課標時，將反證法納入必修課程，但教材和高考都應控制題目數量和難度，讓更多學生能夠學好反證法、掌握好反證法，為學生今后學習高等數學打好基礎.