一題多問教學模式的作用和操作案例分析

☉湖北省武漢市常青第一學校 殷國俊

設置問題、解決問題是初中數學課堂上教師與學生溝通的主要途徑，而訓練學生一題多問，引導學生從不同的角度、不同方位進行不同層次的思考，是提高學生理解和應用能力的一種有效方法.但在平時的數學教學中，碰到的多數習題一般只要求解決單方面的問題，對知識和能力的考查比較片面，學生的思維得不到充分的訓練.近年來，武漢市的數學中考在這個方面很好地起到了指揮棒的作用，解答題多采用一題多問、問問遞進的呈現方式，考查學生綜合運用數學知識的能力.如果廣大初中數學教師在平時的教學中努力挖掘素材，將題目做適當的擴充和變式，采用一題多問的方式，把多個知識點用同一道題的背景有機結合起來，溝通多個知識點的內在聯系，甚至在教學中鼓勵學生在同樣的條件下從多角度提問，創編習題，以開拓思路，培養學生的理解能力和解題能力，無疑對學生實際應用能力和創新能力的增強可以起到明顯的促進作用.

一、一題多問的常規教學呈現形式

第一種呈現形式是把具有同一背景的問題進行收集、改編、整合，再按難度層次依次呈現.

引例：拋物線y=ax2-ax-8a+5經過點P（-2，5），交x軸于點A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，與y軸的負半軸交于點C，S△PAB=10，求拋物線的解析式.

這是九年級（上冊）數學課本上一道習題的改編題，再將近三年來各級各類中考訓練中以此引例為背景的習題進行收集、改編和整合，初步可以得到以下19個不同的小問：

（1）將拋物線沿對稱軸向上平移k個單位后，與線段BC交于D、E兩點，求k的取值范圍.

（2）直線y=kx-1與拋物線交于P、Q兩點，且y軸平分S△CPQ，求k的值.

（3）若M為拋物線的頂點，點N在x軸上，S△BCN=S△BCM，求點N的坐標.

（4）設點P在第二象限內的拋物線上，S△POB=S△POC，求點P的坐標.

（5）G（2，y）是拋物線上一點，P是直線AG下方拋物線上一動點，當S△APG最大時，求點P的坐標.

（6）若點M在x軸下方的對稱軸上，連接BM，將BM繞點M順時針旋轉90°得到PM，點P恰好在拋物線上，求點P的坐標.

（7）若直線y=-x-1與拋物線的對稱軸交于點E，且點P在y軸的正半軸上，PE平分∠APB，求點P的坐標.

以上7問屬于基礎性問題.這類問題以基礎知識的鞏固和基本技能的訓練為主，其涉及的知識點適合于目標為普高的學生，旨在培養學生最基本的數學思想和數學方法.

（8）過點A的直線交BC于點M，交拋物線于點N，若AM=2MN，求點N的坐標.

（9）平移直線y=-x交拋物線于M、N兩點，若MN=BC，求平移后直線MN的解析式.

（10）若P為拋物線上一點，將CP沿AC的垂直平分線翻折，點P恰好落在y軸上，求點P的坐標.

（11）設P為x軸下方拋物線上一動點，連接PO、PC，將△POC沿OC翻折得到△OCP′，且四邊形POP′C為菱形，求點P的坐標.

（13）若點P在拋物線上，△APC為直角三角形，求點P的坐標.

以上6問屬于小綜合性問題.這類問題是以九年級知識框架為基礎，把七、八年級與其有聯系的相關知識納入其中，可以加深學生對某一知識框架的全面、深入了解，提高綜合處理能力.

（14）以B為直角頂點，BC為直角邊作直角△BCD，CD交拋物線于點P，若PC=PD，求點P的坐標.

（15）設拋物線的頂點為D，點P在坐標軸上，以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似，求點P的坐標.

（16）直線y=-x-1與拋物線交于另一點E，點G在拋物線上，點F在x軸上，若以A、E、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，求點F的坐標.

（17）P為拋物線上一點，PM∥AC交x軸于點M，若四邊形PMAC為等腰梯形，求點P的坐標.

（18）過點C作CB′∥x軸交拋物線于點B′，點P從點B′出發，以0.1個單位/秒的速度沿線段B′C向點C運動，點Q從點O出發，以相同的速度沿線段OB向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒，則t為何值時，四邊形BB′PQ為等腰梯形？

（19）將函數圖像沿y軸翻折后，與原圖像合起來，構成一個新函數的圖像.若直線y=x+m與新圖像有四個公共點，求m的取值范圍.

這6問屬于發展性問題.這類問題是為了培養學生的開放性研究能力而設置的，主要是一些對創造性方面有較高要求的題目.

二、一題多問的分層教學呈現形式

第二種呈現形式是對同一背景下同一個問題進行思路拆分，拆分成遞進關系的若干小問.

還是以這個引例為例.

拋物線y=ax2-ax-8a+5經過點P（-2，5），交x軸于點A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，與y軸的負半軸交于點C，S△PAB=10，求拋物線的解析式.

在錨地式教學的前提下，將這個問題涉及的知識點和技巧、方法逐一設置成更小的問題，其目的有三，一是引導學生將解決問題的邏輯順序理清楚，二是教師可以清晰地剖析此題涉及的知識點、技巧和方法，三是方便學生課后自學或歸納總結.

（1）是否選擇將點P的坐標（-2，5）代入解析式y=ax2-ax-8a+5中？

（2）拋物線對稱軸的解析式是什么？

（3）△PAB的底和高分別怎么表示？

（4）條件x1＜0＜x2有什么作用？

（5）如何確定A、B兩點的坐標？

（6）要求出拋物線的解析式，需要代入幾個點的坐標？

（7）用待定系數法求解析式時，是代入點A的坐標還是點B的坐標？

這19問可以做如下分解：

（1）將拋物線沿對稱軸向上平移k個單位后，與線段BC交于D、E兩點，求k的取值范圍.

①拋物線向上平移k個單位后，解析式如何表示？

②平移后的拋物線與線段BC有兩個交點的臨界情況是怎樣的？

③如何求出臨界情況時k的值？

④如何用語言表述從初始狀態到臨界狀態的過程？

⑤怎樣確定k的取值范圍？

（2）直線y=kx-1與拋物線交于P、Q兩點，且y軸平分S△CPQ，求k的值.

①直線y=kx-1經過哪個定點？

②怎樣用排除法的觀點確定P、Q兩點的大致位置？

③幾何條件y軸平分S△CPQ怎樣轉化成代數條件（坐標關系）？

④如何在聯立求解的過程中植入韋達定理？

⑤求出的k值與題意和圖形是否符合？

（3）若M為拋物線的頂點，點N在x軸上，S△BCN=S△BCM，求點N的坐標.

①根據圖形能否直接確定△BCM的形狀？

②如何求S△BCM最簡便？

③怎樣通過圖形確定點N的大致位置？

④幾何條件S△BCN=S△BCM可以轉化成什么樣的代數條件？

⑤如何用排除法確定符合題意和圖形的點N的坐標？

（4）設點P在第二象限內的拋物線上，S△POB=S△POC，求點P的坐標.

①如何依據草圖確定點P的大致位置？

②△POB和△POC有什么樣的特殊位置關系和數量關系？

③幾何條件S△POB=S△POC可以轉化成什么樣的代數條件？

④點P位于哪條直線上？

⑤如何求出點P的坐標？

⑥求出的點P的坐標是否需要取舍？

（5）G（2，y）是拋物線上一點，P是直線AG下方拋物線上一動點，當S△APG最大時，求點P的坐標.

①如何依據草圖確定點P的大致位置？

②S△POB由哪些因素決定？

③如何構造同底等高的兩個三角形？

④構造后的平行線與拋物線具有怎樣的位置關系？

⑤這個位置關系如何用代數方式呈現？

⑥如何求出點P的坐標？

（6）若點M在x軸下方的對稱軸上，連接BM，將BM繞點M順時針旋轉90°得到PM，點P恰好在拋物線上，求點P的坐標.

①如何依據草圖確定點M、點P的大致位置？

②BM與PM具有怎樣的數量關系和位置關系？

③可以聯想到全等常用的哪個基本圖形？

④如何構造全等？

⑤怎么用幾何條件中的線段相等設出點P的坐標？

⑥如何求出點P的坐標？

（7）若直線y=-x-1與拋物線的對稱軸交于點E，且點P在y軸的正半軸上，PE平分∠APB，求點P的坐標.

①怎樣通過直線的解析式找到點E的位置？

②如何依據草圖確定點P的大致位置？

③幾何條件PE平分∠APB可以讓你聯想到哪些定理？

④由此還可以聯想到全等時常用的哪個基本圖形？

⑤如何構造全等？

⑥△ABE的形狀是什么？

⑦四邊形AEBP有怎樣的特殊性質？

⑧這些特殊的性質中哪些與點P的位置有關？

⑨這些特殊的性質中哪一條可以用來求點P的坐標？

⑩如何求點P的坐標？

（8）過點A的直線交BC于點M，交拋物線于點N，若AM=2MN，求點N的坐標.

①如何依據草圖確定M、N兩點的大致位置？

②幾何條件AM=2MN可以轉化成坐標軸上哪些線段的數量關系？

③這個幾何的數量關系怎樣變成代數關系？

④這個代數關系怎樣簡化為點N的坐標？

⑤怎樣求出點N的坐標？

（9）平移直線y=-x交拋物線于M、N兩點，若MN=BC，求平移后直線MN的解析式.

①如何依據草圖確定M、N兩點的大致位置？

②題設給出直線MN的斜率為-1的目的是什么？

③線段MN與BC有著怎樣的數量關系和位置關系？

④如何利用這種關系設出M、N兩點的坐標？

⑤如何求出M、N兩點的坐標？

⑥如何求出直線MN的解析式？

（10）若P為拋物線上一點，將CP沿AC的垂直平分線翻折，點P恰好落在y軸上，求點P的坐標.

①如何利用草圖確定點P翻折前后的大致位置？

②怎樣判斷四邊形ACPP′的形狀？

③四邊形ACPP′的邊、角、對角線分別有怎樣的數量關系？

④這些關系中哪些與坐標軸相關？

⑤能不能用其中的幾何關系構造方程？

⑥對角線的交點坐標怎樣確定？

⑦怎樣利用對角線的交點坐標求點P的坐標？

（11）設P為x軸下方拋物線上一動點，連接PO、PC，將△POC沿OC翻折得到△OCP′，且四邊形POP′C為菱形，求點P的坐標.

①如何利用草圖確定點P、P′的大致位置？

②菱形POP′C的邊、角、對角線分別有怎樣的數量關系？

③哪些關系可以轉化為代數條件？

④如何利用這個代數條件設出點P的坐標？

⑤怎樣利用規律設點法求點P的坐標？

①怎樣找到點E的位置？

②如何求出點E的坐標？

③CE與SE的數量關系和位置關系如何？

④對稱軸在圖中可以起到什么作用？

⑤由此可以聯想到相似中的哪個基本圖形？

⑥如何構造相似？

⑦怎樣簡化點S的坐標的表示方式？

⑧怎樣利用規律設點法求點S的坐標？

（13）若點P在拋物線上，△APC為直角三角形，求點P的坐標.

①如果∠A是直角，如何利用草圖確定點P的大致位置？

②AP與y軸的交點起什么作用？

③可以聯想到相似中的哪個基本圖形？

④利用這個基本圖形怎么求點P的坐標？

⑤如果∠C是直角，如何利用草圖確定點P的大致位置？

⑥CP與x軸的交點起什么作用？

⑦可以聯想到相似中的哪個基本圖形？

⑧利用這個基本圖形怎么求點P的坐標？

⑨如果AC是斜邊，圖形應該怎么畫？

⑩怎樣利用排除法的觀點得到最后的答案？

（14）以B為直角頂點，BC為直角邊作直角△BCD，CD交拋物線于點P，若PC=PD，求點P的坐標.

①過點B且和BC垂直的直線在第一、四象限均可以形成直角三角形BCD.

②如何利用草圖確定點D的大致位置？

③幾何條件PC=PD會使你聯想到直角三角形的哪條性質？

④這個性質會讓你聯想到怎樣的輔助線？

⑤四邊形ACPB的邊和對角線有什么樣的特殊關系？

⑥直線OP有什么特殊性質？

⑦如何利用OP的解析式求點P的坐標？

（15）設拋物線的頂點為D，點P在坐標軸上，以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似，求點P的坐標.

①怎么求△BCD三邊的長度？

②如何確定△BCD的形狀？

③△BCD中有沒有特殊角？

④△BCD中三邊的比值是多少？

⑤依據草圖，點P的大致位置有幾個？

⑥可以聯想到相似中的哪個基本圖形？

⑦用什么定理求解比較簡便？

⑧求出的點P的坐標有多少個？

⑨這些點P是否需要取舍？

（16）直線y=-x-1與拋物線交于另一點E，點G在拋物線上，點F在x軸上，若以A、E、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，求點F的坐標.

①如何通過草圖確定平行四邊形的大致位置？

②AE除了可以成為平行四邊形的邊，有沒有可能成為對角線？

③以x軸為對角線的平行四邊形有幾個？

④以y軸為對角線的平行四邊形有幾個？

⑤點F、G的橫坐標、縱坐標分別有什么關系？

⑥求出的點F、G的坐標是否需要取舍？

（17）P為拋物線上一點，PM∥AC交x軸于點M，若四邊形PMAC為等腰梯形，求點P的坐標.

①如何通過草圖確定M、P兩點的大致位置？

②如何將等腰梯形的特殊性質表示成線段關系？

③依此可以聯想到怎樣的輔助線？

④如何將線段關系轉化成坐標軸上的數量關系？

⑤如何將這個數量關系轉化為坐標關系？

⑥如何將坐標關系轉化為方程？

⑦求解方程后，怎樣確定點P的坐標？

（18）過點C作CB′∥x軸交拋物線于點B′，點P從點B′出發，以0.1個單位/秒的速度沿線段B′C向點C運動，點Q從點O出發，以相同的速度沿線段OB向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒，則t為何值時，四邊形BB′PQ為等腰梯形？

①怎么求點B′的坐標？

②如何利用草圖確定P、Q兩點的大致位置？

③怎樣用含t的代數式表示相關線段的長度？

④等腰梯形的哪些性質可以轉化成與上述線段相關的幾何條件？

⑤這個幾何條件怎么用含t的等式表示？

⑥求出的t是否需要取舍？

（19）將函數圖像沿y軸翻折后，與原圖像合起來，構成一個新函數的圖象.若直線y=x+m與新圖像有四個公共點，求m的取值范圍.

①原拋物線沿y軸翻折后的草圖經過哪些特殊點？

②與直線y=x平行的直線何時與新圖像有且只有一個公共點？

③這個臨界狀態如何用代數方式呈現？

④與直線y=x平行的直線何時與新圖像有且只有兩個公共點？

⑤這個臨界狀態如何用代數方式呈現？

⑥與直線y=x平行的直線何時與新圖像有且只有一個公共點？

⑦這個臨界狀態如何用代數方式呈現？

⑧這三個臨界狀態聯立方程組得到的m的值能否確定最終m的取值范圍？

三、結語

一題多問除了對學生有鞏固基礎知識、訓練基本技能、滲透知識框架、提升解題能力的作用，對教師也可以起到清晰剖析知識點、技巧、方法，提高課堂效率的作用.

經常做一題多問訓練，有利于培養基礎學生思路的邏輯性和嚴密性，有利于培養中檔學生思維的發散性、創新性和對相關知識點的遷移能力；輔助教師剖析知識點和技巧、方法，提高課堂效率；分析學生能力瓶頸，找準患處，強化提高學生解決實際問題和應變的能力等，是適用于初中數學課堂教學的好方法.

當然，這樣的素材需要數學教師不斷挖掘整理，形成對日常教學和中考復習的訓練體系，再加之實施過程中的持之以恒，必將讓數學教學真正實現“人人都能獲得需要的數學，不同的人在數學上得到不同的發展”.