滲透建模思想，發展應用素養*

江蘇省南京師范大學附屬中學宿遷分校 白嚴旭

在數學領域，建模思想表現為解題的一種方法.思想本身是由符號、公式等構建的抽象知識體系，而建模思想強調從數學問題入手，探析數學符號的意義與價值，引領學生從數學建模中解決問題.因此，關注學生建模思想的滲透，從數學解題中引領學生觀察、猜想、驗證、推理與交流，探究數學學習的樂趣，增強思想應用能力，提高數學學科教學質量.

一、強調建模思想，融入教學預設

建模思想強調學生數學應用能力的發展，將數學知識與具體的數學問題相結合，構建真實意義的數學學習情境，讓學生體驗數學建模的價值.以“二元一次方程組”教學為例，該節知識點涉及多個未知數的數學問題，滲透建模思想，讓學生分析題意，了解數量關系，設置未知數，列方程組求解問題.在這個過程中，將現實問題作為數學建模應用實例，鼓勵學生體會數學建模思想.分析本節知識點，主要有二元一次方程組、三元一次方程組等內容，重點是讓學生探究二元一次方程組的解法.立足課堂教學容量與設計，我們引入“百錢百雞”問題，來激活學生數學建模的熱情，拓展學生數學解題的視野.課堂預設目標：讓學生了解不定方程概念、表現形式，認識生活中的不定方程；了解枚舉法與解不定方程的方法；掌握不定方程的轉換與變形，運用轉化思想.明確教學重點，結合實際問題，讓學生探析題意中的數量關系，并用不定方程來表示.關注小組合作學習，針對數學情境中的“百錢百雞”問題，鼓勵學生分組討論，探究不定方程的意義，增強學生運用不定方程求解數學問題的能力，在交流中增進數學感知力.

二、抓住教學關鍵，滲透建模方法

在建模思想滲透過程中，需要結合課堂，把握教學關鍵點.一是課堂導入環節，注重問題情境的營造.在百錢百雞問題中，雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一.凡百錢買雞百只，問雞翁、雞母、雞雛各幾只？該題是古代算書中的經典題型，用今天的數學知識來討論古代數學中的智慧，引領學生從經典問題中，聯系數學解題方法，感悟數學文化，激發學生的數學解題興致.

二是小組討論與合作學習.了解了百錢百雞問題，如何求解該問題？結合本節教學知識點，三元一次方程組的求解思路，我們可以根據題意，分別假設雞翁、雞母、雞雛分別有x、y、z只，三者合計為100只，總費用為100錢，即在分組討論中，結合各種雞的只數、錢數，可以得到三元一次方程組.但有小組提出疑問，三元一次方程組應該有三個方程，該題所列為兩個方程，該解題思路是否正確？有學生小組采用枚舉法，分別對雞翁、雞母、雞雛列舉具體數，代入方程組進行檢驗.如當x=1，y=1，z=98時，代入方程5x+3y+z=100，是否成立？當x=2，y=1，z=97時，代入方程5x+3y+z=100，是否成立？該組雖然進行了多組數的代入計算，但一直沒有求解出答案.其他小組在合作討論解法中，也未能找到答案.

合作討論過程，要讓學生充分交流，圍繞解題情境，鼓勵學生打開數學想象空間.有學生認為，三種小雞的總數為100，而雞雛的數量應該是最大的，利用枚舉法，我們可以從z入手，從98、96、94等數開始，分別代入方程組，最后求解出當z=84時，x=12，y=4，該組解符合上述方程組.該組學生之所以能夠獲得求解結果，原因在于對雞翁、雞母、雞雛三種雞的數量進行了探究，雞雛便宜，數量一定最多，且多于雞翁、雞母數量之和.不過，對于該組的求解結果，是不是該題只有唯一的解？各組學生都感到疑惑，不敢確定.有學生認為，該題應該有多個解題結果，如有學生回想起類似的題型，結果有x=0，y=25，z=75.這個結果也是符合方程組的解.看來，該數學問題應該有多組解.請學生再討論一下.哪組學生能夠找到其他的解？引導學生發散數學思維，對三元一次方程組的求解結果，鼓勵學生從不同解法中挖掘數學知識點，教師要放手讓學生自己去探究，去理解、感受數學的趣味.

三是引出新知，揭示求解思路.數學與生活關系緊密，結合情境營造，讓學生認識利用三元一次方程組來求解生活中的問題.前面談到，對于三元一次方程組，有三個未知數，應該由三個方程來組成，但在本節百錢百雞問題中，卻只有兩個方程，由此帶來的方程組的解也是不確定的，該類方程又稱為“不定方程”.

由古代數學問題百錢百雞，引出“不定方程”，讓學生認識“不定方程”的概念，歸納出“不定方程”是未知數的個數與方程個數不一致，使得其解具有不確定性.在“不定方程”的解里，其范圍包含整數、正整數、有理數等.如上述不定方程的求解方法如下：根據方程組中的三個未知數，我們先對5x+3y+z=100進行轉換，得到15x+9y+z=300，與x+y+z=100聯立，消去z，得到7x+4y=100，轉換得到y=25-x.根據題意，x、y的取值應該都為正整數，即x=4k，令k=0、1、2、3、…，共得到四組解，分別為

四是求解總結.對該題的求解過程進行分析，“不定方程”中的未知數多于方程，盡管引入了消元法，但最終仍然采用枚舉代入法，對所有可能的解進行檢驗，并使其滿足題意.事實上，該題的解從其附加條件上縮小了解題范圍，降低了解題難度，也讓學生從中體會“不定方程”的解法特點，增強了學生對數學問題的探究與解題能力.

三、聯系生活應用，交流學習體會

在“不定方程”教學中，通過引入生活化問題，讓學生了解數學與現實應用的關系，提高學生對數學知識的建構能力.如某班級組織慶元旦晚會，計劃用200元去購買活動禮品.其中帽子單價22元，手套單價17元.請你設計一種方案，將200元剛好用完.該題在分析時，梳理各個數量關系，總錢數為200，不同禮品價格不同.通過分組討論，可以假設帽子x頂，手套y副，得出方程22x+17y=200.根據x、y的取值為正整數，引入枚舉法來嘗試解題，讓學生通過合作討論，感受數學建模過程.再如，某足球聯賽中，某隊共參加20場比賽，總得分為48分，問：該隊勝幾場？負幾場？平幾場？假設勝1場得3分，平一場得1分，負1場不得分.對于該題的求解，同樣可以根據比賽次數、比賽得分列方程組，假設勝x場，平y場，負z場，則得到方程組先消去x.3x+3y+3z=60，聯立3x+y=48，得到2y+3z=12，得到z.根據x、y、z均為正整數，利用枚舉法，z能夠被2整除，z=2k，令k=0、1、2、3、…，最終得出答案.還有某班組織看電影，班長花費500元購買30張票.票價有10元、15元、20元三種，問：20元的票比10元的票多幾張？同樣道理，對于該題的解題思路，與前述類似.根據題意，讓學生構建解題模型，分別設各種票張數為x、y、z，得出方程組最終得出答案.在該類數學建模過程中，學生從中了解數學建模的方法，明晰方程組中各未知數的數量關系，并結合小組討論、合作學習，來深化對“不定方程”解法的理解和應用.通過對數學建模思想的滲透，學生在本節“不定方程”學習中有哪些收獲？前面所學的方程知識，未知數的個數與方程數是對應的，而“不定方程”中，未知數的個數往往多于方程數，使得方程組的解變得不確定.同樣，在對“不定方程”進行建模學習后，很多學生表示之前的方程太簡單了.也有學生認為，數學建模思想能夠從數學的應用層面，幫助學生構建數學知識，增進數學的內化與理解，讓數學解題充滿智慧.

四、開展建模活動，發展應用素養

數學建模思想的滲透，結合數學問題情境創設，拉近了數學與現實問題的距離，便于學生從生活問題中進行抽象、概括，構建數學模型，解決數學問題.通過開展數學建模綜合活動，培養學生的建模能力.

一是通過閱讀題意，抽象出數學問題的本質.數學建模思想的應用，首先要引導學生讀題，把握題意及數量關系，抓住題目中的主要問題，分清主次，從問題描述中抽象數學關系，形成建模基礎.教師要注重學生讀題心態的調整，提高對信息的挖掘能力.如某題中，載人飛船完成變軌后，軌道距離地表350km，求飛船能夠看到地球最遠處的位置，以及最遠點與飛船正下方地表P點距離是多少.（地球半徑為6400km，精確到0.1km）閱讀該題，從飛船所看到的地球上最遠點，實則應該是視線與地球表面相切點，我們根據數形結合思想，利用三角函數模型求出最遠點，以及與點P所對應的圓心角，根據弧長公式模型求出弧長.

二是給予學生自主的數學建模思維空間.數學建模思想的滲透，要順應學生心智發展特點，教師要善用點撥，引導學生觀察、分析、思考數學模型，讓學生自己去分析、構建數學模型，找出解題突破口.在這個過程中，可以引入小組合作、討論交流活動，促進學生分享建模經驗.

三是化解學生建模難點.面對數學建模，其關鍵點在于解決數學問題.在建模思想的應用中，教師要引導學生運用數學模型來抽象數學問題，讓學生從不同問題應用中找到建模的方法.

四是注重學生間的交流與合作.數學建模思想的應用，要讓學生從問題親歷中辨析數量關系，從問題的分析、理解、提煉、驗證中去解決數學問題，要充分給予學生交流的機會，發展學生運用建模思想求解數學問題的能力.

總之，在數學建模思想的應用中，要把握基本建模過程，即問題的引領，解題路徑的探討，數學模型的構建，解題交流與評價.建模思想是發展學生數學學科核心素養的重要途徑，也是培養學生創造性思維，提升學生數學應用能力的重要方法.結合初中數學教學，開展數學建模活動的組織，讓學生從建模實踐體驗中，調動數學學習積極性，自覺將數學問題與生活經驗關聯起來，運用數學建模思想，剖析和解決數學問題，從數學探究中多體會數學建模的樂趣，促進學生數學應用素養的發展.