概念教學在高中數學課堂中的應用研究

☉江蘇省梁豐高級中學 朱 麗

數學概念是思維形式的一種，主要是人腦對于現實中事物的數量關系與空間形式的本質特征的一種反映.在概念教學中，要積極引導學生理解概念的形成過程.筆者將從高中數學案例出發，淺談對高中數學概念教學的思考.

一、對概念教學的認識

在高中數學的概念教學中，理解概念的形成過程十分重要，教師要積極引導學生主動了解和體驗概念的形成過程.數學概念能夠幫助學生提高數學思維能力，也能幫助培養其核心素養，它是基礎之所在，并且在高中數學的教學中得到了廣泛的應用.由于學生的理解能力有限，對于具體的、特殊的概念理解起來要相對的容易，因此，在教學的過程中，教師不但要讓學生理解概念是如何形成的，也要注重對概念的定性把握、量化描述、抽象概括以及準確的表達，這樣才能精確地了解概念.

數學的學習來源于生活，并最終實現對生活的反饋.想要實現概念教學，教師就應當指導學生學會用概念來解題.在學生對概念進行理解時，教師應該將生活中的實例引入到課堂中來，然后再進行概念的解釋.這樣一來，不僅能夠使學生在理解概念的時候更加輕松、容易，同時也能夠使其思維能力得到發展.

二、案例分析

案例1：“任意角的三角函數的概念”的教學內容.

（1）創設情境，啟發思考.

三角函數是一種數學模型，主要描繪了物體的周期運動，在我們的生活中，比較常見的一種具有典型周期性運動的物體就是摩天輪.周末下午，小明和弟弟乘坐摩天輪玩?！?/p>

Q1：當弟弟坐在摩天輪上，并且隨著摩天輪的轉動而升高時，小明此刻最關注的是什么？

A1：弟弟的位置隨著摩天輪的旋轉而旋轉.

設計意圖：讓學生觀察到，弟弟的位置隨著摩天輪的轉動而在不斷地發生著改變.然后我們將具體的事物想象成數學問題，將摩天輪看作一個圓形，弟弟是其中的一個點.因此，隨著摩天輪的轉動，弟弟這個質點就在圓周上不斷地運動.弟弟在摩天輪中的位置，就是圓周上點P的相應位置.此外，通過探究，學生會發現想要表示點P，可以使用兩種方式，一種是有序數對（r，α），另一種是有序數對（x，y）.

Q2：隨著摩天輪的不斷轉動，r，α，x，y四個量將會發生哪些變化？

A2：得到y=rsinα，x=rcosα的圖像.

設計意圖：為了對問題1進行深入的思考，于是設計了問題2，可以讓學生直接觀察到點P的運動軌跡，思考并想象r，α，x，y中的發生變化的量有哪些，可以培養學生的直觀想象能力.

Q3：具體是哪個量引起了本質上的改變？

A3：α.

設計意圖：問題3的提出是為了找出那個在變化中起著關鍵作用的量，也就是α.在確定α就是那個關鍵點以后，學生可以在此基礎上，繼續推理出它自變量的身份.通過這種方式的教學，學生的邏輯推理能力將得到很大的發展.

（2）協作探究，合作交流.

Q4：α改變以后，r，x，y與α之間形成了什么關系？

A4：見A2.

設計意圖：問題4的提出是本課程的重點，即引導學生找到四個量之間的關系，從而使學生在尋找答案的同時不斷地開發自身的潛能.這樣一個個問題從提出到解決的過程，既是一個層層遞進的過程，也是一個引導學生逐步深入的過程.

案例2：“直線與平面垂直的定義”的教學內容.

（1）直觀觀察，理解概念.

展示圖片：①比薩斜塔；②學校操場的國旗；③聯合國一根根旗桿與廣場.

Q1：這里都是一些直線與平面的展示，給你的感覺是怎樣的？在你身邊還有類似的例子嗎？

A1：學生自由發揮

設計意圖：通過觀察圖片，學生能夠在腦海中形成具體的認知沖突，可以對斜交和垂直產生具體的感知，為之后發現更多的特征、定義起到鋪墊的作用.教師將生活中的實例引入到課堂概念教學中來，不僅體現了數學源于生活的本質，更有助于幫助學生養成數學思維，并用其來解決現實中的問題.

（2）提出問題，共同求解.從數學的角度出發，如何定義一條直線與一個平面垂直？

Q2：圓錐的底面是什么？

A2：圓錐的底面是一個圓.

Q3：圓錐的軸與底面半徑之間是什么關系？

A3：垂直.

Q4：圓錐底面過中心的任一條線與軸是什么關系？

A4：垂直且相交.

Q5：圓錐底面不過中心的任一條線與軸是什么關系？

A5：垂直但不相交.

設計意圖：通過具體的實驗操作，學生可以找出直線與平面垂直的本質特征.通過直觀感受可以將抽象的問題具體化，從而深入的了解數學概念，建立起抽象的思維能力.

（3）觀察總結，建構概念.

歸納：圓錐的軸與底面任一直線垂直.

建構數學：如果一條直線與平面內的任意一條直線都垂直，則稱這條直線與這個平面垂直.

Q6：定義中的關鍵詞是什么？

A6：任意.

Q7：任意與所有是一樣的含義嗎？與無數含義是一樣的嗎？

A7：直線在平面內任意等價于所有但不等價于無數.

Q8：定義中蘊含著怎樣的轉化關系？

A8：直線與平面內任意直線垂直可轉化為直線與平面垂直.

設計意圖：通過提問，讓學生找出其中的本質，自主尋求概念的定義，這樣一來，學生運用數學語言解決現實問題的能力也能夠得以提高.

案例3：“直線的斜率”的教學內容.

（1）創設情境.

Q1：畫出下列函數y=x+5，y=2x+5，y=-3x+5的圖像.

A1：略.

設計意圖：讓學生從簡單、熟悉的一次函數著手進行學習，通過繪制圖像，確定直線的幾何要素——兩個點.

（2）觀察對比.

Q2：確定直線的要素是什么？

A2：斜率與截距，兩點確定一條直線.

Q3：觀察上面的三條直線并談談它們的相同點和不同點？

A3：截距相同，但斜率不同.

Q4：如果只給出一點，還需添加什么條件才能確定一條直線？

A4：斜率.

設計意圖：通過對幾個問題的探索，學生能夠明確直線的兩個要素.

三、基于核心素養的概念教學的思考

數學的概念教學是一個重新構建的過程，教師要抓住關鍵，創設有利于培養學生數學思維能力的教學情景，為學生還原數學家對概念的發現過程，尋找數學從概念到應用的發展軌跡，激發學生一探究竟的好奇心，真正了解其中所包含的數學思想，讓學生學會進行“數學式思考”，使學生能夠真正掌握數學概念的精髓之所在.具體來說，想要實現概念教學，應當做到以下幾個方面：

1.創設問題情境

Albert·Einstein曾經說過：“提出問題比解決問題更重要.”在數學概念的教學中，教師要了解不同學生的特點，根據他們的差異性來設置合適的問題情境.在提出問題的基礎上，鼓勵并引導學生進行思考，從而實現數學概念教學的建構.思考的源頭和探究的動力都來源于問題，為了解決問題，學生就不得不進行思考.教師在設計問題的時候，一定要注重知識之間的內在聯系，側重于概念的形成過程，要讓學生體驗數學概念從圖形到文字再到符號語言的神奇轉變，從而更加深刻地明白且學會運用從具體到抽象、從特殊到一般、從定量到定性的數學研究方法.在這一系列過程中，學生能夠發揮自身的直觀想象以及數學抽象思維能力.

2.通過對問題的探究和建構，培養學生的數學思維能力

課改后，新課標提倡在教學中要運用多種方式進行教學，引導學生親自去體驗并發現數學問題，在這個過程中逐漸培養和提升其獨立思考、深入探究、積極解決問題的能力和習慣.在學生自主思考、深入探究、積極學習的過程中，教師不能過多干預，在適當的時候給予一定的提示，但要給學生足夠的思考時間與空間，讓學生能夠真正學會使用數學語言，自主去尋找概念，并了解概念的歷史由來.這不僅能夠幫助學生獲得成就感，也能幫助學生發展自身的數學建模能力與數學思維方式.