高中數學排列組合問題中的數學思想探究

☉江蘇省吳江中學 苗春蘭

排列組合問題不涉及新的計算方法，但是對思維能力的要求較高.要想學好這部分內容，學生需要掌握基本概念及基本原理，在日常學習中總結常見問題及相應的方法技巧，提高學習效率.在解決排列組合問題時，首先需要看清題目要求，辨別究竟是“排列”問題還是“組合”問題，選用準確的計算方法，而不是盲目套用計算公式.因此需要對高中排列組合問題的常見形式及相應解法進行總結，從而提高學生的求解速度與準確率.

一、常見問題及原因分析

1.理論知識薄弱

排列組合包含“排列”和“組合”兩類問題，涉及的思維及計算公式存在較大差別.很多學生在審題時往往會產生混淆，無法正確區分問題類型，進而導致計算公式的選用錯誤，最終導致結果錯誤.

2.計算不當

雖然排列組合問題重點考查的是學生的思維能力，計算層面并沒有涉及新的方法，但是很多學生在計算時粗心大意，經常出現重復計算或者遺漏數據的問題，導致失分甚至是不得分.

3.重要條件遺漏

排列組合問題的情境較為多樣，問題形式變化較多，在求解過程中一個符號的改變有可能就會改變計算條件，使得整個計算過程偏離原有的分析思路.在審題階段如果出現問題，那么就很容易遺漏重要的已知信息，導致“排列”或是“組合”類型的判斷失誤，最終無法正確求解出問題的結果.

二、排列組合中的數學思想探析

1.分類討論

分類討論思想的核心就是根據對象某一維度的差異性進行類別的劃分，分類的關鍵就是分類原則的確定.在解決排列組合問題時，如何準確對所有可能的情況進行分類是這一類方法的關鍵，如果類別劃分不當，學生很容易發生重復或者遺漏數據的問題；反之，如果類別劃分合理，就會將復雜的問題簡單化，既不重復，也不遺漏，準確求解出最終結果.

案例1 盒子里面有8個大小完全相同的小球，其中紅色、黃色、藍色各1個，分別表示一等獎、二等獎和三等獎，剩下5個為白色，表示不獲獎.現將這些小球平均分給4個人，試討論獲獎情況.

分析：由已知條件可知，每個人會得到兩個小球，可以進行如下分類：

（1）有一個人獲得兩個獎，一個人獲得一個獎，剩下的兩個人沒有獲獎；

（2）有三個人分別獲得一個獎，剩下的一個人不獲獎.

在進行分類處理時，不考慮內部的具體排布，因此上面的兩種類別就可以將所有情況包含其中.接下來就是針對每一種類別展開計算.

解：（1）首先是從小球的角度考慮，從三個有獎的小球里面挑出兩個，放在A位置，共有=3（種）可能，B位置為剩下的一個有獎小球及一個無獎小球，C、D位置各兩個無差別的無獎小球；接著從抽獎人角度考慮，A、B位置為有獎，從4個人里面選2個出來，并且結果具有差異性，因此是排列問題，即=12.剩下的兩堆無獎小球無差別，不存在先后順序.因此共有=36（種）不同的獲獎可能.

（2）從四個人里面挑出三個去分別獲得不同的獎項，剩余的一個人置后考慮，不存在先后影響，因此共有（種）可能.

綜上所述，共有60種不同的獲獎情況.

2.數形結合

數形結合是一種常見的數學思想方法，在排列組合問題中也是如此，學生需要根據題目中的已知信息繪制相關圖形來輔助思維，達到準確、快速解決問題的目的.

案例2假設有一平面，面上共有10個點，其中有4個點共線，除此之外不存在任何3點在同一直線上.試分析過其中的兩點作直線，一共能畫出多少條不同的直線.

分析：繪制直線的實質就是尋找到所有不同的兩點組合，分析題干信息可知，這些點中，共線的4個點比較特殊，對于其他的6個點而言，由于不存在多點（大于2）共線的問題，因此彼此之間可以看成是相同的情況，只需要考慮其中一種就可以.因此，在繪制示意圖時，選擇共線的4個點及直線外的2個點進行分析，如圖1所示.

解：采用分類的思想可以知道，所連直線共存在以下幾種情況：

（1）由共線4點確定的直線，易知只存在1種情況；

3.遞推

排列組合問題在解決時經常會用到分步計數原理，進而確定計算表達式進行求解，這其實就是一種遞推的思想.

案例3學校教學樓門口的樓梯共有9級，假設上樓梯時最多只能一次跨3個臺階，試求解共有多少種不同的爬樓梯方法.

分析：假設走到第n個臺階共有s（n）種方法，如果第一步爬1個臺階，那么剩下的n-1個臺階共有s（n-1）種方法；如果第一步爬2個臺階，那么剩下的n-2個臺階共有s（n-2）種方法；如果第一步爬3個臺階，那么剩下的n-3個臺階共有s（n-3）種方法.易知s（n）=s（n-1）+s（n-2）+s（n-3）且滿足s（1）=1，即第一步爬1個臺階；s（2）=2，即第一步、第二步分別爬1個臺階或第一步爬2個臺階這兩種情況；s（3）=4，即每次爬1個臺階、一次性爬3個臺階、第一步1個臺階第二步2個臺階或者第一步2個臺階第二步1個臺階這四種情況.

解：由上述分析可知：

s（4）=s（3）+s（2）+s（1）=4+2+1=7；

s（5）=s（4）+s（3）+s（2）=7+4+2=13；

s（6）=s（5）+s（4）+s（3）=13+7+4=24；

s（7）=s（6）+s（5）+s（4）=24+13+7=44；

s（8）=s（7）+s（6）+s（5）=44+24+13=81；

s（9）=s（8）+s（7）+s（6）=81+44+24=149.

綜上所述，共有149種不同的方法爬上這個9級臺階.

三、結束語

實際上，學生接觸排列組合的知識并不是始于高中，早在小學時就已經接觸過基礎的計數問題.到高中階段，問題情境更多樣，難度也更大.總體來說，排列組合問題比較靈活，本文列舉的只是其中的幾種思想方法，諸如對稱思想、類比思想、集合思想等也具有較強的適用性.在教學過程中，教師要注意兩條線共同推進，即教材知識、方法技能的講授這一條“明線”與數學思想的融入這條“暗線”，以此培養學生深入思考的習慣，提升學生的創新思維能力.

具體來說，排列組合問題對學生的思維能力要求較高，問題形式靈活多樣.在解題過程中，學生常見的問題有兩個，一是判斷錯“排列”或是“組合”問題類型，方法選用錯誤；二是計算不仔細，出現“重復”或是“遺漏”.因此，在日常學習中，學生要對常見的問題進行歸納總結，抽象成模型，同時要強化計算能力.作為教師，在教學環節需要凸顯數學問題的本質，引導學生探索排列組合問題包含的數學思想，只有這樣學生才能對這一類問題產生更深層次的理解，進而科學區分“排列”或是“組合”這兩種問題類型，同時也能強化學生的學習與思維能力，促進學生的全面發展.