數(shù)學(xué)寫作，培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的“助推器”

☉江蘇省灌云縣楊集高級中學(xué) 高 原

說到數(shù)學(xué)寫作，很多人往往認(rèn)為是教師的事，與學(xué)生無關(guān).其實(shí)，學(xué)習(xí)與研究從來都是密不可分的，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)來研究數(shù)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比讓他們多做幾道練習(xí)題有意義得多.因?yàn)閿?shù)學(xué)寫作能綜合培養(yǎng)學(xué)生的多種能力，如寫作能力、知識(shí)的整合能力、數(shù)學(xué)探究能力等.那么，教師引導(dǎo)學(xué)生寫什么？通過數(shù)學(xué)寫作又如何提高學(xué)生的綜合能力呢？筆者結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，談幾點(diǎn)不成熟的看法，以期拋磚引玉.

一、通過數(shù)學(xué)寫作，加深對已學(xué)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)

我們知道，當(dāng)學(xué)完一個(gè)單元的知識(shí)后，教師往往要引導(dǎo)學(xué)生對本單元的知識(shí)加以回顧與總結(jié)——總結(jié)知識(shí)，提煉方法.而當(dāng)這個(gè)任務(wù)交給學(xué)生來完成時(shí)，就演變成了“數(shù)學(xué)寫作”，學(xué)生通過自己的第二次學(xué)習(xí)，以小論文的形式呈現(xiàn)出來，能不斷提升他們對本單元知識(shí)的認(rèn)識(shí)，更能體現(xiàn)他們對本單元知識(shí)的掌握情況，教師能從小論文中看出學(xué)生是否掌握了本單元的重點(diǎn)與難點(diǎn).與此同時(shí)，通過對小論文的修改，又能培養(yǎng)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度.

如何寫好這類小論文，教師應(yīng)加以引導(dǎo).學(xué)生單元總結(jié)性的小論文的寫作，同樣要體現(xiàn)教學(xué)基本原則，即以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體.教師可以依據(jù)教學(xué)大綱的要求，列出寫作提綱，提出問題，至于小論文的寫作形式，完全由學(xué)生決定.

例如，對于《集合》這一章，教師可以讓學(xué)生從集合的概念、集合的性質(zhì)和集合的運(yùn)算三個(gè)方面加以總結(jié)，可以談對集合概念的理解，可以談對集合的三個(gè)性質(zhì)即元素的互異性、無序性和確定性的理解，也可以談對集合并交補(bǔ)三種運(yùn)算的理解.引導(dǎo)學(xué)生從書本知識(shí)即理論出發(fā)，配以恰當(dāng)?shù)睦}來回歸解題實(shí)踐.小論文篇幅長短不限，只要把道理說清楚就行.

小論文完成后，教師可以發(fā)動(dòng)學(xué)生對小論文進(jìn)行評價(jià)，評出最佳論文并請作者當(dāng)眾宣讀，這不僅能讓全班學(xué)生資源共享，共同提高，而且還增強(qiáng)了數(shù)學(xué)寫作的趣味性，從而促使學(xué)生積極向上，寫出更好更優(yōu)秀的小論文，在寫作的潛移默化中，學(xué)生的各種能力也得到了鍛煉.

二、通過數(shù)學(xué)寫作，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的批判性

學(xué)習(xí)是一項(xiàng)艱苦的腦力勞動(dòng)，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，自始至終學(xué)生的思維必須全程參與，即便如此，學(xué)生也會(huì)在學(xué)習(xí)中犯這樣或那樣的錯(cuò)誤，這其實(shí)并不是壞事，教師可以將其變廢為寶，引導(dǎo)學(xué)生把對錯(cuò)解的反思寫成數(shù)學(xué)小論文.這樣的數(shù)學(xué)寫作，不僅能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的批判性，同時(shí)還能讓他們感知數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)其實(shí)也是一個(gè)“在曲折中前進(jìn)”的過程，從而將人生哲理滲透在數(shù)學(xué)寫作中.

錯(cuò)解反思類的數(shù)學(xué)寫作，一般分三步進(jìn)行：首先，教師根據(jù)學(xué)生作業(yè)的反饋曬出種種錯(cuò)解；其次，由學(xué)生選擇與自己有關(guān)的錯(cuò)解并加以訂正；最后，學(xué)生從中自由選擇兩三個(gè)錯(cuò)解并以數(shù)學(xué)小論文的形式加以剖析反思，以防重蹈覆轍.

例如，在學(xué)習(xí)《常用邏輯用語》的時(shí)候，學(xué)生往往將否命題與非命題混淆，在命題改寫時(shí)往往忽視量詞的變化，為此班上有位學(xué)生寫出了《我的邏輯用語的糾錯(cuò)手記》，本文從中摘錄一段，與大家分享.

“p或q的否定”是什么？

例1已知命題p：“?x∈［1，2］，x2-a≥0”，命題q：“?x0∈R，x02+2ax0+2-a=0”，若命題“p或q”是假命題，問：實(shí)數(shù)a是否存在？若存在，求出它的取值范圍；若不存在，請說明理由.

錯(cuò)解：因?yàn)槊}“p或q”是假命題，所以“p或q”的否定是真命題，即“?p或?q”是真命題，即p或q為假命題.

若p為真命題，則a≤x2恒成立，因?yàn)閤∈［1，2］，所以a≤1.

若q為真命題，即x2+2ax+2-a=0有實(shí)根，則Δ=4a2-4（2-a）≥0，即a≥1或a≤-2.

因?yàn)椤皃或q”為假命題，故有a＞1或-2＜a＜1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＞1或-2＜a＜1.

剖析：“p或q”的否定不是“?p或?q”，而是“?p且?q”.

正解：若p為真命題，a≤x2恒成立，因?yàn)閤∈［1，2］，所以a≤1.

若q為真命題，即x2+2ax+2-a=0有實(shí)根，則Δ=4a2-4（2-a）≥0，即a≥1或a≤-2.

由題意知，“?p且?q”是真命題，故有a＞1且-2＜a＜1，所以實(shí)數(shù)a不存在.

我的感悟：“或”與日常生活中的用語“或”的意義不同.對于邏輯用語中“或”的理解我們可以借助于集合中的并集的概念：在A∪B={x|x∈A或x∈B}中的“或”是指“x∈A”與“x∈B”中至少有一個(gè)成立，可以是“x∈A且x?B”，也可以是“x?A且x∈B”，也可以是“x∈A且x∈B”，邏輯用語中的“或”與并集中的“或”的含義是一樣的.故“p或q”的否定是“?p且?q”.

三、通過數(shù)學(xué)寫作，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的求異性

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的，是數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，尤其是創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).在日常教學(xué)中，我們一貫倡導(dǎo)一題多解，一題多變，其實(shí)目的就一個(gè)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的求異性，讓學(xué)生舉一反三，融會(huì)貫通.教師可以將課堂上的探究延伸到課外，這其實(shí)也是學(xué)生數(shù)學(xué)寫作的一個(gè)極好的題材.

由于一題多解類或一題多變類的探究對思維能力的要求較高，僅靠一人的智慧可能無法完成，而群眾的力量是無窮的，教師可以讓學(xué)生自由組合成探究小組，集思廣益，共同研究，并一起將其寫成小論文的形式.對于優(yōu)秀的小論文，教師可以推薦給相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)報(bào)進(jìn)行發(fā)表，此舉更能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.學(xué)生間相互合作，互相啟發(fā)，數(shù)學(xué)思維能力也在不知不覺中得到鍛煉與提升.

例如，在學(xué)習(xí)了《不等式》后，兩位學(xué)生合作，寫下了《一題五證 凸顯解題“正能量”》小論文，下面摘錄部分內(nèi)容與大家共享.

常言道，得道多助，失道寡助.數(shù)學(xué)解題，“道”在何方？一題五解，為你開道，凸顯解題正能量.

例2若a>0，b>0，a3+b3=2，求證：a+b≤2，ab≤1.

證法一：（綜合法）因?yàn)閍>0，b>0，a3+b3=2，

所以（a+b）3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6=3［ab（a+b）-2］=3［ab（a+b）-（a3+b3）］=-3（a+b）（a-b）2≤0，即（a+b）3≤23.

點(diǎn)評：綜合法（執(zhí)因索果），是論證題常用的方法.當(dāng)容易找出條件與結(jié)論的聯(lián)系時(shí)，這種方法是首選.

證法二：（換元法、判別式法）設(shè)a，b為方程x2-mx+n=0的兩根，則

因?yàn)閍＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m2-4n≥0. （1）

因?yàn)?=a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）［（a+b）2-3ab］=m（m2-3n），所以n

所以-m3+8≥0，即m≤2.所以a+b≤2.

由2≥m，得4≥m2.因?yàn)閙2≥4n，所以4≥4n，即n≤1.所以ab≤1.

點(diǎn)評：換元法主要有三角代換、均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性.如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證.

……

注：小論文還有證法三（放縮法）、證法四（比較法）和證法五（反證法），限于本文篇幅，已略去.

四、通過數(shù)學(xué)寫作，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的研究能力

學(xué)習(xí)即研究，應(yīng)該在平時(shí)的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的研究能力.引導(dǎo)學(xué)生做學(xué)問，理應(yīng)成為素質(zhì)教育和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一項(xiàng)極其重要的工作.我們一直在講學(xué)習(xí)的目的是教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)，教會(huì)學(xué)生如何研究問題.數(shù)學(xué)課教給學(xué)生的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，還有數(shù)學(xué)思想與方法，通過數(shù)學(xué)思想與方法的不斷滲透，加強(qiáng)學(xué)生對客觀世界科學(xué)的認(rèn)識(shí).從某種角度看，數(shù)學(xué)知識(shí)并不是十分重要的，時(shí)間長了總會(huì)遺忘，而數(shù)學(xué)方法和研究數(shù)學(xué)的精神卻往往能使人終身受益，這也是數(shù)學(xué)寫作的好素材.

這類數(shù)學(xué)寫作，一般以對數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的研究為主，通過寫作，可以快速培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)研究能力.在實(shí)際操作中，教師可以先提供一類問題或一個(gè)性質(zhì)，讓學(xué)生通過研究來總結(jié)其解法或應(yīng)用，最終再以數(shù)學(xué)小論文的形式呈現(xiàn)出來.既然是研究，當(dāng)然需要必要的文獻(xiàn)資料作為支撐，所以應(yīng)允許學(xué)生查閱課外資料，請教有關(guān)教師，這樣可以大大拓展他們的知識(shí)面，這也是這類數(shù)學(xué)寫作的意義所在.例如，在學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì)之后，可以讓學(xué)生研究函數(shù)的性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，小論文的題目可以是《函數(shù)單調(diào)性的幾個(gè)應(yīng)用》《函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用》《如何判斷函數(shù)的奇偶性》《函數(shù)的值域求法研究》等，限于篇幅，學(xué)生的寫作這里便不再分享.

從目前來看，數(shù)學(xué)寫作是方興未艾的新事物，正在被廣大數(shù)學(xué)教學(xué)工作者所接受，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該倡導(dǎo)學(xué)生的全面發(fā)展和綜合素質(zhì)的提高，而數(shù)學(xué)寫作正與此相吻合.如何擺脫應(yīng)試教學(xué)的束縛，數(shù)學(xué)寫作或許是一條極好的途徑.