談高考中雙變元最值題的破解

☉浙江省磐安中學(xué) 曹桂菊

在歷年的高考題、競賽題、自主招生題及各類模擬題中，經(jīng)常會(huì)碰到涉及求解雙變元或多變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題.此類問題往往以雙變元或多變元的等式條件給出，進(jìn)而求解對應(yīng)的代數(shù)式的最值或取值范圍，結(jié)合如何從已知條件中的等式入手，并與所求的代數(shù)式加以有效聯(lián)系，難度較大，思維方式變化多端，破解方法有時(shí)也多種多樣.下面結(jié)合一道雙變元代數(shù)式的最值題來加以實(shí)例剖析，從多角度切入，多方位破解，進(jìn)而達(dá)到殊途同歸的目的.

一、問題呈現(xiàn)

【問題】已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則2a+b的最小值為______.

本題以復(fù)雜的形式給出兩正實(shí)數(shù)所滿足的等式，進(jìn)而求解相應(yīng)代數(shù)式的最小值問題.這類問題一直備受命題者的青睞，特別是已知等式的多樣化設(shè)置，既可以提升題目的難度，又可以為破解指明方向.關(guān)鍵是如何在已知條件下，通過認(rèn)真審視試卷，在不同視角下，得到該題的不同解題思維與對應(yīng)的精彩解法.

二、多解思維

思維方法1：待定系數(shù)法.

根據(jù)題目中的已知條件整理得到ab2（a+b）=4，設(shè)出2a+b=k＞0，可得代入已知關(guān)系式中消去參數(shù)a得到（k2-b2）b2=16，由此借助關(guān)系式的轉(zhuǎn)化或方程的建立，從基本不等式角度、方程的判別式角度來確定k的最小值，從而得以利用待定系數(shù)法破解代數(shù)式的最值.

解法1：由，可得a2b2（a+b）+4b=4（a+b），整理得ab2（a+b）=4.令2a+b=k＞0，則有0，將代入ab2（a+b）=4，則有，整理可得（k2-b2）b2=16.下面從三種角度進(jìn)行求解.

角度1：基本不等式法1.

角度2：基本不等式法2.

角度3：方程的判別式法.

將b4-k2b2+16=0視為關(guān)于參數(shù)b2的一元二次方程，且b2＞0，而判別式Δ=k4-4×16≥0，可得k4≥64.

思維方法2：平方法.

根據(jù)題目條件整理得到ab2（a+b）=4，結(jié)合這一定值條件，利用所要求解的代數(shù)式2a+b的平方轉(zhuǎn)化，從不同的角度利用基本不等式來確定（2a+b）2的最值，再結(jié)合2a+b＞0進(jìn)而利用平方法來破解代數(shù)式的最值.

解法2：由可得a2b2（a+b）+4b=4（a+b），整理可得ab2（a+b）=4，下面從兩種角度進(jìn)行求解.

角度1：基本不等式法1.

因（2a+b）2=4a2+4ab+b2=4a（a+b）+b2≥當(dāng)且僅當(dāng)4a（a+b）=b2，結(jié)合ab2（a+b）=4，即b=2，a=時(shí)等號成立.

角度2：基本不等式法2.

思維方法3：方程法.

根據(jù)題目條件整理得到ab2（a+b）=4，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)a的一元二次方程b2a2+b3a-4=0，結(jié)合求根公式得到參數(shù)a關(guān)于b的關(guān)系式，代入所要求解的代數(shù)式2a+b，通過轉(zhuǎn)化，利用基本不等式來確定其最值，進(jìn)而巧妙地借助方程法破解代數(shù)式的最值.

解法3：由，整理可得a2b2（a+b）+4b=4（a+b），故有ab2（a+b）=4，將b2a2+b3a-4=0視為關(guān)于參數(shù)a的一元二次方程，且a＞0，而判別式Δ=b6+16b2＞0，則以上方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.

思維方法4：換元法1.

根據(jù)題目條件整理得到ab2（a+b）=4，借助所要求解的代數(shù)式2a+b進(jìn)行合理換元，令a=x＞0，a+b=y＞0，求解x，y的關(guān)系式代入ab2（a+b）=4，將其轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)x，y的關(guān)系式，結(jié)合關(guān)系式的巧妙變形與轉(zhuǎn)化，并借助基本不等式來確定最值（x+y）2≥8，結(jié)合2a+b=x+y＞0進(jìn)而利用換元法來破解代數(shù)式的最值.

解法4：由，整理可得a2b2（a+b）+4b=4（a+b），故有ab2（a+b）=4，令2a+b=a+a+b=x+y，其中a=x＞0，a+b=y＞0，可得

由ab2（a+b）=4，可得xy（y-x）2=4，即，則有，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即xy=1時(shí)等號成立，則有（x+y）2≥8.由于2a+b=x+y＞0，所以有2a+b=x+y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)xy=a（a+b）=1，結(jié)合ab2（a+b）=4，即b=2，a=-1時(shí)等號成立.

思維方法5：換元法2.

根據(jù)題目條件加以巧妙換元，令x=ab＞0，y=a2＞0，進(jìn)而轉(zhuǎn)化已知條件，得到含有參數(shù)x，y的關(guān)系式，進(jìn)而得到關(guān)于y的表達(dá)式0，借助所要求解的代數(shù)式并結(jié)合（2a+b）2進(jìn)行處理與巧妙轉(zhuǎn)化，并借助基本不等式來確定最值，結(jié)合2a+b＞0進(jìn)而利用換元法來破解代數(shù)式的最值.

解法5：令x=ab＞0，y=a2＞0，由，可得，整理可得，則知x∈（0，2），則有

而（2a+b）2=4a2+4ab+b2=4y+4x+b2=當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，由于2a+b＞0，所以有2a+b≥，結(jié)合，當(dāng)且僅當(dāng)b=2，時(shí)等號成立，

通過對以上涉及雙變元代數(shù)式的最值問題的破解，借助待定系數(shù)法、平方法、換元法等方法，利用基本不等式、方程等相關(guān)的知識加以交匯與綜合，從而得以巧妙處理，正確破解，方法各異，奇思妙想，切入點(diǎn)不同，破解策略多樣.其實(shí)，涉及求解相應(yīng)的雙變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題時(shí)，其相應(yīng)的思維方法值得我們學(xué)習(xí)與系統(tǒng)掌握，并在此基礎(chǔ)上舉一反三，巧妙應(yīng)用，學(xué)會(huì)靈活變通，學(xué)會(huì)拓展提升.