例談分類討論思想在高考函數壓軸題中的滲透

☉海口中學 劉 兵

分類是我們認知事物的必要過程和手段，是自然科學研究中的基本邏輯方法.當我們研究的對象不能按照某一個特定的規則來統一衡量時，就需要對所研究的對象按照一定的標準進行分類，分別研究每一類對象的性質特征，把整體問題分割化，把復雜問題簡單化，最后再進行整合.因此，分類討論的本質是辯證法中一分為二、一分為多的唯物主義思想，對培養學生客觀、科學、辯證地認知事物大有裨益.

下面結合高考中常遇到的含參問題進行剖析，并闡述如何進行分類討論.

考查方向一、討論函數的單調性問題

討論函數的單調性問題是導數壓軸題中的重點問題、熱點問題以及難點問題.這類問題往往是討論不等式f′（x）＞0與f′（x）＜0的解的情況，其中會涉及的主要類型有：（1）方程f′（x）=0有無（增）根；（2）方程f′（x）=0的根的大小比較.

例1（2017年全國卷Ⅲ節選）已知函數f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x.

（Ⅰ）討論f（x）的單調性.

分析：先求函數的導數并進行因式分解，再根據各個因式的符號變化來討論函數的單調性.

解：由題意可知f（x）的定義域為

（1）若a≥0，則f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增.

綜上可知，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；當a＜0時，f（x）在上單調遞增，在上單調遞減.

評析：本試題第（Ⅰ）問的設計主要針對大部分考生，只要會準確運用求導公式進行求導及因式分解，從而找到導函數f′（x）的零點即可.本題的關鍵是在求導后的因式分解部分，這決定了后面能否正確地進行分類討論.考慮到x＞0，因式（x+1）＞0恒成立，故f′（x）的符號完全受因式（2ax+1）控制.在令f′（x）=0后得到2ax+1=0，進而得到x=

解此方程過程中就會出現兩個問題：

考查方向二、討論函數的零點問題

函數的零點問題是近年高考壓軸題中的熱點問題之一，它涵蓋了函數作圖、圖像變換及等價轉化等基本的技能，也考查了學生對函數與方程、化歸與轉化等基本數學思想方法的應用，能充分檢驗學生對有關函數章節知識的理解和數學基本功.函數的零點問題主要涉及以下幾個方面的相互轉化：函數的零點、方程的根、曲線的交點.而轉化的方向往往是將一個復雜的超越函數拆分為兩個初等函數，或者是將一個含參函數通過分離參數等手段變成一個常數函數與一個不含參的普通函數.解決這類問題的一般模式是：確定函數的定義域→討論函數的單調性→探究函數極值的符號→結合零點存在性定理得出最后的結論.這類題一般以中高檔題為主.

例2（2018年全國卷Ⅱ節選）已知函數f（x）=ex-ax2.

（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）只有一個零點，求a的值.

分析：解決含參函數的零點問題通常有兩種手段：其一，通過直接討論函數的單調性和極值符號，進而利用零點存在性定理即可得到結論.其二，可以采取分離參數法，將含參函數轉化為常數函數與一個不含參函數的交點問題.結合x∈（0，+∞）的條件，本題已具備了分離參數的條件.

解：函數f（x）=ex-ax2=ex（1-ax2e-x），令p（x）=1-ax2e-x，f（x）在（0，+∞）上只有一個零點等價于p（x）在（0，+∞）上只有一個零點.

（1）當a≤0時，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）不存在零點.

（2）當a＞0時，p′（x）=ax（x-2）e-x，由于x＞0，故令p′（x）＞0，可得x＞2；令p′（x）＜0，可得0＜x＜2.故p（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增.所以p（x）在x=2處取得最小值p（2）=

考查方向三、含參恒成立問題

含參恒成立問題也是高考中的熱點考查內容之一，主要考查函數的綜合性質，其中蘊含了多種數學思想方法，能客觀地反映出學生的數學基本功，同時也能考查學生分析問題和解決問題的嚴謹性.這類問題的本質是考查函數的最值問題，由于含有參變量，函數的最值往往會受參數的影響，問題的關鍵就轉化為研究參變量是如何影響函數最值的，只要這點討論清楚便可順利解決問題.

例3（2016年全國卷Ⅱ節選）已知函數f（x）=（x+1）·lnx-a（x-1）.

（2）若當x∈（1，+∞）時，f（x）＞0，求a的取值范圍.

分析：解決含參恒成立問題的一般邏輯是：探求充分性，證明必要性.f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，即f（x）min＞0，轉化為研究函數f（x）的最小值問題.

解：由題意可知，+1-a，則g′（x）=，故g′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立.所以f′（x）在（1，+∞）上單調遞增.而f（1）=0，所以要使得f（x）＞0恒成立，只需使f′（1）=2-a≥0，即a≤2.

一方面，當a≤2時，f′（x）＞f′（1）≥0，所以f（x）在（1，+∞）上單調遞增，且f（1）=0，所以f（x）＞0；

另一方面，當a＞2時，f′（1）=2-a＜0，且當x→+∞時，f（x）→+∞，則必存在x0∈（1，+∞）使得f′（x0）=0，從而當x∈（1，x0）時，f′（x）＜0，f（x）在（1，x0）上單調遞減，而f（1）=0，所以f（x）在（1，x0）上小于0，這與條件矛盾.

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，2］.

評析：在探求充分性時，一般結構為?a∈M，f（x）＞0，往往從最簡單的情形入手，如函數單調時的情況成立；證明必要性，若f（x）＞0，則a∈M.這個命題的證明往往難度比較大，采取的手段則是證明該命題的逆否命題成立，即證若a?M，則存在x0，使得f（x0）≤0，采取正難則反的手段，往往可以收到良好的效果.因此，在含參恒成立問題中的分類討論目標比較明確，就是討論結論恒成立和不恒成立這兩種情形.

總之，任何一種數學思想方法的滲透都是通過具體的數學問題來實現的.分類討論既是一種數學思想，也是一種解決問題的方法，可以和其他思想方法相互穿插滲透，如與數形結合、函數與方程等思想結合，形成綜合性極高的考題，這對學生的數學基礎提出了極高的要求.因此，只有平時夯實基礎，才能體會到數學思想方法的本質和精髓.