數學解題教學設計的新視角
——以“國培計劃”安徽省初中數學骨干教師培訓為例

張 昆

（淮北師范大學數學科學學院，安徽 淮北 235000）

音樂人常常會發出這樣的疑問：有同樣的樂譜，也有非常相似的（或者就是用一個）樂器，為什么不同的演奏者會演奏出不同的音樂呢？與此相類比的問題是，對于數學教師來說，進入課程的數學知識一樣，數學教師在入行之前所進行的示范受訓也沒有多大差別，為什么不同的數學教師在數學教學設計及其課堂實施時卻出現不同的途徑與方法，從而相應地產生了不同的教學效果呢？為此，我們從教師培訓中的一個具體課例說起。

一、同課異構的一個課例

借助安徽省農村初中數學骨干教師“國培計劃”集中培訓的機會，作為培訓教師，研究者有意識、有計劃、有目的、有組織地仿照教科書與教師指導用書編制的數學教學內容，向受訓教師出示解決問題的答案，要求他們選擇教學策略與方法，先進行教學設計（需要分析教材、分析學情、分析教學目標、分析教學起點、分析后繼環節與選擇教學法的相關理論與理念等，這些要素的整合構成了數學教師的教學水平），然后依據這種教學設計模擬在課堂上無生授課。

基于這段教學內容及其規定的教學目標，研究者對受訓教師提出了兩項要求：其一，就這個問題進行教學設計；其二，就你的教學設計在課堂上進行模擬無生授課。

下面選擇三位受訓教師的三種典型的課堂教學模擬授課活動。（下文師生對話中的省略號表示受訓教師估計學生思維暫時中斷處。）

第一位教師（甲）的模擬授課采用的教學關鍵環節：

師：如何解決這個問題？

生：……

師：在比較兩個數的大小時，我們可以使用哪些基本方法？

生1：由于這兩個數都是正數，我們可以使用“數軸法”“作差法”與“作商法”。

師：很好！同學們使用這些方法試一試，看看可否解決問題？

（學生經由一輪運算，沒有獲得解決問題的具體途徑。）

師：我們稱這種比較大小的方法為“倒數變換法”。今天通過這個具體的例子，我們又發現了比較兩個數大小的另一種方法——倒數變換法。

第二位教師（乙）的模擬授課采用的教學關鍵環節：

師：如何解決這個問題？

生：……

師：生3同學具有很好的數學問題探究能力，但是，這種推理不十分可靠，同學們還能夠提出更具說服力的證據嗎？

師：生4同學的想法很好，試圖為序列①的結論再添新證據，不過要注意的是，其一，由②③的結論不一定能導出新結論；其二，大家知道，這種驗證途徑進行再多也不能保證序列①的結論隨著被開方數的增大而逐漸減小的正確性。怎么辦？大家可以想到一種很好的辦法對基于序列①而得到的結論加以證實嗎？

生：……

生5：由于序列①包含了無限多個數，這樣的話，如此一個一個地驗證就不可能徹底地解決問題。序列①可以表示成一般形式其中a 為正整數，于是，這樣考慮④的變化情況就一網打盡了，由于（其中，a≥0），很顯然⑤式的右邊隨著a 的增大而減小，從而生3同學構建的序列①及其結論是正確的。

師：大家經過合作研究解決了問題。難能可貴的是，同學們通過對這個非常具體的問題經過（生3與生5的）一步一步探究所得的材料，上升到抽象的層面上加以解決，這是一種非常了不起的創建，從中一定學到了許多東西，大家現在議一議（提示小結，略）。

第三位教師（丙）的模擬授課采用的教學關鍵環節：

師：如何解決這個問題？

生：……

生6：我們將它轉化為有理數，通過有理化的手段來試試看，由于又 因 為于是，由⑥⑦⑧可以得到

生7：說明使用求倒數的方法比較兩個數的大小。

師：好。我們姑且給這種方法起一個名字：倒數變換法。

這里我們比較詳盡地展示了這三位數學教師的教學設計及其課堂實施全過程，從中我們可以找到這三種教學途徑具有怎樣的關系嗎？

二、不同教學設計及其課堂實施所實現的目標分析

整個探究解決這個問題所獲得的基礎解題環節，就是教師乙的教學設計及其課堂實施啟發了生3所表達出來的，它是根據比較大小，從關于這兩個無理數所具有的特征（被開方數的差都是3）出發的。具體思維活動過程是，學生首先使用了類比與特例法（取比較的大小比較），發現由此而使用合情推理，得出序列它們的數值是隨著被開方數的增大而逐漸減小的。由此可以認識到，生3的想法是啟動思維的最初源頭，后來，生4的驗證只是這個序列①的一個特例而已，因此，沒有提供創新的想法，似乎意義不大，但為生5萌生抽象的方法解決問題提供了心理上的跳板，因此，教師乙向其他同學推介這種想法還是具有價值的。

從序列①與生4想要更多驗證想法的綜合過渡到生5，從中也看到了教師乙的教學設計及其課堂實施的功夫與高超水平，對于序列①所提出的個別驗證永無止境，生5 的想法恰恰就是想將這個序列①中每相鄰的兩項之間都驗證完，導致了必然要從抽象的層面進行研究，從而一網打盡。這一想法特別重要，于是，生5 由序列①與生4 想法的啟導，將這個序列中的具體數字通過抽象性的表達，構造出了表達式進而在將無理數大小比較轉化為有理數大小比較的策略下，通過“分子有理化”得到了等式⑤，它將序列①所猜想的結論轉化為可靠的結論，使問題得以徹底解決。因此，教師乙的這種教學途徑，展示了解決這道題完整的心理活動過程，符合當代數學教學的優勢理念。

如此教學設計及其課堂實施，教師乙利用生3在課堂上生成的想法，通過精心鋪墊，成功地營造了促使學生將自己的心智能量聚焦于萌生“畢其功于一役”，從而徹底解決問題的數學觀念，這構成了學生欲罷不能的心理探究活動，想方設法地在智囊中搜尋如何從具體的現象上解決問題過渡到從抽象的本質上解決問題的途徑。教師乙的這種教學設計及其課堂實施的高明之處，就是通過自己的課堂行為，在這個地方找到了方法，將學生的思維活動聚焦于這么一個問題點上，由于此處學生所要思考的材料與環節目標清晰、方向明確，致使學生形成了強烈的心理內驅力，此處，可以使用課堂布白的教學技術，給學生時間，相信學生一定可以實現從具體到抽象、從現象到本質的過程，萌生出相應的方法，解決這個問題。從課堂上師生活動過程來看，教師乙很好地實現了這樣的目的。具體體現在以下兩個方面：

其一，促使學生認識到“具體”與“抽象”、“現象”與“本質”這兩對辯證范疇在一定的條件（對于教師教學設計及其課堂實施來說，通過鋪墊、渲染或烘托，營造出學生可以理解的條件非常重要）下是可以轉化的，在探究數學問題時，這種轉化是特別有價值的。通過教師乙的課堂實施活動，學生能夠自覺地形成這樣的數學觀念：對于特別具體的數學化信息，可能需要轉化為抽象的結果來幫助解決問題；反之，對于比較抽象的數學化信息，往往需要選擇一個具體的特例來投石問路，仔細地把這種具體的特例研究清楚了，就有可能為這種形式上抽象的數學化信息問題提供可資借鑒的思路。

要實現這種辯證法（范疇的互相轉化）層面上的教學目標，其實是對我們數學教師提出了非常高的教學要求，數學教師只有深入分析數學知識內容的特點與學生發生具有如此特點的數學知識內容的心理活動過程，才能體會與理解數學知識內容中所蘊含的這些辯證法的要素，比對著學生心理，從學生產生具體的思維環節路徑中，搜尋這個知識結構中所蘊含的辯證法要素如何投射到學生的心理上去，伴隨著這一投射過程，促使學生辯證意識或辯證思維的萌生、逐步成長與發展起來。因此，數學教師自己必須要有辯證意識與辯證思維能力，這樣才能獨具慧眼，體味數學教學內容中所蘊含的辯證思維材料，才能通過自己精湛的教學設計及其課堂實施活動，培養學生的辯證意識與辯證思維。

其二，養成數學抽象的核心素養，《普通高中數學課程標準（2017年版）》在“學科核心素養與課程目標”這個一級標題下，將“數學抽象”列入“學科核心素養”中六大核心素養的課程目標之首，這是有道理的，因為數學所研究的就是“任意”或“一切”情況，那就必然是抽象地進行研究，所以數學的抽象性與結構性是最為突出的兩個特點。課程標準指出，“（數學抽象核心素養）主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表達”[1]。雖然這是對于高中學生而言的，但是，在初中階段如果基于合適的數學教學材料進行滲透也可能很好地達到目的。教師乙關于這道題的教學設計及其課堂實施就是很好的例子。

需要注意的是，這種養成數學抽象的核心素養，數學教師就必須要對數學教學內容進行細心的過濾，辨別出合適的教學材料，找到合適的教學途徑，在初中階段就應該一點一滴地向學生進行滲透，在學生的心智結構中播種，促使學生獲得這樣的體驗，從而生根、發芽、開花與結果，進而可以最大限度地發揮數學知識中所蘊含的教學價值。因此，教師乙的這種教學設計及其課堂實施過程，就非常好地體現了這一點。這給我們數學教師以有價值的啟發。

教師丙的教學設計及其課堂實施是教師乙的特殊化，由于等式⑤是將符合這種數字特征的所有式子（即序列①）一網打盡，而與只不過是等式⑤的兩個具體的二次根式而已，因此，只要將這兩個二次根式分別“分子有理化”，就可以實現與等式⑤同樣的目的。只不過，教師丙的教學設計及其課堂實施看上去好像是萌生了新的數學觀念（有理化），似乎在此處閃現了靈感與創造性，但是它的本質便是等式⑤，或者可以這樣說，等式⑤并不需要靈感的閃現，而是可以使用生4 分析法的結果。這就告誡我們數學教師，在教學設計及其課堂實施時，在某些時候，確實可能是靈感所閃現的數學觀念在指引我們行動，但教師要對這種靈感的閃現展開分析，極有可能尋獲靈感產生邏輯源頭。

從實現教學目標的視角上看，這樣的教學無法像教師乙一樣，可以實現培養學生相關的辯證意識或萌生辯證思維，也不能為養成學生的數學抽象核心素養作出相應的貢獻，因此，教師丙的教學設計及其實施的效果應次于教師乙。雖然如此，教師丙的教學設計依然具有很好的實用性，因為他所花費的時間很少，又給這個問題的解決找到了心理來源，體現了這種教學設計的創造性。然而，與教師乙的教學設計及其課堂實施比較，它沒有涉及利用教學資源幫助學生養成數學抽象核心素養的教學目標。教師丙的努力方向在于，深入分析如何形成“分子有理化”這個觀念來源，有可能觸及產生這個數學觀念的邏輯起點。

教師甲的教學設計及其課堂實施幾乎就是將教師指導用書所提供的答案，原原本本地抄寫到了黑板上，學生只能通過機械記憶這道題具體解題的邏輯過程，而談不上心理上的變化過程，所以這種教學設計及其課堂實施價值是最低的。因為，學生經過這樣的教學設計及其課堂實施途徑的學習解決這個順序問題，不能實現任何認知的、情感的、意志的教學目標，久之必使學生的學習動機、興趣等消磨殆盡，從而放棄數學學習。對此，我們數學教師一定要有深刻的認識，以避免重蹈覆轍。

由于這是教學設計及其課堂實施的研究活動，是嚴肅認真的，筆者只對事不對人，直言不諱地評論這三種數學教學的優劣得失。雖然如此，當分析這三位教師的教學設計得出如此結論的時候，有不少教師提出了為教師甲進行辯護的想法，他們說，在數學課堂教學時，因為受到教學時間的限制，教師甲這種教學也是情有可原的。筆者以為，他們的這種辯護是蒼白無力的，因為一個有責任感與進取心的數學教師一定能夠在課堂上找到相應的時間來全方位地展示學生發生數學認識的思維活動過程，否則為什么還要進行教學設計呢？

因此，在數學問題解決教學設計時，教師應該力爭做好這三項工作：其一，對于教科書或教師用書所體現的解答結果的表達形式，一定要認真地思考（最后是不看答案而自己進行解答）是如何產生這種結果的，力爭取得這個結果的心理來源[2]；其二，對于數學教師似乎是通過直覺的途徑萌生的某些數學觀念，應該盡可能地深入分析，獲得產生這種觀念的心理過程或邏輯過程（例如，教師丙“分子有理化”的數學觀念，進一步轉化為心理過程，這就是希望將比較無理數大小轉化為比較有理數大小）；其三，退一步說，我們還可以閱讀相關文獻或請教其他教師，不至于就是這樣地將解決結果原封不動地抄給學生。從而保證數學教學設計及其課堂實施的有效性[3]。

三、結語

把一道數學題的施教活動設計到讓學生在探究解法時欲罷不能的境界，這應該就是一個非常好的教學設計及其課堂實施了。在解題教學活動展開時，如果每一重懸念，待要解開，又出現了新的謎題，讓學生對于探究活動猶如上癮一般，一直追隨著解決問題的環節走下去，直到取得答案為止，那么這種施教活動本身到底是什么類型的問題已經不再重要了，因為這只是一個好問題，將學生的全部視線都聚焦于這個問題解決的關鍵性環節。這絕不是一件容易的事情，它的進與退、顯與藏、順境與逆勢，一招一式、一言一行，都需要做得恰到好處。此時，數學教學看起來是非常復雜的活動行為，但是，數學教師應該把它做得非常“單純”，這樣的數學教師才是真正的好教師。教師乙關于這道題的教學活動達到了生機勃勃、風生水起的境界。▲