工科大學中數學課程教學方法的思考

李燕

[摘? ? ? ? ? ?要]? 在當前教育改革背景下，很多本科高等院校尤其是工科類高校朝著應用型高等院校轉型，這對大學數學基礎類課程的教學改革是一個不小的挑戰。基于在南京郵電大學本科生概率統計和隨機過程教學中的教學實踐，提出一些工科高校中數學類課程的教學思考。

[關? ? 鍵? ?詞]? 工科數學;教學方法;應用型人才

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）34-0020-02

一、工科數學教學方法研究背景

隨著經濟社會的發展，對高等教育人才的需求逐漸偏向應用型人才。近年來，我國高等教育體系的規模也在逐漸完善，很多大學也在向應用型本科高校過渡，在這個背景之下，高等學校課程教學內容和方法都進行了一定程度的改革，其中，數學類課程（包括高等數學、工科數學分析、線性代數、概率統計和隨機過程等）作為本科生特別是工科學生的專業基礎課起著舉足輕重的作用，對工科生無論是后續專業課的學習還是研究生入學考試都很關鍵。這就要求普通高校在數學課程教學改革中要謹慎前行。

筆者所在的南京郵電大學是典型的一所以電子信息為特色的多學科協調發展的高校，在校本科生多數為工科生，數學類課程教學中出現的問題主要體現在教學內容的理論性比較強，數學概念相對比較抽象，而課程學時又較短，學生不能很好地將理論與實際問題結合起來理解等方面。筆者是南京郵電大學理學院教師，承擔著二年級“概率統計和隨機過程”課程的講授，這門課共十一章內容，只有六十四學時，其中隨機過程部分的內容所占比例較少，但是對一些工科專業的學生后面的專業課學習起著重要的作用。如何能夠讓學生在短短幾周的教學課時內將這門課的基本概念和基本理論理解清楚并且能夠應用去解決一些具體問題以便為后續專業課打下基礎是這門課開設的目的。本文將以隨機過程中的一些教學實例結合作者的教學實踐，從教學內容和教學方法等方面談談筆者對工科數學教學的幾點思考。

二、工科數學教學方法思考探索

（一）概念的引入要通俗易懂

我們都知道，數學中的概念通常很抽象，如果在授課中將概念生硬地展示給學生，而不加以通俗地闡述和解釋，學生在第一次看到時經常會感到有些困惑難以理解。而數學中的概念又是一切數學知識體系的基石，如果概念理解不清楚，后面的學習效果也就無從談起，所以如何讓學生快速而準確地掌握概念的本質顯得尤為重要，這就要求教師在講授概念時要通俗易懂，最好能與學過的知識聯系起來。如“隨機過程”這個定義：設E是隨機實驗，S是樣本空間，對于樣本空間中每一個樣本點e總有一個二元函數X（e，t），t∈T與之相對應，這樣得到的一組函數{X（e，t），t∈T}叫作隨機過程。可以看到這個定義與學生已經非常熟悉的隨機變量的定義非常相似，所以教師在授課時應當將兩個概念聯系起來對比來講，告訴學生隨機過程就是隨機變量中加入了時間變量，由一元函數變為二元函數，這是這個概念的實質。另外，可以通過舉例來強化對概念的理解，舉的例子最好是學生見過的實例。如可以舉前面概率論中經常見到的拋硬幣的例子，將一枚硬幣由下而上拋出，我們把硬幣從拋出到落下這個過程中每一個時刻硬幣的狀態記錄下來就得到一個隨機過程。再以馬爾可夫鏈的定義為例：若隨機過程{Xn，n≥0}在m+k（k>0）時刻處在任一狀態j∈I的概率只與該過程在時刻所處的狀態有關，而與過程在時刻以前的狀態無關，即滿足：

P{Xm+k=j|X0=0，X1=1，…，Xm-1=i-1，Xm=i}=P{Xm+k=j|Xm=i}.

稱隨機過程{Xn，n≥0}為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈。從定義可以看出，馬爾可夫鏈在時刻t（>t0）所處的狀態僅與時刻t0所處的狀態有關，而與t0之前的狀態無關，馬爾可夫鏈這個特性也稱之為無后效性。為了讓學生更好地理解這個定義，舉例來說，一個人進入電梯后，他即將到達的樓層位置只與當前樓層有關，而與這個電梯從幾層而來的無關。這樣引入這個定義可以幫助學生通俗易懂地理解馬爾可夫鏈的概念和特性。可以看出，將抽象的數學概念具體化、形象化、通俗化應當是教師在備課中重視的一個問題。

（二）抓住教學內容的本質，因“才”施教

南京郵電大學的授課對象絕大多數是工科生而不是數學專業的學生，在大一、大二年級所學的數學類基礎課程主要是為后續專業課程打基礎，能成為專業課學習的有力工具，因此如果在數學課程教學中太強調定理的證明而忽視了定理本身的應用容易導致學生對這門課失去學習興趣，而且達不到學以致用的學習效果。如在馬爾可夫鏈學習中，經常會遇到求一個馬氏鏈的絕對概率和絕對分布的問題，這類問題的求法實際上在教材中已經以定理形式給出，如果在授課中按照常規的先講定理，接著講證明，然后讓學生記住結論直接去用，就會導致定理本身和它的應用割裂開來，為了應用而應用，而忽視了定理本身的作用。如以下例子：

已知馬爾可夫鏈的狀態空間為I={0，1，2}，初始分布為（1/3 1/3 1/3），一步轉移概率矩陣為P=3/4 1/4? 01/4 1/2 1/4 0? 3/4 1/4，計算（1）P（X2=1）;（2）P{X1=0，X3=1，X4=2}.

我們的解決辦法不是讓學生記住定理結論直接去套公式，而是教學生從解決問題的角度出發，注意到我們實際上是在想辦法求一個概率。對于第一問，是在求一個絕對概率，我們要提醒學生聯系第一章中的知識——全概率公式來求，即“由因導果”：

解：由C-K方程我們可以直接求出兩步轉移概率矩陣：

P（2）=P2（1）=10/16 5/16 1/16 5/16 8/16 3/16 3/16 9/16 4/16，

P（X2=1）=P（X0=j）P（X2=1|X0=j）

=Pj（0）Pj1（2）

=1/3×5/16+1/3×8/16+1/3×/16=11/24.

可以看到，我們解題的過程實質上就是教材上定理證明的過程，如果只讓學生生硬地去記定理、背公式，直接從P（X2-1）=Pj（0）Pj1（2）計算，很容易出錯，而且學完很快就會遺忘。但是如果教會學生學會分析問題的實質，將所學知識前后聯系起來，利用全概率公式去求，一方面達到了解題的目的，另一方面也讓學生理解了教材上定理的證明方法，從而更好地掌握其應用。同樣，在求第二問時，我們看到如果設事件A：X1=0，事件B：X3=1，事件C：X4=2，那么求這個絕對分布相當于在求三個事件乘積的概率，我們自然而然聯想到第一章學過的乘法公式。通過這個教學實例說明教師教學中應當根據不同的教學對象靈活地制定相應的教學方法，對工科學生不應該過分強調數學定理的證明而忽視了定理的應用，應該教會學生從問題本身出發去分析和解決。

（三）注意數學思想的滲透

在工科數學教學中，在課時少的現實壓力下，很多時候教師容易“急功近利”，強調“方法論”，想通過找一條捷徑讓學生會做很多題來提高學生在期末考試中的通過率，而忽視了把數學思想放到日常教學中，培養學生的思維能力，導致最終沒有達到舉一反三的學習效果。事實上，數學思想貫穿數學課程教學始終這一理念在很早就被提出，并且提倡從中小學數學教育開始，如我們熟知的“數形結合”思想、“遞歸”思想、“函數”思想等。如果在高等教育數學課程教學中丟棄了這一原則，一味強調應用而忽視了數學理論本身和學生邏輯思維能力的培養，那么最終培養出的“高素質應用型高等教育人才”就會成為一個徒有外表的空殼子。還是以隨機過程這個定義為例，對樣本空間中的每一個樣本點都有一個時間函數與之相對應，在課堂教學中給出學生教材中的定義時就要指出這里就用到了數學中“函數”的思想。

（四）明確培養專業人才，將專業特色貫穿于教學中

南京郵電大學是一所以電子信息為特色的工科高校，尤其當前國家正在積極推進“互聯網+”的行動計劃，這為學校科學快速的發展提供了廣闊的發展空間。學校層面應當把專業課程、實驗課程的教學內容整合為一個體系，讓學生在整個專業學習中前后連成一個知識鏈;作為高校數學課程的教師在課堂教學活動中應該有意識地將教學內容與學校的特色學科背景相結合，與學生所學專業相結合來教學。如在講授馬爾可夫鏈的一些概念這節課中，可以舉這樣的例子：傳輸數字0和1的通信系統，每個數字的傳輸都需要經過若干步，那么這樣一個通信系統就可以看作是一個馬爾可夫鏈。在數理統計部分教學中，也可以社會熱點問題為背景放到例題中講解，這樣既激發了學生的學習興趣，又可以培養學生應用數學知識去分析、解決實際問題的能力，更為學生后續的專業知識學習搭建了一座橋梁。從長遠來看，將專業特色貫穿到教學中也有利于后續高校對接地方企業、產業的需求，增強高校和地方政府以及企業的合作，提升高校科研攻關水平從而實現高校產學研的協調發展。

總之，以工科為特色的高校中數學類課程的教學改革是一項長期且艱巨的任務，需要有關教育部門和各高校制定相關政策，需要高校教師在教學實踐中不斷改進已有教學模式和探索新的教學方法，需要學生與教師的全面配合，這對高學歷應用型人才的培養有著長遠的意義。

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◎編輯 馮永霞