高中數學教學中“一題多解”對學生思維能力的培養

☉山東省博興第二中學 趙魯輝

在時代的發展中，數學教學創造性思維的培養越來越重要，而“一題多解”的教學對學生思維的拓展和發散性思維的訓練有很重要的作用，對提高學生觀察問題、分析問題、解決問題的能力同樣起著不可忽視的作用.學生進行“一題多解”的過程是學生對高中數學新舊知識融會貫通的體現，教師要重視在習題演練過程中一題多解的應用，在新課程改革的浪潮下充分發揮學生的主體性作用，變思維定式為多角度、多層次、多方位思考.

一、通過“一題多解”培養學生的觀察力和想象力

在高中數學學習中敏銳的觀察力和數學想象力都很重要，前者是思維能力培養的首要因素，后者是思維能力培養的翅膀.對于觀察力來說，教師在設計課堂教學時要給學生提出明確而又具體的目的、任務和要求，同時教師要充當引導者對學生進行觀察與指導.比如要指導學生根據“一題多解”對題目進行觀察，教授學生有效的觀察方法，同時指導學生及時地對觀察的結果進行分析與總結等.在高三復習階段數學想象力的培養非常重要，“一題多解”的專題化訓練對于學生想象力的培養至關重要，但前提是要求學生要有扎實的基礎知識，只有對教材中的基礎知識掌握透徹了，思維能力才能得到最大開發.學習也要有地基，方法很重要，沒有地基也建不成高樓大廈.培養學生的想象力，首先，要使學生學好有關的基礎知識；其次，根據教材及專題化訓練，為學生提供有效的情境帶入，帶領他們的思維進行拓展，提供想象的空間，誘發學生的創造性想象；最后，還應指導學生掌握一些想象的方法，像類比、歸納等.

二、通過“一題多解”培養學生的發散思維和誘發學生的解題靈感

通過一題多解培養學生的發散性思維.在高中數學教學中，教師需要加強一題多解、一題多變、一題多思的教學.近年來新課程改革越來越重視對高中生數學思維能力的培養，特別是隨著開放性問題的出現，學生的思維能力得到有效提高，同時也增加了課堂教學的靈活多變，各種以學生為主體的教學方法層出不窮，“一題多解”就是其中較為有效的一種.

三、通過“一題多解”課堂引入談思維能力的培養

在高三的最后沖刺階段，有效的復習很重要，現用三角函數專題“一題多解”的開放視角引導學生進行探索.

師：已知△ABC的三個內角A，B，C滿足sin2A+sin（A-，面積S滿足1≤S≤2，記a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，則下列不等式成立的是（ ）.

C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24

對于這道題你們覺得應該怎樣來求解？

生：將條件sin2A+sin［（C-B）+A］=sin［（C-B）-A］+展開整理可得2sinA［-cos（C+B）+cos（C-B）］=?

故abc=8R3·sinAsinBsinC=R3∈

排除C，D.

因為b+c＞a，所以bc（b+c）＞abc≥8，故答案選A.

師：你們回答得很好，那你們思考一下作為△ABC的內角，∠A，∠B，∠C滿足什么條件？sin2A+sin（C-B+還可不可以發生變化？

生：三角形的內角和是180度，所以題目中的等式還可以轉化為

師：那么你們覺得這道題還可以怎么解呢？

師：其實我們在學習教材內容時，有很多新舊知識是銜接的，在解三角函數題時角的轉化很重要，那么同學們也學習過和差化積，將題目中的等式進行和差化積后變為=sin2A+2cos（C-B）sinA=2sinA［cosA+cos（C-B）］=4sinAsinBsinC.

那么你們想一下這道題能用和差化積解嗎？

師：其實我們遇到三角函數題時經常能通過和差化積進行解決，只是需要同學們對學到的知識點進行歸納總結，特別是新舊知識的綜合應用，不能將思維只停留在教材的某一個節點上.在進行解題時要思考三角函數中的射影定理、正余弦定理可以用來求解此題嗎？例如這道題：在△ABC中，，邊a，b，c滿足，求tanC的值.利用射影定理進行解題代入，得tanC=2.明顯步驟省略很多，也為解題節省了很多時間，要知道在數學考試中時間是很寶貴的.那么同學們思考一下，除可以應用射影定理之外，還能應用正、余弦定理進行解題嗎？

師：是的，正弦定理的應用使解題也更為容易.要知道我們若用傳統的方式來解這道題，步驟明顯較多.還有這道題：已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，求角A.

解法一：由正弦定理可知，所以，即sinAcosC=sinB+sinBcosA.

又因為在△ABC中，sinB=sin［π-（A+C）］=sin（A+C），sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，所以sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinBcosA，即cosA（sinC+sinB）=0.

又因為在△ABC中，sinC＞0，sinB＞0，所以cosA=0，即

這道題同樣能用正弦定理進行求解，同學們也看出來了，筆者寫的是解法一，那么這道題肯定有其他的解題思路，在教三角函數時老師講解了很多方法，你們應該能想到了吧！

生：（思考后）還可以運用余弦定理進行解題.

老師覺得大家已經掌握得很好了，但是有一句話說的好，“學無止境”，數學有很大的魅力，它可以放飛我們的思維，這條路走不通，我們就走另外的路，我們一定不能固定我們的思維模式，代數的轉化及相似比同樣可以應用到我們三角函數的解題思路中來.大家課后一定要對課本知識進行歸納總結，真正做到融會貫通，相信你們會有意想不到的收獲.

生：我們通過小組討論總結了一下這堂課所學的解題思路.總體思想是在三角函數的解題中，我們要考慮到基礎定理的運用、三角形中角的轉化、射影定理，以及相似三角形的相似比、數形結合思想的建立，我們知道對于三角函數的解題思路肯定不止這些，在今后的學習中會不斷鞏固自身的基礎知識并對經典例題進行歸納總結，就像老師所說的學無止境嘛！

四、總結

在數學教學中，教師還要鼓勵學生多問自己“這道題只有這種解法嗎？除了這種解法是否還有新的解題方法？這種方法是最簡潔的解題思路嗎？這道題和我學到的哪些知識點可以進行聯系？”學生的思維能力的培養是在多問、多思、多練、多看的過程中不斷形成的，而教師的作用就是通過“一題多解”的總體思路來引導學生這種思維能力的不斷提高.