與相等值點坐標有關的范圍問題

☉江蘇省興化中學 朱自梅

☉江蘇省興化中學 顧 衛

許多高考壓軸題是函數題，函數題的類型比較多，其中有一種類型是與函數的零點、極值點等相等值點的坐標有關的范圍問題，雖然這種類型的題難度大，不易求解，但是仍然存在解題規律，下面就舉例探討一二.

類型一：函數的極值點

例1已知函數f（x）=xlnx-，若f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求證：x1x2＞e2.

證明：由，得f′（x）=lnx-mx.因為函數f（x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），所以導函數f′（x）有兩個零點x1，x2.所以

小結：極值點是導函數的零點，因此先求導函數，從而得到x1，x2滿足的條件，進行比值代換，引進變量t，用t表示lnx1，lnx2，將二元變量問題轉化為一元變量問題，分析待證結論，將待證結論轉化為證明關于t的不等式，再構造函數，利用導數證明.

類型二：函數的零點

例2已知函數f（x），若函數f（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），求證：x1+x2＞2.

證明：因為函數f（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），所以

小結：由x1，x2為函數的零點得到x1，x2滿足的條件，進行比值代換，引進變量t，用t表示x1，x2，將二元變量問題轉化為一元變量問題，分析待證結論，將待證結論轉化為證明關于t的不等式，再構造函數，利用導數證明.

類型三：函數值相等的點

例3已知函數，其導函數為f′（x），若存在正實數x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2），求證：

證明：由f（x1）=f（x2），得，設（t＞1），則，所以etx1=tex1.兩邊取自然對數，得tx1=lnt+x1，所以所以由f（x），得，所以當x∈（-∞，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減.所以要證明即證明，即證明只需要證明設g（t）=lnt-則，所以函數g（t）在區間（1，+∞）上單調遞增.所以g（t）＞g（1）=0.所以當t＞1時成立，即

小結：由函數值相等得到x1，x2滿足的條件，進行比值代換，引進變量t，用t表示x1，x2，將二元變量問題轉化為一元變量問題，分析待證結論，將待證結論轉化為證明關于t的不等式，再構造函數，利用導數證明.從上面的例題可以發現，構造含lnt的函數，當lnt的系數為1時，證明會更簡便.

類型四：函數圖像的交點

例4已知函數，若函數f（x）與函數g（x）的圖像交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點，求證：x1x2-x2＜a＜x1x2-x1.

證明：因為函數f（x）與函數g（x）的圖像交于A，B兩點，所以

綜上所述，實數x1，x2滿足x1x2-x2＜a＜x1x2-x1.

小結：由A（x1，y1），B（x2，y2）為兩個函數圖像的交點，得到x1，x2滿足的條件，進行比值代換，引進變量t，用t，x1表示a，代入待證結論，將待證結論轉換為證明關于t的不等式，再構造函數，利用導數證明.

相等值點本質上都可以看作兩個曲線的交點，因而它們有相似的特性，可以用比值代換這種統一解法：列等式，進行比值代換，引進新變量，將原變量用新變量表示，分析待證結論，得到需證明的結論，再構造函數，利用導數知識加以證明.